曲线积分-13

作者

周忠国 河海大学

1 曲线积分

1.1 曲线的方程及切向量

  • 曲线的点由一个参数决定, 即参数方程.

  • \[ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\phi(t)\\ y=\psi(t)\\ z=\omega(t) \end{array} \right. , \quad\alpha\leq t\leq \beta. \end{equation} \]

  • 曲线每点处的切向量\(\vec{t}=(\phi', \psi', \omega')\) 由导数给出.

  • 一般研究平面曲线\[ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=x,\\ y=f(x), \end{array} \right. \quad a\leq x\leq b. \end{equation} \]

  • 微分三角形中的关系式(直角三角形): \[\begin{aligned} &d x=\cos\alpha d s, y=\cos\beta d s,\ \tan\alpha=\frac{d y}{d x}=y'. \end{aligned}\]

  • 弧微分 \[d s=\sqrt{1+y'^2}\, d x=\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}\, d t.\]

1.2 对弧长的积分

\[\begin{align} &\displaystyle\int_\Gamma f(x,y)ds. \end{align}\]

  • 例子: \(f(x,y)\)是线密度, 则曲线积分表示曲线的质量.

  • 曲线积分按照固定步骤化为定积分计算.

  • 被积函数是1时曲线积分表示弧长\[\int_\Gamma d s=曲线\Gamma的弧长.\]

  • 设\(\Gamma\)是圆周\(x^2+y^2=4\), 则

  • \[\int_\Gamma (x^2+y^2)d s=\int_\Gamma 4 d s=4\cdot \pi \cdot 2^2.\]

如\(f(x,y)\leq g(x,y)\), 则 \[\int_\Gamma f(x,y)d s\leq \int_\Gamma g(x,y)d s.\]

  • 曲线\(\Gamma\)的参数方程 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right.,\quad \alpha\leq t\leq\beta. \end{equation}\]

  • \[ \int_\Gamma f(x,y)d s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\, d t. \]

  • 积分下限\(\alpha\)要小于积分上限\(\beta\)

  • 被积函数是1时曲线积分则表示弧长

例: 设\(l\)是直线\(x+y=2\) 在第一象限的部分, 求\(\displaystyle\int_l (x+y)d s.\)

  • 方法一: 代入\(x+y=2\).\[\int_l (x+y)d s=\int_l 2d s=2\cdot 2\sqrt{2}.\]

  • 方法二:化为定积分.

    1. 直线方程\(y=2-x,\)
    2. 弧微分\(ds=\sqrt{1+y'^2}dx=\sqrt{2}dx,\)
    3. 积分区间\(0\leq x\leq 2.\)
    4. 全部代入\[\int_l (x+y)d s=\int_0^2 [x+(2-x)]\sqrt{2}dx=4\sqrt{2}.\]

1.3 对坐标的曲线积分

\[\begin{align} &\int_\Gamma P(x,y)d x+ Q(x,y)d y. \end{align}\]

  • 表示变力\(F=P(x,y)\vec i +Q(x,y)\vec j=(P(x,y), Q(x,y))\)沿曲线\(\Gamma\)做的功.

  • 按照固定步骤化为定积分计算

  • 被积函数满足曲线方程, 可以先代入化简.

  • 曲线有方向. 方向相反则积分变号 \[\begin{align} &\int_{\Gamma^-} P(x,y)d x+ Q(x,y)d y=-\int_\Gamma P(x,y)d x+ Q(x,y)d y. \end{align}\]

  • 曲线\(\Gamma\)的参数方程 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right.,\quad \alpha: 起点,\ \beta:终点.\ \ \ \ \ \quad \end{equation}\]

  • \[\begin{align} &\int_\Gamma P(x,y)d x+ Q(x,y)d y\\ =&\int_\alpha^\beta P(\varphi(t),\psi(t))d\varphi(t) + Q(\varphi(t),\psi(t))d \psi(t)\\ =&\int_\alpha^\beta P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)d t+ Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)d t.\\ \end{align}\]

  • \(x,y\)用参数方程全部代入.

  • 积分下限\(\alpha\)对应曲线的起点, \(\beta\)对应曲线的终点.

例: 设\(l\)是直线\(x+y=2\)从\((1,0)\)到\((0,1)\)的部分, 求\(\displaystyle\int_l xy d x, \int_l x^2y d y.\)

  • 化为关于\(x\)的定积分.
    1. 直线方程\(y=2-x,\)
    2. 起点\(x=1,\) 终点\(x=0\)
    3. 全部代入, 第一项\[\int_l xy d x=\int_1^0 x(2-x)dx.\]
    4. 全部代入, 第二项\[\int_l x^2y d x=\int_1^0 x^2(2-x)d(2-x).\]

1.4 历年真题

设\(L\)为连接\((0,2)\)和\((1,0)\)的直线段, 则对弧长的曲线积分\(\displaystyle\int_L (x^2+y^2){ds}=\) \[\begin{aligned} & A.\ \frac{\sqrt{5}}{2} \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ 2 \\ & C.\ \frac{3\sqrt{5}}{2} & D. & \ \ \frac{5\sqrt{5}}{3} \end{aligned}\]

方法一: 估计

  • 如图:

  • 线段长度为\(\sqrt{5}\), 估计大小.

  • \(x^2+y^2>1\), 所以原积分大于\(\sqrt{5}\), 故A,B错误.

  • C,D无法排除.

  • 用参数方程的方法计算曲线积分.

  • 注意被积函数是\(x^2\), 积分后分母会出现\(3\), 故选D.

方法二: 猜测

  • 对直线的积分, 被积函数是平方, 所以原函数分母会出现3, 故选D.

  • 用参数方程的方法计算曲线积分.

  • 参数方程\[\left\{\begin{align} x&=x,\\ y&=-2x+2. \end{align}\right. \]

  • 把曲线积分化为定积分计算. \[\begin{align} & ds=\sqrt{1^2+(-2)^2} dx=\sqrt{5} dx.\\ & \int_L (x^2+y^2){ds}\\ &=\int_0^1 (x^2+(-2x+2)^2)\sqrt{5} dx\\ &=\int_0^1 (5x^2-8x+4) dx\\ &=\frac{5\sqrt{5}}{3} . \end{align}. \]

  • 曲线积分的估计.

  • 对弧长的积分化为定积分.

方法一

  • 参数方程计算

方法二

  • 估计, 画图是负数, 排除B,C

  • 绝对值大于1, 选D

  • 代入

  • 或判断单位

  • 画图

  • 代入

方法二

  • 有\(\sqrt{2}\)

  • D中\(\sin 1\)太小.

  • 对称性

  • 化为定积分
  • 对坐标的曲线积分

  • 负数
  • 计算
  • 对坐标的曲线积分

方法一

  • 答案和\(a,b\)无关, 换成圆\(a=b=1\)

  • 直接计算\(\int_L y^2dx=\int_{-1}^1 (1-x^2)dx.\)

  • 代入化简

  • 确定符号为负

  • 计算

  • 格林公式

  • 计算

  • 或正负号排除两个

  • 画图, 判断正负, 负的

  • 第二项等于\(-1.\)