连续与间断-7

作者

周忠国 河海大学

1 连续与间断

  • 一点处连续的定义有两种形式. \[\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,\quad \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0).\]

  • 连续的充要条件是左连续且右连续, 即\[\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=f(x_0),\ \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0).\]

  • 连续时, 用代入法求极限.

  • 间断点按其左右极限是否存在分为第一类, 第二类.

  • 第一类间断点, 左右极限都存在 \[\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x),\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x).\]

    1. 可去间断点: 如果再满足\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\neq f(x_0).\)
    2. 跳跃间断点: 如果再满足\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)\neq\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x).\)

  • 第二类间断点: 左右极限至少一个不存在 .

2 闭区间上连续函数的性质

  • 闭区间上的连续函数有最大值和最小值.

  • 闭区间上的连续函数的零点定理与介值定理.

2.1 历年真题

函数\(f(x)=\displaystyle\frac{x-x^2}{\sin\pi x}\) 的可去间断点的个数为: \[\begin{aligned} & A.\ 1个 \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ 2个\\ & C.\ 3个 & D. & \ \ 无穷多个 \end{aligned}\]

  • 可去间断点的定义.

  • 分母为0的点, 从可能是间断点.

  • 分母为零, 分子也要为零, 才是可去间断点, 故\(x=0,1\).

  • 代入两者极限都存在, 因此选 B.

  • 直接代入, 选B.

  • 图形, \(x\) 可能是正负无穷

  • 跳跃间断点

  • 连续与左右极限

  • 求极限

  • 用等价无穷小\(\ln(1+x) \sim x.\)

  • 间断点的分类

  • 等价无穷小