不定积分-16

作者

周忠国 河海大学

1 原函数与不定积分的定义

  • 原函数: 如果\(F'(x)=f(x)\), 则称\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数.

  • 此时有关系式\[dF(x)=f(x)dx.\]

  • 并且\((F(x)+C)'=f(x)\), 所以\(F(x)+C\)也是\(f(x)\)的一个原函数.

  • 不定积分: \(f(x)\)的所有原函数的集合称为不定积分, 记作 \[ \int f(x)dx=F(x)+C.\]

  • 不定积分是一族函数(含有常数C).

  • \[\left[\int f(x)dx\right]'=f(x), 或\ d\int f(x)dx=f(x)dx.\]

  • \[\int f'(x)dx=f(x)+C, 或\ \int df(x)=f(x)+C.\]

  • 简单的说微分\(d\)与不定积分\(\int\)是互逆运算(可能差一个常数C).

  • \[d\int=1,\quad \int d=1+C.\]

2 不定积分的性质

\[ \int kf(x)dx=k \int f(x)dx, \\ \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\]

1.  策略是把复杂的积分化简为几个简单的积分.

2.  用性质, 换元法, 分部积分法, 其他技巧进行化简.

3.  有根号选择换元法, 有对数或反三角函数用分部积分法.

3 常见函数的不定积分(17)

\[\begin{align} &\int x^{\alpha} dx= \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C,\alpha\neq -1,\\ &\int e^xdx=e^x+C,\\ &\int \frac{1}{x}dx =\ln |x| +C,\\ &\int \sin xdx=-\cos x +C,\\ &\int \cos xdx=\sin x+C, \end{align}\]

\[\begin{align} &\int \sec^2 x dx=\tan x+C,\\ &\int \csc^2 xdx= -\cot x+C,\\ &\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C,\\ &\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C.\\ \end{align}\]

  • \[ \int \sqrt{x} dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C,\quad \int \frac{1}{\sqrt{x} }dx=\int x^{-\frac{1}{2}}dx= 2x^{\frac{1}{2}}+C.\]

  • 这些公式是基础, 复杂的用它们和运算法则计算.

  • 如果\(\displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C\), 则对\(u=u(x)\) 也有\(\displaystyle\int f(u)du=F(u)+C.\)

  • \[\begin{aligned} &\int e^{\color{red}x} d{\color{red}x}=e^{\color{red}x}+C\longrightarrow \int e^{\color{red}{\sin x}}d{\color{red}{\sin x}}=e^{\color{red}{\sin x}}+C. \end{aligned}\]

  • 这里\(u\)可以是任意表达式.

  • \[ \begin{align} &\int \tan xdx= \int \frac{\sin x}{\cos x}dx \end{align}\]

  • \[ \begin{align} =&-\int \frac{1}{\cos x}d\cos x =-\ln |\cos x|+C. \end{align}\]

  • 关键是把某些函数拿到微分符号\(d\)的后面, 即凑微分.

  • \[ \int \sqrt{x+1} dx=? \quad \int \frac{x}{\sqrt{x^2+1} }dx=?\]

  • \[ \int \sqrt{x} dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C,\quad \int \frac{1}{\sqrt{x} }dx=\int x^{-\frac{1}{2}}dx= 2x^{\frac{1}{2}}+C.\]

  • \[ \int \sqrt{x+1} dx= \int \sqrt{\color{red}{x+1}} d\color{red}{(x+1)}\\ =\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C.\]

  • \[ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+1} }dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{\color{red}{x^2+1}} }d\color{red}{(x^2+1)}\\ =\color{red}{(x^2+1)}^{\frac{1}{2}}+C.\]

  • \[\begin{align} &\int \sin x\cos x dx =? \end{align}\]

  • \[\begin{align} \int \sin x\cos x dx =\int \color{red}{\sin x} d\color{red}{\sin x} =\frac{1}{2}\sin ^2x+C. \end{align}\]

  • 已知\(\displaystyle\int f(x)dx= x^2+C,\) 则\(\displaystyle\int f(\color{red}{3x-2})dx=?\)

  • 分析 \[\displaystyle\int f(3x-2)dx=\frac{1}{3}\int f(3x-2)d(3x)\\ =\frac{1}{3}\int f(\color{red}{3x-2})d(\color{red}{3x-2})=\frac{1}{3}(\color{red}{3x-2})^2+C\]

4 历年真题

  • 乘积的求导
    1. 不会出现\(x^2\), 排除A,C
    2. 不会只有一项,排除B

  • 不定积分带常数C, 导数不带C,排除C,D项
  • A举例不对

  • 凑微分

  • 或取例子\(y=x\).

  • 举例

  • \(y=1\) , 原函数\(y=x+C.\)

\(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}=\) \[\begin{aligned} & A.\ \arctan \sqrt{x}+C \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ 2\arctan \sqrt{x}+C \\ & C.\ \tan(1+x) & D. & \ \ \frac{1}{2}\arctan \sqrt{x}+C \end{aligned}\]

方法一:

  • 把选项代入验证.

方法二:

  • 由于题目中含有\(\sqrt{x}\), 故原函数也要有, 故C错误.

  • 求A的导数即可, 因此选 B.

  • 也可简洁由\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\), 所以会出现数字2, 所以不用完全求出导数, 即选B.

  • 分部积分

方法一

  • 含有对数函数, 排除A,C

  • 凑微分法, D需被积函数是\(\sin x\)

方法二

  • 两边求导 ,得到 \(f(x)=\frac{1}{x}\)

  • 凑微分

  • 或举例\(f(x)=1\), 答案只需确定系数.

  • 凑微分

  • 猜测法, 取交集A

  • 分部积分

  • 原函数

  • 相差一个常数

  • 或者, 等式两边变化一样, 则相等, D

  • 代入

  • 原函数的意义

  • 求导

  • 求导

  • 两项差