定积分
定积分\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\)是一个数.
如果\(f(x)\geq 0\), 表示的是由曲线\(y=f(x), y=0, x=a, x=b\)所围成的面积.
定积分满足积分区间的可加性:\[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx.\]
定积分是一个数, 表示面积, 则关于定积分的结论就容易理解了
定积分的符号\(\displaystyle\int_a^b\)表示”求和, 加起来”.
如果\(f(x)\)在区间\([a, b]\)上连续, 且有\(m\leq f(x)\leq M,\) 则积分满足 \[
m(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx\leq M(b-a).\]
特别的, 如果 \(f(x)\geq 0,\) 则\(\displaystyle\int_a^b f(x)dx\geq 0.\)
积分中值定理 设\(f(x)\)在区间\([a, b]\)上连续, 则存在 \(\xi\in [a, b],\) 使得 \[\int_a^b f(x)dx=f(\xi) (b-a).\]
选择题可以先不计算, 通过估计积分, 排除错误项.
定理 设\(f(x)\)连续, 且为周期函数, \(T\)是一个正周期, 则任意的\(a\), 有 \[\int_a^{a+T} f(x)dx=\int_0^{T} f(x)dx.\]
周期函数从任一起点开始, 一个周期上的积分都相等.
定理 设\(f(x)\)连续, 且为偶函数, 则 \[\int_{-a}^{a} f(x)dx=2\int_0^{a} f(x)dx.\]
定理 设\(f(x)\)连续, 且为奇函数, 则 \[\int_{-a}^{a} f(x)dx=0.\]
牛顿莱布尼兹公式
微积分基本定理 设\(f(x)\)在\([a, b]\)上连续, \(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数, 则 \[\int_a^b f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).\]
定积分的计算最终都用此公式算出来.
物理的解释, \(s'(t)=v(t).\) 则一小段时间\(dt\)的距离是\[ds= v(t)dt.\]
所有时间段加起来\[\int_{t_1}^{t_2} v(t)dt=s({t_2})-s({t_1}).\]
积分上限函数
积分上限函数就是一个函数, 用积分形式表示的函数.
关键是导数是什么 \[ \left(\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} f(t)dt\right)'=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x). \]
\[ \left(\int_{0}^{\color{red}{x^2}} \sin tdt\right)'=\sin \color{red}{x^2}\cdot (\color{red}{x^2})'. \]
\[ \left(\int_{0}^{\color{red}{x^2}} \sin xdx\right)'=\sin \color{red}{x^2}\cdot (\color{red}{x^2})'. \]
积分变量用哪个符号\(t, x\)对导数没有影响.
换元法(基本方法)
是基本的方法.
用基本步骤解决.
要换全换！积分区间, 被积函数, 积分变量
什么时候用?
有根号, 需要换元去根号.
\[ 例\ 计算 \begin{align}
&\int_0^{1} \sqrt{1-x^2}dx.
\end{align}\]
第一步: 用三角函数去根号, 设\(x=sin\theta\).
第二步: 要换全换. 积分上下限, 被积函数, 积分变量\(dx\). 最好列出表格.
| \(x=\sin\theta\) |
0 |
\(1\) |
| \(\theta\) |
0 |
\(\frac{\pi}{2}\) |
计算微分: \(dx=d sin\theta=\cos\theta d\theta\). 全部替换:
\[\begin{align}&\int_{\color{blue}{0}}^{\color{blue}{1}} \color{red}{\sqrt{1-x^2}} \underline{dx}
=\int_{\color{blue}{0}}^{\color{blue}{\frac{\pi}{2}}} \color{red}{\cos\theta}\, \underline{\cos\theta d\theta}\\
=&\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta=?
\end{align}\]
分部积分法
\[\int udv=uv- \int vdu.\]
微积分的应用
例 计算函数\(y=f(x)\)围成的面积.
- 过程
- 选取微元代表
- 计算面积微元表达式\(dA=ydx=f(x)dx.\)
- 确定积分区间
- 加起来
- \[A=\int_a^{b}dA=\int_a^{b}f(x)dx.\]
求\(y=x^2(1\leq x\leq 3),\) 直线\(x=1, x=3\)及\(x\)轴所围的曲边梯形绕\(x\)轴旋转一周而成的旋转体的体积.
