导数与微分-27

作者

周忠国 河海大学

1 导数

1.1 定义与基本结论

  • 一点处导数的定义 \[f'(x)=\frac{d y}{d x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\]

  • 特殊的导数. 当 \(f(0)=0\)时, 下式表示在0点处的导数: \[\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{ x}=f'(0).\]

  • 导数即变化率, 刻画函数的变化情况.

  • 导数大于0, 则此点附近函数单调递增.

\[\begin{align} &(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1},\\ &(e^x)'=e^x,\\ &(\ln x)'=\frac{1}{x},\\ &(\sin x)'=\cos x,\\ &(\cos x)'=-\sin x, \end{align}\]

\[\begin{align} &(\tan x)'=\sec^2 x,\\ &(\cot x)'=-\csc^2 x,\\ &(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2},\\ &(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\\ \end{align}\]

  • 其他函数的导数用上面的公式和求导法则计算.

  • \[(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

1.2 求导方法

  • 加法\[\begin{align} (u\pm v)'=u'\pm v', \end{align}\]

  • 乘法\[\begin{align} (uv)'=u'v+uv', \end{align}\]

  • 除法\[\begin{align} (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \end{align}\]

  • 设\(y=f(u), u=g(x).\) 则\[y'=f'(u)g'(x).\]

  • 写成微分的形式: \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.\]

  • 一个例子: 幂指函数的导数\[\begin{align}(x^x)'&=(e^{x\ln x})'=e^{x\ln x}\cdot (x\ln x)'\\ &=e^{x\ln x}\cdot (\ln x+1).\end{align}\]

  • \[ 设\left\{\begin{align} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{align} \right., \]

  • \[则\frac{d y}{d x}=\frac{d \psi(t) }{d \varphi(t) }=\frac{\psi'(t) }{\varphi'(t)}.\]

  • 可以用微分计算.

  • 注意分子分母不要混淆.

  • 一个例子

  • \[设\left\{\begin{align} x=t^2,\\ y=\sin t, \end{align} \right.\, 求导数\frac{d y}{d x}. \]

  • \[由公式\ \frac{d y}{d x}=\frac{(\sin t)' }{(t^2)'}=\frac{\cos t }{2t}.\]

  • 两边分别是对\(x\)求导即得.

  • 例: 设\(x^2y+e^y+\sin x=0,\) 求\(y'.\)

  • 两边求导得\[\begin{align} x^2y'+2xy+e^yy'+\cos x=0.\end{align}\]

  • \[ \frac{d y}{d x}= \frac{1}{\frac{d x}{d y}}.\]

  • 高阶导数就是导数的导数, 前面的求导方法都可以使用.

  • 不过符号, 计算过程复杂一些.

  • 设\(y=f(x)\) 则 \[y^{(n)}=(y^{(n-1)})'=\frac{d^n y}{d x^n}=\frac{d^n f}{d x^n}=\frac{d^n }{d x^n}f(x).\]

  • 一般到二阶导数\(y''\).

  • 如果函数可导, 则在一点处的导数等于此点处切线的斜率.

  • 注意一种情形, 导数为无穷大, 仍然有切线, 但是斜率不存在.

  • 导数为零的点称为驻点, \(f'(x_0)=0\).

  • 如果函数可导, 则\(x_0\)是极值点的必要条件它是驻点.

2 微分

  • 微分的定义\[dy=f'(x)dx.\]

  • 可微必连续, 连续不一定可微.

  • 可微与可导等价.

  • 一阶微分形式不变性. 如果\(u=g(x)\) 则 \[df(u)=f'(u)du=f'(u)g'(x)dx.\]

  • 求微分时, 不管变量\(u\)是一个字母还是一个表达式, 都可以看成一个整体\(u\).

  • 求微分就是用符号\(d\) 一下, 然后用运算法则求下去就行.

  • 例如\[de^{\color{red}{\sin x}}=e^{\color{red}{\sin x}}\underline{d\color{red}{\sin x}} =e^{\sin x}\underline{\cos xdx}.\]

  • 两者的关系\[\Delta y\approx d y,\quad \Delta y-d y= o(\Delta x).\]

  • 微分可以作为\(\Delta y\)的近似值, 误差是\(\Delta x\)的高阶无穷小.

  • 用\(d y\)近似\(\Delta y\), 几何上就是用切线代替曲线, 以直代曲.

  • 和导数的法则对应.

  • 四则运算 \[\begin{align} d(u\pm v)=du\pm dv,\\ d(uv)=vdu+udv,\\ d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}.\\ \end{align} \]

2.1 历年真题

  • 举例\(f(x)=x.\)

如果\(f(x)\)在\(x_0\)点可导, \(g(x)\)在\(x_0\)点不可导,则\(f(x)g(x)\)在\(x_0\)点: \[\begin{aligned} & A.\ 可能可导也可能不可导 \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ 不可导\\ & C.\ 可导 & D. & \ \ 连续 \end{aligned}\]

方法一:

  • 可导不可导的两个函数乘起来不好说. 因此选 A.

方法二:

  • 举例.

  • 如果\(f(x)=0\)则可导, 如果\(f(x)=1\), 则不可导.

方法三:

  • 纯猜测.

  • 用猜测的原则.

  • 原则一: 选择选项中重复出现的名词-可导, 不可导. 故D不选.

  • 原则二: 结论较多的, 因此选 A.

  • 举例.

  • 如果\(f(x)=0\)则可导, 如果\(f(x)=1\), 则不可导.

  • 明白含义

  • 画出图形

  • 或极大极小在导数变号的地方取到.

  • 或举例是极大极小

  • 举例, 画图法

  • 代入判断连续性

  • 求导代入, 得到不可导

  • 带负号

  • 商

-参数方程的导数

  • 一点处的导数是一个数, 排除A,B.

  • 不大可能为0

  • 导数的定义

  • 计算

  • 倒数或举例

  • 导数的定义

  • 画图

  • 求导

  • 带条件, 排除A,B

  • 一阶导数

  • 驻点的定义

  • 计算

  • 直接求

  • 或举例\(f(x)=x\)

  • 计算

  • 方法二, 一阶导数有系数2, 最后也要有,选B

  • 计算

  • 两项和, 带平方

  • 隐函数求导

  • 两项, 有\(\frac{1}{x}\)

  • 微分的定义

  • 简单函数的导数

  • 求导