微分方程-26

作者

周忠国 河海大学

1 微分方程

  • 含有未知函数的导数的方程称为微分方程, 如\[ y'=\frac{dy}{dx}=xy-\sin x,\\ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.\]

  • 主要问题是求微分方程的解.

  • 选择题多以代入验证解决.

  • 掌握基本概念与方法, 能提高验证的效率.

  • 阶: 最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.

  • 线性微分方程: 关于各阶导数及\(y\)都是一次的微分方程.

  • 常系数线性微分方程: 关于各阶导数及\(y\)都是一次的微分方程, 且系数为常数.

  • 齐次线性微分方程.

  • 例如 \[\begin{align} 一阶微分方程&:\ y'=xy-\sin x,\\ 二阶线性微分方程&:\ y''+3y'-2y=e^x,\\ 一阶非线性微分方程&:\ y'+y^2=\ln x.\end{align}\]

  • \[\begin{align} 一阶线性微分方程&:\ y'-xy=\sin x,\\ 二阶常系数非齐次微分方程&:\ y''+3y'-2y=0,\\ 二阶常系数非齐次微分方程&:\ y''+3y'-2y=e^x.\end{align}\]

设微分方程 \(\,y''=0.\)

  • 特解: 使微分方程成立的函数称为特解. 如\[y=x,\ y=3.\]

  • 通解: 解的表达式中含有任意常数, 且任意常数的个数等于方程的阶数.如\[y=C_1x+C_2.\]

  • 非特解也非通解, 只是解. 如\[y=3x+C_1.\]

  • \(y=C_1(x+C_2)\) 是什么解?

  • \(y=C_1C_2x\) 是什么解?

1.1 一阶微分方程

  • 特点: \(x\)和\(y\)没有关系, 可以写成两个独立函数的乘积, 如 \[ y'=\frac{dy}{dx}=f(x)g(y). \]

  • 解法: 分离变量, 两端积分.

  • \[\frac{dy}{dx}=y\sin x.\]

  • \[ \begin{align} &\frac{dy}{y}=\sin xdx,\\ &\int \frac{1}{y}dy=\int \sin xdx,\\ &\ln |y|=-\cos x+C. \end{align}\]

  • 特点: 形如\[ y'=f(\frac{y}{x})\]

  • 解法: 变量代换. 令\(u=\frac{y}{x}.\) 则原方程化为\[ \frac{du}{dx}=\frac{f(u)-u}{x}.\]

  • 这是一个可分离变量的方程.

  • 一阶线性齐次微分方程, 分离变量法解. 形如 \[y'+p(x)y=0.\]

  • 通解公式:\[y=Ce^{-\int p(x)dx}.\]

  • 一阶线性齐次微分方程, 形如\[y'+p(x)y=q(x).\]

  • 通解公式: 齐次的通解 + 非齐次的特解\[y=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx.\]

1.2 二阶常系数微分方程

\[\begin{align} 设 \ \ &y''+py'+qy=0.\quad &(1)\\ &y''+py'+qy=f(x).\quad &(2) \end{align}\]

  • 定理(齐次) 如果\(y_1, y_2\)是方程(1)的两个线性无关的解, 则\(y=C_1y_1+C_2 y_2\)是方程的通解.

  • 定理(非齐次) 如果\(y_1, y_2\)是方程(1)的两个线性无关的解, \(y^*\)是方程(2)的解, 则\(y=y^*+C_1y_1+C_2 y_2\)是方程(2)的通解.

  • 注意: 如果\(y_1, y_2\)是方程(1)的两个解, 则\(y_1+y_2\)也是(1)的解.

  • 注意: 如果\(y_1^*, y_2^*\)是方程(2)的解,则\(y_1^*- y_2^*\)是(1)的解.

\[\begin{align} 设 \ \ &y''+py'+qy=0. \end{align}\]

  • \(r^2+pr+q=0\) 称为特征方程.

  • 根据特征方程根的不同情况, 可以直接写出原方程的通解.

