函数-2

1 函数

提示常见函数及其图形(17)

• 举例说明时, 尽可能举简单的例子.

• 最常使用的函数, 其图形或性质要熟练掌握.

• 练习: 试着画出下面函数的图形.

  1. 幂函数\(y=x^a,\)
  2. 指数函数\(y=a^x,\)
  3. 对数函数\(y=\ln x,\)
  4. 三角函数\(y=\sin x, y=\cos x,\) \(y=\tan x, y=\cot x\), \(y=\sec x, y=\csc x,\)
  5. 反三角函数\(y=\arctan x, \arcsin x\).

注记奇函数与偶函数(13,18)

• 奇函数: \(f(-x)=-f(x);\) 偶函数: \(f(-x)=f(x).\)

• 如果可导的话, 奇函数的导数是偶函数, 偶函数的导数是奇函数.

• 反之, 积分奇函数的原函数是偶函数, 但偶函数的原函数不一定是奇函数.

• 例如: \(y=1\)的原函数是\(y=x+C\), 不是奇函数.

• 对称区间上, 奇函数的积分为0. 如\[\int_{-1}^{1}xdx=0.\]

• 对称区间上, 偶函数的积分为2倍. 如\[\int_{-1}^{1}x^2dx=2\int_{0}^{1}x^2dx.\]

注记幂指函数

• 幂指函数是指数和底都包含变量的函数, 如 \[y=x^x, y=(3x-1)^{\sin x}.\]

• 一般把幂指函数化为指数函数处理, 如\[x^x=e^{x\ln x},\ (3x-1)^{\sin x}=e^{{\sin x}\ln (3x-1)}.\]

1.1 历年真题

注记2017-2-函数的性质

重要考试解题策略

• 有界

注记2018-2-奇偶函数

重要考试解题策略

• 代入\(f(x)=1\)

• 或验证