级数-28

1 常数项级数

注记级数是无限和

• 无限个数加起来就叫数项级数. 比如 \[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots. \]

• 无限个函数加起来就叫函数项级数. 比如 \[ \sum_{n=0}^\infty {x^n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots. \]

• 级数的一般表达式 \[\sum_{n=1}^\infty a_{n}, \quad\sum_{n=1}^\infty f_n(x).\]

注记级数与部分和

• 部分和 \(\ \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_{k}.\)

• 部分和数列 \(S_1, S_2, \cdots, S_n, \cdots .\)

• 如果 \[\lim_{n \rightarrow \infty} S_n=s\]存在, 则称级数收敛. 否则称级数发散.

• 级数如果收敛, 则表示一个确定的数\(s.\) 比如 \[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots=1. \]

• 判断级数是否收敛, 称为审敛.

• 有专门的方法判断敛散性, 如比较, 比值, 根值法等.

注记级数收敛的必要条件

定理 级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}\)收敛的必要条件是 \[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=0.\]

• 判断敛散性, 先用必要条件淘汰一部分. 比如下面的级数发散 \[ 1-1+1-1+\cdots. \]

• 注意只是必要条件, 不是充分条件.

注记级数的运算性质(11)

• 审敛时总是尽量利用已知结果.

• 如果级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n},\sum_{n=1}^\infty b_{n}\)都收敛, 则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_{n}+b_{n})\)也收敛.

• 如果级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n},\sum_{n=1}^\infty b_{n}\)一个收敛, 一个发散, 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_{n}+b_{n})\)发散.

• 如果改变有限项, 级数的敛散性不变. 例如\[\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n},\quad\sum_{n=1}^\infty a_{n+100}\]有相同的敛散性.

注记常用级数-几何级数与\(p\)-级数(14)

• 几何级数 \[ \sum_{n=0}^\infty {x^n}= \left\{\begin{align} \frac{1}{1-x},& \quad |x|<1;\\ 发散, & \quad|x|\geq 1. \end{align} \right. \]

• \(p\)-级数 \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}= \left\{\begin{align} 收敛,& \quad p>1;\\ 发散, & \quad p\leq 1. \end{align} \right. \]

• 例如, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)收敛, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^{\frac{2}{3}}}\) 发散.

1.1 正项级数审敛法

注记正项级数审敛法(13,22)

• 注意: 是正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n},\ a_{n}\geq 0\).

• 根本方法

  1. 正项级数的部分和数列是单调递增数列.
  2. 正项级数收敛的充要条件是部分和有界.
  3. 其它判别方法均是由此得到的: 就看有没有上界.

注记正项级数的比较判别法

定理(比较判别法的极限形式) 两个正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n},\sum_{n=1}^\infty b_{n},\) 如果 \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\] 则有 (1). \(0<l<\infty\)时, 两个级数有相同的敛散性.

(2). \(l=0\)时, 如果\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{n}\)收敛, 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}\)收敛.

(3). \(l=\infty\)时, 如果\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_{n}\)发散, 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}\)发散.

• 两个级数的一般项是同阶无穷小时, 敛散性相同.

• \[大小关系\ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\ln n}{n^k}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^k}{a^n}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a^n}{n!}= \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!}{n^n}=0, \ k>0, a>1. \]

注记正项级数的比值判别法

• 定理(比值法) 正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n},\) 如果 \[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho.\]

• 则有

  1. \(\rho<1\)时, 级数收敛.

  2. \(\rho>1\)时, 级数发散.

  3. \(\rho=1\)时, 无法判断敛散性.

• \(\rho\)是后项比前项的极限. .

• \(\rho=1\)时, 需用其它方法判断敛散性.

注记正项级数的根值判别法

• 定理(根值法) 正项级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n},\) 如果 \[\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\rho.\]

• 则有

  1. \(\rho<1\)时, 级数收敛.

  2. \(\rho>1\)时, 级数发散.

  3. \(\rho=1\)时, 无法判断敛散性.

• \(\rho=1\)时, 需用其它方法判断敛散性.

