极值与最值-10

作者

周忠国 河海大学

  • 导数为零的点称为驻点, \(f'(x_0)=0\).

  • 如果函数可导, 则\(x_0\)是极值点的必要条件它是驻点.

  • 命题(必要条件) 设函数\(f(x)\)在区间内可导, 如果\(x_0\)是\(f(x)\)的极值点, 则\(f'(x_0)=0.\)

  • 命题(充分条件) 设函数\(f(x)\)在区间内可导, 且\(f'(x_0)=0\) , \(f''(x_0)\neq 0.\) 则\(x_0\)是\(f(x)\)的极值点.

  • \(x_0\)是极大还是极小用例子\(y=x^2\)帮助记忆

    1. \(y''(0)=2>0\)
    2. \(x=0\)是\(y=x^2\)的极小值点,
    3. 结论: \(f''(x_0)>0\)时, 是极小值点.
  • 找出可能的点(驻点, 导数不存在的点), 判断是不是.

  • 列出所有可能的点: 导数为0的点, 导数不存在的点, 端点.

  • 一一代入, 然后比较函数值的大小.

1 多元函数的极值

  • 必要条件: 如果偏导数存在, 则函数取得极值的必要条件是两个偏导数都为0.

  • 最值: 把偏导数为零的点, 边界点的函数值比较.

2 历年真题

函数\(f(x,y)\)在闭区域\(D\)上连续, 下列关于极值点的陈述中正确的是:

\[\begin{aligned} & A.\ f(x,y)的极值点一定是f(x,y)的驻点\\ & B. \ 如果P_0是f(x,y)的极值点, 则P_0点处B^2-AC<0\left(其中, A=\frac{\partial^2f}{\partial x^2},B=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y},A=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\right)\\ & C.\ 如果P_0是可微函数f(x,y)的极值点, 则在P_0点处df=0 \\ & D. \ f(x,y)的最大值点一定是f(x,y)的极大值点 \end{aligned}\]

方法一:

  • 极值点的判断有必要条件和充分条件, 这说明可能性非常多, 所以A,B确定就一种可能, 不选.

  • C, D用排除法, 极值点可以在端点处取得, D错误.

  • 也可以用策略: 加条件后, 结论会成立. 选C.

方法二:

  • 取特殊情况: 二元函数变成一元函数也要成立.

  • 对于\(f(x,y)=g(x)\), 可以举例得到A,B,D均不对.

方法三:

  • 举例

  • 根据极值的必要条件与充分条件, 函数不一定可微故A,B不对.

  • 极值点可以在端点处取得, D错误.

  • 极值的必要条件与充分条件.

  • 导数为0或不存在.

  • 极值, 举例

  • 极值的必要条件

  • 代入

  • 定义估计, 函数值有正有负, 不是极值点

  • 可导不可导

  • 估计

  • 在0处, 分母不影响, 只考虑分子

  • 一阶导数等于0. 或举例

  • 可导时, 必要条件