  • 特征方程 根的情况 通解
    \(r^2-5r+6=0\) 两个不等的实根\({\color{red}2}, {\color{red}3}\) \(y=C_1e^{{\color{red}2} x}+C_2e^{{\color{red}3}x}\)
    \(r^2-4r+4=0\) 两个相等的实根\({\color{red}2},{\color{red}2}\) \(y=C_1e^{{\color{red}2}x}+C_2{\color{red}x}e^{{\color{red}2}x}\)
    \(r^2-4r+13=0\) 两个复根\({\color{red}2}\pm {\color{blue}3} i\) \(y=e^{{\color{red}2}x}(C_1\sin {\color{blue}3}x+C_2\cos {\color{blue}3}x)\)

设\(y''+py'+qy=f(x),\) 用待定系数法求特解.

  • 步骤: 先猜测出特解的形式(含有待定系数), 再代入微分方程, 确定系数.

  • 关键: 根据右边\(f(x)\)的形式以及与特征方程的根的关系, 写出特解的准确形式.

  • 设\(y''+py'+qy=\underline{(2x+3)}e^{{\color{red}5} x},\) 则特解有形式(三部分相乘):\[y=x^{\color{blue}k}\underline{(Ax+B)}e^{{\color{red}5}x},\]

  • 特征方程 \({\color{red}5}\)与根 \(\color{blue}k=\)
    \(r^2+5r+6=0\) \({\color{red}5}\)不是根 \({\color{blue}0}\)
    \(r^2-6r+5=0\) \({\color{red}5}\)是1重根 \({\color{blue}1}\)
    \(r^2-10r+25=0\) \({\color{red}5}\)是2重根 \({\color{blue}2}\)

设\(y''+py'+qy=\underline{(2x+3)}e^{{\color{red}5} x},\) 则特解有形式:\[y=x^{\color{blue}k}\underline{(Ax+B)}e^{{\color{red}5}x},\]

特征方程: \(r^2+pr+q=0.\)

\({\color{red}5}\)与根 \(\color{blue}k=\)
\({\color{red}5}\)不是根 \({\color{blue}0}\)
\({\color{red}5}\)是1重根 \({\color{blue}1}\)
\({\color{red}5}\)是2重根 \({\color{blue}2}\)

  • \(y''+2y'+y=f(x).\) 特征根\(r_1=r_2=-1.\)

  • 若\(f(x)=xe^{x},\) 特解: \(y=(Ax+B)e^{x}.\)

  • 若\(f(x)=xe^{-x},\) 特解: \[y=x^2(Ax+B)e^{-x}.\]

  • 若\(f(x)=x^2e^{x},\) 特解: \[y=(Ax^2+Bx+C)e^{x}.\]

  • 若\(f(x)=x^2e^{-x},\) 特解: \[y=x^2(Ax^2+Bx+C)e^{-x}.\]

  • 特殊的, 若\(f(x)=x^2-3,\) 特解: \(y=Ax^2+Bx+C.\)

  • 设\(y''+py'+qy=\underline{(\cos \color{red}2x+5\sin \color{red}2x)}e^{{\color{red}3} x},\) 则特解有形式:\[y=x^{\color{blue}k}\underline{(A\cos \color{red}2x+B\sin \color{red}2x)}e^{{\color{red}3}x},\]

  • 特征方程 \(\color{red}{3+2i}\)与根 \(\color{blue}k=\)
    \(r^2+5r+6=0\) \(\color{red}{3+2i}\)不是根 \({\color{blue}0}\)
    \(r^2-6r+13=0\) \(\color{red}{3+2i}\)是1重根 \({\color{blue}1}\)

  • \(y''+2y'+y=f(x).\) 特征根\(r_1=r_2=-1.\)

  • 若\(f(x)=\cos xe^{2x},\) 特解: \[y={(A\cos x+B\sin x)}e^{2x}.\]

  • 若\(f(x)=(x+1)\sin xe^{2x},\) 特解: \[y={[(Ax+B)\cos x+(Cx+D)\sin x]}e^{2x}.\]