• 注意一些极限. \[\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1, \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=3.\]

注记交错级数审敛法(17)

• 定理(莱布尼兹判别法) 交错级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}a_{n},\ a_n>0\) 如果满足下两条, 则收敛.

  1. \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} {a_n}=0.\)

  2. \(a_n\)单调递减.

• 例如, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n}\)收敛.

注记绝对收敛与条件收敛(12,16,22)

• 如果级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_{n}|\)收敛, 则\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}\)也收敛, 此时称\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}\)绝对收敛.

• 如果级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}\)收敛, 但\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_{n}|\)发散, 此时称\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n}\)条件收敛.

• 不管条件收敛还是绝对收敛, 级数本身都是收敛的.

• 例如, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n}\)条件收敛.

注记常见级数的敛散性(12,18,19,20,21)

• 例如, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n^\frac{3}{2}}\)绝对收敛, \(\, \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1} {n^{\frac{2}{3}}}\) 发散.

• 例如, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{1}{n}\) 条件收敛. \(\, \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}\)条件收敛.

• 例如, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{3^n}{4^n}\) 绝对收敛.

• 再用比较法, 把\(a_n\) 缩小放大一下.

• 例如, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n^2-5n}\)绝对收敛

2 幂级数

注记收敛半径与收敛域(11,13,14,19,20,22)

• 幂级数形如\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n{x^n}=a_0+a_1x+a_2x^{2}+ \cdots+a_nx^{n}+\cdots.\)

• 定理 如果幂级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n{x^n}\)在\(x=x_0\)处收敛, 则对任意的\(|x|<|x_0|\)都绝对收敛. 如果在\(x=x_1\)处发散, 则对任意的\(|x|>|x_1|\)都发散.

• 幂级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n{x^n}\)的收敛域是一个区间, 端点处要具体判断.

• 此区间的半径称为收敛半径.

• \[如果\,\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho\ 或\ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\rho,\] 则收敛半径\(R=\frac{1}{\rho}.\)

• 缺项幂级数直接用比值法或根值法求.

注记收敛半径与收敛域-例

• 例: 求幂级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n{x^n}\)的收敛域.

• \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{{n+1}}{n}=1,\) 所以收敛半径是1,

• 代入端点\(x=-1,1\)都发散, 所以收敛域\((-1,1).\)

• 例: 求幂级数\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{3^n}{x^{2n+1}}\)的收敛半径.

• 此为缺项幂级数, 只有奇次幂. 全部代入计算

• \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\sqrt[n]{\frac{n}{3^n}x^{2n+1}}\right|=|\frac{1}{3}x^2|<1,\)

• 解得\(|x|<\sqrt{3},\) 所以收敛半径是\(\sqrt{3}\).

注记和函数

• 和函数和其幂级数展开式(在收敛域内)是同一个函数的不同表达方法. \[s(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n{x^n}, x \in (-R, R).\]

• 例如 \[ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty {x^n}, |x|<1.\]

注记幂级数的运算

设\(s(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n{x^n}=a_0+a_1x+a_2x^{2}+ \cdots+a_nx^{n}+\cdots, \, x\in (-R,R).\)

• 逐项求导.\[s'(x)=\sum_{n=0}^\infty (a_n{x^n})'=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty na_n {x^{n-1}}=a_1+2a_2x+ \cdots+na_nx^{n-1}+\cdots.\]

• 逐项积分.\[\int_0^xs(x)dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \int_0^xa_n{x^n}dx=a_0x+\frac{1}{2}a_1x^2+ \cdots+\frac{1}{n+1}a_nx^{n+1}+\cdots.\]

• 变量代换. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty,\) 令\(x=-t\)就有 \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{x^n}.\)

注记幂级数展开(12,16,17,18,21)

• 常见展开式. \[\begin{align} &e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots, x\in (-\infty, +\infty) \\ &\sin x=x-x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots, x\in (-\infty, +\infty) \\ &\cos x=(\sin x)'=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots, x\in (-\infty, +\infty) \\ &\frac{1}{1-x}=1+x+{x^2}+\cdots +{x^n}+\cdots, x\in (-1, 1] \\ &\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+\cdots, x\in (-1, 1]\\ &(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots +\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots, x\in (-1, 1)\\ \end{align} \]

注记什么是傅里叶级数?

