向量平面与直线-28

提示使用说明

• 针对选择题类型, 不讲复杂的计算, 节约复习时间.

• 主要是基本概念与基本方法.

• 用例子说明概念与方法.

• 标题里红色两位数(如18,19)表示2018,2019年的考试真题涉及本小节内容.

提示建议

• 理解: 掌握知识点的含义

• 记忆: 用自己熟悉的方法记住

• 使用: 掌握例子的解题步骤

• 效率: 针对选择题思路要灵活

拿起纸笔, 想一想, 算一算, 才能真正理解, 掌握.

• 题目涉及的是一些基本概念与基本方法.
• 切记: 用选择题的思维做题.

1 向量的内积与外积

• 掌握内积, 外积是什么? 怎么算? 有何用?
• 内积外积是解决平面, 直线问题的工具.
• 注意涉及判断平行与垂直或者夹角问题.

1.1 向量的基本概念

\[\alpha=(1,2,-2).\]

注记向量用坐标表示

\[三维向量\ \alpha=(1,2,-2),\ 二维向量\ b=(-1,2).\]

注记\(x,y,z\)轴上的3个单位坐标向量

\[\vec{i}=(1,0,0),\ \vec{j}=(0,1,0), \ \vec{k}=(0,0,1).\]

注记向量的长度

\[\alpha=(x, y, z),\ 则\ \|\alpha\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]

提示向量\(\overrightarrow{AB}\)等于终点减起点坐标

已知两点\(A(1,1,2)\)与\(B(2,-1,2)\), 则向量 \[\overrightarrow{AB}=(2,-1,2)-(1,1,2)=(2, -2,0).\]

1.2 向量的线性运算

\[(a, b, c)+(x, y, z)=(a+x, b+y, c+z),\quad k(x, y, z)=(kx, ky, kz).\]

注记向量的加法与数乘

设\(\alpha=(a, b, c),\ \beta=(x, y, z)\), 则

加法 \[(a, b, c)+(x, y, z)=(a+x, b+y, c+z).\]

数乘 \[k\beta=k(x, y, z)=(kx, ky, kz).\]

• 加法与数乘就是坐标分量分别相加, 相乘.

• 满足结合律与分配律.

• 比如\(\ k(\beta+\gamma)=k\beta+k\gamma.\)

1.3 向量的内积(18,19)

\[\begin{aligned}\color{red}{\alpha\cdot\beta}&=(a, b, c)\cdot(x, y, z)\\ &=ax+by+ cz\\ &=\|\alpha\|\|\beta\|\cos\theta. \end{aligned}\]

注记内积是一个数

• 如果\(\overrightarrow{F}\)表示力, \(\overrightarrow{S}\)表示位移, 则\(W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{S}\)就表示功.

• 从功的角度记忆内积的性质比较容易.

注记内积的计算方法

• 设\(\alpha=(a, b, c),\ \beta=(x, y, z)\), 则

已知坐标, 计算内积 \[\color{red}{\alpha\cdot\beta}=(a, b, c)\cdot(x, y, z)=ax+by+ cz.\]

已知长度和夹角, 计算内积(\(\theta\)是两向量的夹角) \[\alpha\cdot\beta=\|\alpha\|\|\beta\|\cos\theta.\]

注记内积的应用-计算夹角

• 用公式\[\cos\theta=\frac{\alpha\cdot\beta}{\|\alpha\|\|\beta\|}.\]

• 例 设\(\alpha=(1, 1, 2),\ \beta=(-2, 1, 0)\), 求两个向量的夹角.

• \[\cos\theta=\frac{1\times(-2)+1\times 1+2\times 0}{\sqrt{6}\sqrt{5}}=\frac{-1}{\sqrt{30}}.\] 所以\(\theta=\arccos\frac{-1}{\sqrt{30}}.\)

注记内积的应用-判断是否垂直(17,19)

• 定理 \({\alpha}\perp{\beta}\Longleftrightarrow{\alpha}\cdot{\beta}=0.\)

• 练习\(\,\) 设\(\alpha=(1, 1, 2),\ \beta=(-2, 1, k)\), \(k\)为何值时, 两向量垂直?

