不等式单调性凹凸性-9

作者

周忠国 河海大学

1 单调性与不等式(11,14,18)

  • 如果导数大于0, 则函数单调递增.

  • 证明: 当\(x>0\)时, \(x>\sin x\).

  • 分析: 设 \(f(x)=x-\sin x\), 证明单调递减.

2 凹凸性(二阶导数判断12)

  • 用一个例子\(y=x^2\)记住结论.

    1. 抛物线\(y=x^2\)是凹函数,
    2. \(y''=2>0\).
    3. 结论: 二阶导数大于0, 函数是凹函数.

  • 判断凹凸性: 二阶导数大于0则是凹的.

3 拐点个数(17,19,22)

  • 函数有二阶导数时, 凹凸性用二阶导数判断.

  • 拐点可能的地方: 二阶导数为0或不存在的点.

  • 练习: 计算\(y=x(x-1)(x-2)(x-3)\)有几个拐点.

  • 分析

    1. 函数\(y\)有4个不同零点, 由罗尔定理, 导数\(y'\)有3个不同零点.
    2. 二阶导数\(y''\)有2个不同零点.
    3. 二阶导数\(y''\)是抛物线, 开口向上.
    4. 二阶导数\(y''\)的两个零点左右符号不同, 所以凹凸性不同.
    5. 有两个拐点.

4 渐近线(19,22)

\(y=kx+b\)是\(y=f(x)\)的渐近线.

曲线上的点靠得越来越近,

  • \[ 即\ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)-(kx+b)=0. \]

  • 渐近线有3类: 水平(\(k=0\)), 铅直, 斜.

  • 先求斜率\(k\). 由 \[ k=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}. \] 求得斜率,

  • 再求\(b.\) 再代入上一个极限式子中求\(b.\) \[ b= \lim_{x\rightarrow +\infty} [f(x)-kx]. \]

5 历年真题

  • 重要极限, 有界

  • 代入$n=1, a_n=2<e, $

  • 故单调递增有上界

  • 导数判断单调性.

当\(x>0\)时, 下列不等式中正确的是: \[\begin{aligned} & A.\ e^x<1+x \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ \ln(1+x)>x\\ & C.\ e^x<ex & D. & \ \ x>\sin x \end{aligned}\]

  • 估计及代入值验证.

  • 注意: D不要验证(费时间), 用排除法.

方法一:

  • 取\(x=100\), 代入A,B,C, 估计一下都错, 因此选 D.

方法二:

  • 当\(x\to +\infty\)时, 正数函数>幂函数>对数函数, 因此选 D.

  • 注意: D不要验证, 用排除法.

  • 估计及代入值验证, 无穷大的比较.

  • 当\(x\to +\infty\)时, 正数函数>幂函数>对数函数, 因此选 D.

  • 无穷大的比较.

  • 当\(x\to +\infty\)时, 正数函数>幂函数>对数函数.

  • 是谁的导数

  • 或者举例\(f(x)=g(x)=x.\)

  • 二阶导数等于0

  • 二阶导数为0

  • 拐点的定义

  • 二阶导数大于0

  • 举例\(y=\sin x.\)

  • 或导数大于0, 则单调递增, 排除A,B.

  • 举例\(y=-x^2\), 凸函数.

  • 单调与导数, 凹凸与二阶导数的关系
  • 单调与导数, 凹凸与二阶导数的关系

  • 代入

  • 画图或估计