微分中值定理-7

作者

周忠国 河海大学

1 微分中值定理

定理 函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某个邻域内可导, 则\(f(x_0)\) 取得极值的必要条件是\(f'(x_0)=0.\)

  • 是极值的必要条件.

  • 点在区间的内部.

  • 给出了极值点可能出现的地方: 导数为零的地方, 或导数不存在的点.

  • 导数为0的点称为驻点或平稳点.

  • 驻点周围, 函数值几乎不变. 函数图形(切线)近似为一条水平线.

  • 定理 如果函数\(y=f(x)\)满足:

    1. \(f(x)\)在\([a, b]\)上连续.

    2. \(f(x)\)在\((a, b)\)内可导.

    3. \(f(a)=f(b).\)
      则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[f'(\xi)=0.\]

  • 三个条件.

  • 结论是存在某个中间值\(\xi\)处的导数为零.

  • 罗尔定理中导数为0的点\(\xi\)其实是内部的最值点.

  • 如果一个函数有2个零点, 由罗尔定理, 至少有1个点导数为0.

  • 如果一个函数有3个零点, 则至少有2个点导数为0, 至少有1个点二阶导数为0.

  • 如果一个函数有4个零点, 则至少有3个点导数为0, 至少有2个点二阶导数为0.

  • 罗尔定理说明零点最少有多少, 再用单调性等说明最多有几个.

  • 定理 如果函数\(y=f(x)\)满足:

    1. \(f(x)\)在\([a, b]\)上连续.

    2. \(f(x)\)在\((a, b)\)内可导.

  • 则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

  • \[其他形式:\ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\] \[或\ f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a).\] \[或\ \Delta y=f'(\xi)\Delta x.\]

  • 几何意义: 内部存在一点处的切线和连结两个端点的割线平行.

1.1 历年真题

  • 连续可导.

  • 0 在分母, 区间包含0.

  • 验证条件
  • 拉格朗日定理的条件

  • 求导
  • 罗尔定理
  • 罗尔定理

-罗尔定理

  • 同上

  • 可导
  • 同上

  • 单调
  • 同上

  • 分母不能为0
  • 同上

  • 导数等于0
  • 同上