• 提示: 由定理\[\alpha\perp{\beta}\Longleftrightarrow -2+1+2k=0.\]

1.4 向量的外积

\[{ \alpha}\times{ \beta}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a & b & c\\ x & y & z \end{vmatrix}.\]

注记外积是一个向量(16,22,22)

• 外积是一个向量.

注记外积的计算方法

设\(\alpha=(a, b, c),\ \beta=(x, y, z)\). 外积\({\alpha}\times \beta\)可用两种方式计算.

方法一: 长度+方向

• 外积的长度等于以\({\alpha}, {\beta}\) 为边的平行四边形的面积 \[\|{ \alpha}\times{ \beta}\|=\|{ \alpha} \|\cdot\|{ \beta}\|\sin\theta.\]

• 外积的方向满足 \({\alpha}\times{\beta}\perp {\alpha},{\alpha}\times{\beta}\perp{ \beta}\).

方法二: 用坐标计算

• \[{ \alpha}\times{ \beta}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ a & b & c\\ x & y & z \end{vmatrix}.\]

• \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\)是3个单位坐标向量

注记外积的计算-行列式法(13)

• 练习\(\,\) 设\(\alpha=(1, 2, 3),\ \beta=(4, 5, 6)\), 计算\(\alpha\times{ \beta}\).

• 提示: 按第一行展开 \[\begin{align} &{\alpha}\times{\beta}=\begin{vmatrix}\color{red}{\vec{i}} & \color{red}{\vec{j}} & \color{red}{\vec{k}}\\ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} \end{align} \]

• \[\begin{align} &=\begin{vmatrix} \color{red}2 & \color{red}3\\ \color{red}5 & \color{red}6 \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}\color{blue}1 & \color{blue}3\\ \color{blue}4 & \color{blue}6 \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}\vec{k}\\ &=-3\vec{i}+6\vec{j}+3\vec{k}=(-3,6,3). \end{align} \]

• 其中2阶行列式\[\begin{vmatrix} a & b\\ x & y \end{vmatrix}=ay-bx.\]

1.5 判断两个向量是否平行

注记两向量平行当且仅当坐标对应成比例

定理 设\(\alpha=(\color{red}a, \color{red}b, \color{red}c),\ \beta=(\color{blue}x, \color{blue}y, \color{blue}z)\). 则 \[{\alpha}{\mathrel{/ \mskip-4mu /}}{\beta}\Leftrightarrow{\alpha}=k{\beta}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\color{red}a}{\color{blue}x}=\frac{\color{red}b}{\color{blue}y}=\frac{\color{red}c}{\color{blue}z} .\]

• 练习: 设\(\alpha=(1, 2, 3),\ \beta=(-2, m, k)\), 则\(m, k\)为何值时, 两向量平行?

• 提示: 由定理\[\alpha{\mathrel{/ \mskip-4mu /}}{\beta}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{-2}=\frac{2}{m}=\frac{3}{k}.\]

2 平面与直线(19,22,22)

\[ax+by+cz=d,\quad \frac{x-x_{0}}{\color{red}m}=\frac{y-y_0}{\color{red}n}=\frac{z-z_{0}}{\color{red}p}.\]

• 画图帮助解决问题.

注记平面的法向量及平面方程

• 垂直于平面的非零向量\(\vec{n}=(a, b, c)\)称为平面的法向量.

• 已知平面\(\pi\) 上一点\(M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\)以及法向量\(\vec{n}=(\color{red}a, \color{red}b, \color{red}c)\),

• 则平面方程为: \[\color{red}a(x-x_{0})+\color{red}b(y-y_{0} )+\color{red}c(z-z_{0})=0.\]

• 练习\(\,\) 求过点\(M_{0}(-1, 2, 4)\)且以\(\vec{n}=(2, -1, 3)\) 为法向量的平面方程.

• 平面的一般式方程:\[\color{red}ax+\color{red}by+\color{red}cz+d=0.\]

• 此平面的法向量\(\vec{n}=(\color{red}a, \color{red}b, \color{red}c)\).

• 平面的法向量最为重要.

注记直线的方向向量与直线方程(17,19)

• 和直线\(l\)平行的非零向量\(\vec{s}=(m, n, p)\)称为该直线的方向向量.

