极限-17

作者

周忠国河海大学

使用说明

针对选择题类型, 不讲复杂的计算, 节约复习时间.
主要是基本概念与基本方法.
用例子说明概念与方法.
标题里红色两位数(如18,19)表示2018,2019年的考试真题涉及本小节内容.

建议

理解: 掌握知识点的含义
记忆: 用自己熟悉的方法记住
使用: 掌握例子的解题步骤
效率: 针对选择题思路要灵活

拿起纸笔, 想一想, 算一算, 才能真正理解, 掌握.

1 极限

求极限的一般原则(13,19,21,22)

计算极限首先考虑代入, 如\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 3} 2^\frac{1}{x}=2^\frac{1}{3}. \end{aligned}\]
代入后取值不确定, 就需要用其它方法. 如\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \to \frac{0}{0}. \end{aligned}\]
这样的极限称为不定型. 还有\(1^\infty, \infty-\infty\) 等不定型.
特别注意指数函数的极限\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0^+} 2^\frac{1}{x}=+\infty,\quad \lim_{x \rightarrow 0^-} 2^\frac{1}{x}=0. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} 2^\frac{1}{x} \ 不存在. \end{aligned}\].

重要极限一(18)

\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow \color{red}0} \frac{\sin x}{x} =1. \end{aligned}\]
注意条件\(x\to 0\). 此极限属于\(\frac{0}{0}\)不定型.
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow \color{red}\infty} \frac{\sin x}{x} =0,\ \lim_{x \rightarrow \color{red}3} \frac{\sin x}{x}=\frac{\sin 3}{3}. \end{aligned}\]
式子中的\(x\)都换成任意一个无穷小也成立. 比如 \[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\color{blue}{2x})}{(\color{blue}{2x})} \cdot 2=1\cdot 2=2. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\color{blue}{\sin x})}{\color{blue}{\sin x}} \cdot \frac{\sin x}{x}=1\cdot 1=1. \end{aligned}\]

重要极限二(14,22)

\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x =e, \ \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} =e. \end{aligned}\]
注意极限类型 \(1^\infty.\)
式子中的\(x\)换成任意一个无穷小也成立. 比如 \[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n =e, \ \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+(\color{blue}{-\frac{3}{n}})\right)^{\frac{1}{(\color{blue}{-\frac{3}{n}})}} =e. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} (1-\frac{3}{n})^n =\lim_{n \rightarrow \infty} \left[\left(1+(\color{blue}{-\frac{3}{n}})\right)^{\frac{1}{(\color{blue}{-\frac{3}{n}})}}\right]^{[(-\frac{3}{n}) \cdot n] } =e^{-3}. \end{aligned}\]

1.1 洛必达法则

何时用?怎么用?

极限是分数或比值的样子, 且是不定型! \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\).
如果\(\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=k\) 存在, 则 \[\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=k.\]
一个例子\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1.\]

怎么用更有效率?

随时随地进行等价无穷小代换(乘积因子)!
注意积分上限函数的求导公式.\[ \left(\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} f(t)dt\right)'=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x). \]
\[ 例\ \left(\int_{0}^{x^2} \sin xdx\right)'=\sin x^2\cdot (x^2)'. \]
不能直接用怎么办?
不是比值. 用通分, 或把幂指函数化为指数函数化为比值形式的不定型.

1.2 无穷小与无穷大

无穷小的定义与性质

极限为0的量称为无穷小
无穷小可以是函数, 数列, 多元函数.
如 \(x\to 0, y\to 0\)时\(x, x+y\)都是无穷小.
两个无穷小的和, 差, 积仍是无穷小.
无穷小与有界量的积仍是无穷小.

极限, 连续,导数与无穷小

极限与无穷小\[ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}(f(x)-A)=0. \]
连续与无穷小 \[ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0. \]
导数与无穷小 \[ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=a. \]

无穷小的比较(11,12,18,21,22)

等价无穷小 \[ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1.\ 记作\ {\alpha(x)}\sim {\beta(x)}. \]
高阶无穷小与小o记号 \[ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha}{\beta}=0 \Leftrightarrow {\alpha}=o({\beta}). \]
\({\alpha}\)与\(\beta\)是同阶无穷小, 等价于\[ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha}{\beta}=C\neq 0. \]

等价无穷小的例子

\(x\rightarrow 0\) 时 \[ \sin x\sim \tan x\sim \arctan x \sim x,\quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2. \] \[ e^x-1\sim x,\quad \ln (1+x)\sim x, \quad (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x.\]

其中的\(x\)换成其它无穷小也成立. 例如 \[ a^x-1=e^{xln a}-1\sim xln a,\quad (1+\sin x)^\alpha-1\sim \alpha \sin x. \]
求极限时可以用等价无穷小把复杂的表达式换成简单的式子.
\[例\ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{ \color{red}{\tan (5x)}\color{blue}{\ln (1-3x)}}{\color{green}{1-\cos (5x)}}=\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{ \color{red}{(5x)}\cdot \color{blue}{ (-3x)}}{\color{green}{\frac{1}{2}(5x)^2} }. \]

1.3 无穷大的比较(19,22)

无穷大的比较

无穷小的倒数就是无穷大.
无穷小和无穷大的问题可以相互转化.
记住下面的大小关系. \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\ln n}{n^k}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^k}{a^n}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a^n}{n!}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!}{n^n}=0, \ k>0, a>1. \]

1.4 历年真题

2011-3-无穷小的比较

当\(x\rightarrow 0\)时, \(3^x-1\)是\(x\)的: \[\begin{aligned} & A.\ 高阶无穷小 \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ 低阶无穷小\\ & C.\ 等价无穷小 & D. & \ \ 同阶但非等价无穷小\\ \end{aligned}\]

考试解题策略