二重积分-13

作者

周忠国河海大学

1 二重积分

二重积分的例子

如果被积函数是1, 则二重积分表示积分区域\(D\)的面积(14,19)

二重积分的估计(17)

如果\(f(x,y)\)在区域\(D\)上连续, 且有\(m\leq f(x,y)\leq M,\) 若\(\sigma\)表示积分区域\(D\)的面积. 则积分满足 \[ m\sigma\leq \iint\limits_D f(x,y)dxdy\leq M\sigma.\]
特别的, 如果 \(f(x,y)\geq 0,\) 则\(\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)dxdy\geq 0.\)
积分中值定理 设\(f(x,y)\)在区间\(D\)上连续, 则存在 \((\xi,\eta)\in D,\) 使得 \[\iint\limits_D f(x,y)dxdy=f(\xi,\eta) \sigma.\]
选择题可以先不计算, 通过估计积分, 排除错误项.

直角坐标系计算二重积分(方法)

方法: 化为累次积分(计算两个定积分)\[\iint\limits_{{D}}f(x,y)d xd y= \int_{a}^{b}\left[ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)d y \right] d x\]
最后的表达式简单记作:\[\iint\limits_{{D}}f(x,y)d xd y= \int_{a}^{b} d x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)d y .\]

直角坐标系计算二重积分(步骤18)

例: 设\(D: y=0, y=x, x=2\) 围成的区域, 求\(\displaystyle\iint\limits_{{D}}(x+y)d xd y.\)
画图\(D\); 确定\(x\)的范围:\(0\leq x\leq 2\); 对\(x\), 确定\(y\)的范围:\(0\leq y\leq x;\) 写出累次积分.
\[\iint\limits_{{D}}(x+y)d xd y= \int_{0}^{2} d x \int_{0}^{x} (x+y)d y .\]

二重积分交换次序(不计算13,22)

二重积分化为极坐标(12,16,19,21,22)

\[\left\{\begin{array}{l} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta. \end{array} \right.\quad \underline{dxdy}=\underline{rd\theta dr}.\]

二重积分化为极坐标(例)

\[\left\{\begin{array}{l} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta. \end{array} \right.\quad \underline{dxdy}=\underline{rd\theta dr}.\]
设\(D\) 为 \(1\leq x^2+y^2\leq 4\)第一象限部分, 把\(\displaystyle\iint\limits_{{D}}(x^2+y^2)d xd y\)化为极坐标形式.
画图\(D\);
确定\(\theta\)的范围:\(0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\);
用射线确定\(r\)的范围:\(1\leq y\leq 2;\)
\[要换全换. \displaystyle\iint\limits_{{\color{blue} D}} \color{red}{ (x^2+y^2)}\, \underline{{\color{black} d xd y}}= \iint\limits_{{\color{blue} D}}\color{red} {r^2}\, \underline{{\color{black} rd rd \theta}}\\ =\int_{{\color{blue} 0}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{{\color{blue} 1}}^{2}\color{red} {r^3}\, {{\color{black} d r}}\]