• 如果已知\(l\)上的一个定点\(M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\) 和方向向量\(\vec{s}=(\color{red}m, \color{red}n, \color{red}p)\),

• 则直线方程(对称式方程)为: \[\frac{x-x_{0}}{\color{red}m}=\frac{y-y_0}{\color{red}n}=\frac{z-z_{0}}{\color{red}p}.\]

• 也可以写为参数方程的形式:\[ \left\{\begin{align} x&=x_{0}+\color{red}mt,\\ y&=y_{0}+\color{red}nt,\\ z&=z_{0}+\color{red}pt. \end{align}\right.\]

• 直线也可以表示成两个平面的交线:\[\begin{cases} \begin{array}{c} 3x-y+2z-6=0,\\ x+4y-z+3=0. \end{array}\end{cases}\]

注记求平面直线的方程

• 练习: 求过\(P(p, 0, 0), Q(0, q, 0), R(0, 0, r)\)三个点的平面方程.

• 提示: \(\ \displaystyle\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1.\)

• 练习: 求过\(P(1, 2, 3),\) 和\(x\)轴平行的直线方程.

• 提示: \(x\)轴的方向向量是\(\,(1,0,0).\)

2.1 两平面的位置关系(18)

注记两平面的位置关系由法向量决定

• 设两平面的方程:\[ \begin{align} &\pi_{1}:\ \ a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0, \\ &\pi_{2}:\ \ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0. \end{align}\]

• 法向量\(\vec{n}_{1}=(a_{1}, b_{1},c_{1}),\vec{n}_{2}=(a_{2}, b_{2},c_{2}).\)

• 则有:

  1. \(\pi_{1}\perp \pi_{2}\Longleftrightarrow \vec{n}_{1}\perp \vec{n}_{2}\Longleftrightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}=0;\)

  2. \(\pi_{1}\parallel\pi_{2}\Longleftrightarrow \vec{n}_{1}\parallel \vec{n}_{2}\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}};\)

  3. 一般情形: 两平面的夹角等于两个法向量的夹角.

2.2 平面与直线的位置关系(11,12,13,21)

注记直线与平面的位置关系由直线的方向向量和平面的法向量决定

• 设直线, 平面的方程为: \[直线l: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_{0}}{p},\\ 平面 \pi:\ ax+by+cz+d=0.\quad\qquad \]

• 直线的方向向量\(\vec{s}=(m,n,p),\) 平面的法向量\(\vec{n}=(a,b,c).\)

• 则有:

  1. \(l\parallel\pi\Longleftrightarrow \vec{s}\perp \vec{n}\Longleftrightarrow am+bn+cp=0;\)

  2. \(l\perp\pi\Longleftrightarrow \vec{s}\parallel \vec{n}\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{c}{p}.\)

  3. 直线在平面上\(\Longleftrightarrow\) 直线和平面平行且直线上一点也在平面上.

  4. 一般情形: 直线与平面的夹角等于\(\vec{s}\)与 \(\vec{n}\)的夹角的余角.

2.3 两直线的位置关系(14)

注记两直线的位置关系由直线的方向向量决定

• 设直线的方程为: \[直线l_1\quad \frac{x-x_{1}}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_{1}}{p_1},\\ 直线l_2\quad \frac{x-x_{2}}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_{2}}{p_2}, \]

• 直线的方向向量\(\vec{s}_1=(m_1,n_1,p_1),\vec{s}_2=(m_2,n_2,p_2).\)

• 则有:

  1. \(l_1\parallel l_2\Longleftrightarrow \vec{s_1}\parallel \vec{s}_{2}\Longleftrightarrow \displaystyle\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2};\)

  2. \(l_1\perp l_2\Longleftrightarrow \vec{s}_1\perp \vec{s}_2 \Longleftrightarrow\displaystyle {m_1}{m_2}+{n_1}{n_2}+{p_1}{p_2}=0.\)

  3. 一般情形: 两直线的夹角等于\(\vec{s}_1\)与 \(\vec{s}_2\)的夹角.

3 空间曲面

\[F(x,y,z)=0.\]

注记空间曲面的方程

• 曲面方程: 一个含有3个未知数的方程\[F(x,y,z)=0.\]

• 如球面\[x^2+y^2+z^2=1.\]

• 如平面\[x+y+z=1.\]

注记母线准线与柱面(11)

• 用圆柱面帮助理解.