设\(y''+py'+qy=\underline{(\cos \color{red}2x+5\sin \color{red}2x)}e^{{\color{red}3} x},\) 则特解有形式:\[y=x^{\color{blue}k}\underline{(A\cos \color{red}2x+B\sin \color{red}2x)}e^{{\color{red}3}x},\]

特征方程 \(\color{red}{3+2i}\)与根 \(\color{blue}k=\)
\(r^2+5r+6=0\) \(\color{red}{3+2i}\)不是根 \({\color{blue}0}\)
\(r^2-6r+13=0\) \(\color{red}{3+2i}\)是1重根 \({\color{blue}1}\)

\(y''+y=f(x),\) 特征根\(r_{1,2}=\pm i.\)

  • 若\(f(x)=\cos 2x,\) 特解: \[y={A\cos 2x+B\sin 2x}.\]

  • 若\(f(x)=\cos x,\) 特解: \[y=x({A\cos 2x+B\sin 2x}).\]

\[\begin{align} &y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x),\quad &(1)\\ &y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x),\quad &(2)\\ &y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x),\quad &(3)\\ \end{align}\]

  • 叠加原理 如果\(y_1, y_2\)分别是方程(1), (2)的解, 则\(y_1+ y_2\)是方程(3)的解.

  • 应用叠加原理, 可以把复杂的方程求解问题化为几个简单的方程解的和.

  • 设 \(y''+y=\cos 2x +x,\) 特征根\(r_{1,2}=\pm i.\)

  • 则特解: \[y={(A\cos 2x+B\sin 2x)} + (Cx+D).\]

1.3 历年真题

微分方程\(xydx={\sqrt{2-x^2}dy}\)的通解是: \[\begin{aligned} & A.\ y=e^{-C\sqrt{2-x^2}} \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ y=e^{-\sqrt{2-x^2}}+C \\ & C.\ y=Ce^{-\sqrt{2-x^2}} & D. & \ \ y=C-e^{-\sqrt{2-x^2}} \end{aligned}\]

方法一:

  • 比较选项, 其实要确定常数\(C\)放在哪里.

  • 代入题目中验证, \(y\)是解的话, \(Cy\)也是解, 因此选 C.

方法二:

  • 逐项代入验证.

  • 方法一, 代入

  • 方法二. 有个\(C^2\), 排除D,A,

  • 求微分左边系数都为正, 排除B,D.

  • 代入\(x=1, y=e\)排除 C, D

  • 验证B

  • 或者说对数消不去, 排除A

  • 代入

  • 特解形式, 原来有\(x\), 必有\(Ax+B\), 排除C,D

  • 重根, 选A

  • 重根可用特征方程或直接代入验证.

  • 不是通解, 常数不独立

微分方程\(\displaystyle\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}= \tan \frac{y}{x}\)的通解是: \[\begin{aligned} & A.\ \sin \frac{y}{x}=Cx \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ \cos \frac{y}{x}=Cx \\ & C.\ \sin \frac{y}{x}=x+C & D. & \ \ Cx\sin \frac{y}{x}=1 \end{aligned}\]

方法一: 纯猜测

  • 比较选项, 根据重复出现, 排除B.

  • A,D是乘积, 排除C.

方法二:

  • 逐项代入验证.

方法三:

  • 原方程中, 把\(y, x\)用\(Cy, Cx\)分别替换, 仍然是解, 验证\(A\)对

  • 系数和等于1.

  • 解的叠加原理

  • 代入

  • C部分是齐次的通解, 排除D

  • 最后系数为1, 次数为\(x^2\), 故1,3次方不行.

  • 一阶线性微分方程

  • 二阶常系数

  • 代入

  • 代入

  • 代入

  • A的任意常数是一个

  • 特征方程

  • 二阶常系数

  • 或代入

  • 代入条件, 排除A,B

  • 代入C或D验证

  • 或由条件是减号, 选D

  • 通解, 特解的定义

  • 代入验证

  • 解的结构

  • 或举例\(y''=0\)

  • 代入

  • 理解题目意思

  • 特征方程

  • 代入\(e^x\)

  • 代入

  • 特征方程有重根

  • 代入初始条件

  • 逐项代入