- 微元法得到体积公式
- 选取微元代表
- 计算体积微元表达式.
看成圆柱, 高是\(dx\), 半径是\(y\), 所以体积为\[dV=\pi y^2dx=\pi f^2(x)dx.\]
- 确定积分区间
\(1\leq x\leq 3.\)
- 加起来\[V=\int_1^3dV=\int_1^3 \pi x^4dx.\]
广义积分
用定理判断敛散性. 本质上是估计, 比较被积函数的阶, 即趋向零的速度!
常见例子(无穷区间)
\[\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx: \left\{
\begin{aligned}
收敛,\ p>1, \\ 发散, \ p\leq 1.
\end{aligned}\right.\]
无穷区间, 幂次越高, 趋向零的速度越快, 越收敛.
常见例子(瑕积分)
\[\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx: \left\{
\begin{aligned}
收敛,\ p<1, \\ 发散, \ p\geq 1.
\end{aligned}\right.\]
无界函数, 幂次越高, 趋向无穷大的速度越快, 越发散.
如果\(0\leq f(x)\leq g(x),\) 且\(\displaystyle\int_1^{+\infty} f(x)dx\)收敛, 则\(\displaystyle\int_1^{+\infty} g(x)dx\)也收敛.
如果\(0\leq f(x), g(x),\) 且\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=k>0.\]则\(\displaystyle\int_1^{+\infty} f(x)dx\)和, \(\displaystyle\int_1^{+\infty} g(x)dx\)有相同的敛散性.
例如 \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx\) 收敛, 所以 \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{1+x^2}dx\) 也收敛.
计算方法及公式和定积分一样, 只是代入牛顿-莱布尼兹公式时, 是取极限.
如果\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函数, 则 \[\begin{align}
\int_a^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_a^{+\infty}=\lim_{b\to +\infty} F(b)-F(a).\\
\int_a^{b}f(x)dx=F(x)|_a^{b}=\lim_{x\to b^-} F(x)-F(a).
\end{align}\]
\[\begin{align}\int_1^{+\infty} \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x |_1^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.\end{align}\]
历年真题
\(\displaystyle\int_{-2}^2 {\sqrt{4-x^2}dx}=\) \[\begin{aligned}
& A.\ \pi \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ 2\pi \\
& C.\ 3\pi & D. & \ \ \frac{\pi}{2}
\end{aligned}\]
方法一:
方法二:
数值估计.
由于是\(x^2\), 因此选择\(x=1\)代入, \(\sqrt{4-x^2}\approx \sqrt{4-1}=\sqrt{3}\).
原积分\(\approx 4\sqrt{3}\approx 6.8\)
和选项 B 比较接近.
注意, 根据估计积分小于8.
- 估计. 把积分区间端点代入得\(\frac{1}{2}\)和\({\sqrt{3}}.\)
设\(f(x)\)是连续函数, 且\(f(x)=x^2+2\displaystyle\int_0^2t f(t){dt},\)则\(f(x)=\) \[\begin{aligned}
& A.\ x^2 \qquad\qquad\qquad & B. & \ 2x^2 \\
& C.\ 2x & D. & \ x^2-\frac{16}{9}
\end{aligned}\]
直接积分, 计算.
\[\begin{aligned}
&设\ 2\int_0^2t f(t){dt}=c,则\\
&f(x)=x^2+c, 两边积分得\\
&\int_0^2f(x)dx=\int_0^2(x^2+c) dx=\frac{8}{3}+2c,\\
&所以\ \frac{16}{3}+4c=c,\\
&解得c=-\frac{16}{9}
\end{aligned}\]
代入, 有平方, 排除D
需求导, 有\(2x\), 排除B,C
画图, 估计
被积函数是\(x^6\), 考虑分母是7
估计, 代入端点1, 约为1.
其实选择项中只有B是正数, 其它都是负数, 排除
曲线\(y=e^{-x}(x\geq 0)\)与直线\(x=0, y=0\)所围图形, 绕\(ox\)轴旋转所得旋转体的体积为: \[\begin{aligned}
& A.\ \frac{\pi}{2} \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ {\pi} \\
& C.\ \frac{\pi}{3} & D. & \ \ \frac{\pi}{4}
\end{aligned}\]