• 动直线沿着一个圆周平行移动所形成的曲面是圆柱面.

• 动直线\(l\)沿着一条定曲线\(\Gamma\)平行移动所形成的曲面, 称为柱面.

• 动直线称为柱面的母线, 定曲线称为柱面的准线.

• 缺少某个变量的方程表示特殊柱面. 如\[ x^2+y^2=1,\]

• 在3维空间表示圆柱面, 缺少\(z\), 则母线和\(z\)轴平行, 准线是\[ \left\{ \begin{align} &x^2+y^2=1,\\ &z=0. \end{align} \right.\]

注记曲线在坐标平面的投影(12)

• 曲线\(\Gamma\)有时用方程组-两个曲面的交线表示, 如\[ \Gamma:\ \left\{ \begin{align} &x^2+y^2+z^2=1,\\ &x+y+z=0. \end{align} \right.\]

• 求曲线在坐标平面的投影的方法: 把一个曲面变成柱面, 也就是消去某个变量.

• 例如求曲线\(\Gamma\)在\(xoy\)上的投影曲线, 方程组消去\(z\)得\[ \left\{ \begin{align} &x^2+y^2+(x+y)^2=1,\\ &x+y+z=0. \end{align} \right.\]

• 所以曲线\(\Gamma\)在\(xoy\)上的投影曲线是\[ \left\{ \begin{align} &x^2+y^2+(x+y)^2=1,\\ &z=0. \end{align} \right.\]

注记旋转曲面及其方程(12,16)

• 一条平面曲线绕着它所在平面上一条固定直线, 旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面. 该固定直线称为旋转轴, 该旋转曲线称为母线.

• 球面是由圆绕着其直径旋转而成.

• \(zox\)面上的曲线\(\left\{\begin{align}&z=x^2,\\ &y=0.\end{align}\right.\)绕\(z\)轴旋转一周所得的曲面方程为\[z=x^2+y^2.\]

• 这个曲面称为旋转抛物面.

• 求旋转面方程的方法: 把\(x\)换成\(\sqrt{x^2+y^2}\), 代入曲线方程.

注记旋转抛物面(14)

• 反之, 如果曲面的方程中, \(x^2,y^2\)和\(z^2\)中有两个的系数相同, 则是一个旋转面.

• 如\(y=3x^2+3z^2-1\)是旋转抛物面

• 表示的是\(xoy\)面上的曲线\(\left\{\begin{align}&y=3x^2-1,\\ &z=0.\end{align}\right.\)绕\(y\)轴旋转一周所得的旋转抛物面.

• 问题: \(y=x^2+3z^2-1\)表示的是什么图形?

• 分析: 和\(y=3x^2+3z^2-1\)没什么太大差别.

3.1 二次曲面

注记分类

• 椭球面\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+=1.\)

• 单叶双曲面 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.\)

• 双叶双曲面\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.\)

• 椭圆抛物面\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=kz.\)

• 圆锥面\({x^2}+{y^2}=z^2.\)

注记两曲面的交线(21)

• 交线即为方程组.

• 可以把方程组进行加减, 变成形式简单的同解方程组.

• 同解方程组表示的是同一条曲线.

3.2 历年真题

注记2022-9-内积

重要考试解题策略

• 画图或公式

• 外积的长度等于平行四边形的面积

注记2016-4-内积, 外积

重要考试解题策略

• 要比\(2\sqrt{2}\)小

注记2022-9-外积

注记考试解题策略

• 计算

注记2017-3-外积

重要考试解题策略

• 外积与平行, 内积与垂直

注记2018-7-向量的运算

重要考试解题策略

• 画图

注记2019-9-向量平行

重要考试解题策略

• 成比例

• 内积的计算

注记2020-9-内积与垂直

重要考试解题策略

注记2013-1-外积

重要考试解题策略

• 是个数排除D

• 不是0, 排除A,

• 带根号, 排除B

注记2023-9-外积

重要考试解题策略

• 定义

注记2024-9-共线

重要考试解题策略

• 意义

注记2018-11-平面方程

重要考试解题策略

• 代入

注记2022-10-平面

重要考试解题策略

• 代入点

注记2022-10-平面方程

重要考试解题策略

• 代入

注记2020-10-平面方程

重要考试解题策略

• 代入点

注记2017-9-直线方程

重要考试解题策略

• 对称方程, 排除A,C
• 过点

注记2019-10-直线方程

重要考试解题策略

• 方向\((0,0,1)\)

注记2011-1-直线与平面的位置关系

设直线方程为\(x=y-1=z\), 平面方程为\(x-2y+z=0,\) 则直线与平面: \[\begin{aligned} & A.\ 重合 &\qquad\qquad\qquad & B. & \ \ 平行不重合\\ & C.\ 垂直相交 &\ & D. & \ \ 相交不垂直\\ \end{aligned}\]

重要考试解题策略

• 直线与平面的位置关系由方向向量和法向量决定.

• 直线的方向向量\(\vec{s}=(1,1,1),\) 平面的法向量\(\vec{n}=(1,-2,1).\)

• 计算内积\[\vec{s}\cdot \vec{n}=(1,1,1)\cdot (1,-2,1)=1\times 1+1\times (-2)+1\times 1=0,\]

• 所以\(\vec{s}\)和 \(\vec{n}\)垂直, 因此直线与平面平行.

• 选择直线上的点\((0, 1,0)\), 代入平面方程, 不在平面上.

• 所以直线与平面垂直但不相交. 因此选 B.

提示涉及知识点

• 直线与平面的位置关系由方向向量\(\vec{s}\)和法向量\(\vec{n}\)决定.

• \(\vec{s}\)和\(\vec{n}\)垂直等价于直线与平面平行.

• \(\vec{s}\)和\(\vec{n}\)平行等价于直线与平面垂直.

注记2012-18-直线与平面的位置

重要考试解题策略

• 方法一

• 选直线上两点, 即方程组的两个特解.

• 取\(y=3,\)解出点, 取\(x=-1,\) 解出点,

• 方法二

• 选\(z\)作为参数, 解出参数方程.

• 得到方向向量

方法三:

• 用外积计算直线的方向向量

警告一般思路

• 同上

• 用外积求出方向向量

提示涉及知识点

• 直线与平面的位置关系

• 外积

• 内积, 垂直

注记2013-15-直线与平面的位置关系

重要考试解题策略

• 方向向量与法向量不垂直, 不平行

• 非垂直相交

注记2021-10-直线与平面的关系

重要考试解题策略

• 外积

注记2023-10-直线的方向

重要考试解题策略

• 垂直

注记2014-9-两直线夹角

重要考试解题策略

• 用内积计算

提示涉及知识点

• 内积计算夹角

注记2024-10-直线的夹角

重要考试解题策略

• 内积

注记2021-9-交线

重要考试解题策略

• 相减是圆

注记2012-16-交线的投影

重要考试解题策略

• 投影, 消去一个变量\(x\), 选A.

• D是曲面

注记2011-2-柱面及其母线

在三维空间中, 方程\(y^2-z^2=1\) 所代表的图是: \[\begin{aligned} & A.\ 母线平行x轴的双曲柱面 & B. & \ \ 母线平行y轴的双曲柱面\\ & C.\ 母线平行于z轴的双曲柱面 & D. & \ \ 双曲线\\ \end{aligned}\]

重要考试解题策略

方法一:

• 三维空间, 一个方程表示的是曲面.

• 因为方程中有\(y,z\), 所以选项B,C要对都对, 故不能选. 因此选 A.

方法二:

• 题目关键确定和谁平行, 换个特殊方程\(y-z=1\), 这是一个平面, 和\(x\)轴平行.

方法三:

• 缺少哪个变量就和哪个轴平行.

警告一般思路

• 方程缺少某个变量的曲面是柱面.

• 方程缺少哪个变量就和哪个轴平行.

提示涉及知识点

• 柱面方程及其母线

注记2012-17-旋转面

重要考试解题策略

• 系数相等, 旋转面

注记2014-2-旋转面

重要考试解题策略

• 系数相同, 旋转面

• 或排除法

注记2016-8-旋转面

重要考试解题策略

• 旋转面