• 设\(f(x)\) 满足某些条件, 则有一个三角函数的无限和 \[ f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos x+b_n\sin x). \] 其中,\[ a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx;\ \ \ b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx. \]

• 把\(\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos x+b_n\sin x)\)称为\(f(x)\)的傅里叶级数.

• 给定函数\(f(x)\), 直接用积分公式计算系数\(a_n, b_n,\) 得到傅里叶级数.

注记傅里叶级数的收敛性(22)

• Dirichlet收敛定理

• \[ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos x+b_n\sin x)= \left\{\begin{align} f(x),& \quad f(x)的连续点;\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}, & \quad f(x)的第一类间断点. \end{align} \right. \]

• 例: 周期为\(2\)的函数\(f(x)\)在一个周期内的表达式是\(f(x)=x,\, -1\leq x\leq 1,\) \(f(x)\)的傅里叶级数的和函数为\(S(x),\) 则\(S(0)=?\) \(S(\frac{3}{2})=?\) \(S(-5)=?\)

• 分析, 0是\(f(x)\)的连续点, 所以\(S(0)=f(0)=0.\)

• 利用周期性, \(S(\frac{3}{2})=S(\frac{3}{2}-2)=S(-\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}.\)

• 利用周期性, \(S(-5)=S(-5+4)=S(-1).\)

• 注意到\(f(x)\)在\(-1\)不连续, 所以取平均值\(S(-1)=\frac{f(-1-0)+f(-1+0)}{2}=\frac{1-1}{2}=0.\)

• 最后这个画图帮助计算.

2.1 历年真题

注记2011-13-级数的敛散性

若级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛, 则下列级数中不收敛的是: \[\begin{aligned} & A.\ \sum_{n=1}^{\infty}ku_n(k\neq 0) \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ \sum_{n=1}^{\infty}u_{n+100} \\ & C.\ \sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n}+\frac{1}{2^n}) & D. & \ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{50}{u_n} \end{aligned}\]

重要考试解题策略

方法一:

• 由级数的性质, 逐一判断.

• 收敛级数的倍数, 改变有限项, 加上收敛级数仍收敛, 故A,B,C收敛.

方法二:

• 不逐项验证, 选取最可能错误的.

• D项, \(u_n\)是无穷小, 其导数无穷大, 肯定不收敛.

方法三:

• 代入特殊级数\(u_n=0.\)

注记2013-12-级数的审敛

重要考试解题策略

• 部分和有界充要条件

注记2014-12-条件收敛

重要考试解题策略

• \(p\)级数

• 或条件收敛必须是范围, 其他取无穷大, 不可能.

注记2014-17-级数的收敛域

重要考试解题策略

• 非对称区间, 排除A,B

• 判断端点\(-1\), 代入, 收敛

注记2016-14-绝对收敛

重要考试解题策略

• \(p\)级数

注记2016-17-和函数

重要考试解题策略

• 等比级数

注记2012-10-条件收敛

重要考试解题策略

• 常见级数, 选A.

注记2017-13-条件收敛

重要考试解题策略

方法一

• 莱布尼兹判别法

方法二

• 排除, 举反例

方法三

• 条件最多的

注记2017-17-和函数

重要考试解题策略

方法一

• 幂级数的展开式, 注意首项

方法二

• 代入\(x=0\),得\(S(0)=0\), 选C

注记2018-13-级数审敛

重要考试解题策略

• 常规\(p\)-级数

注记2018-17-麦克劳林

重要考试解题策略

• 第三项要有平方

注记2019-16-级数审敛

重要考试解题策略

• \(p\)-级数

• 或知道一些例子

• 或知道结论位于某个区间条件收敛

注记2019-18-收敛域

重要考试解题策略

• 代入端点

注记2020-16-级数审敛

重要考试解题策略

• 常见

注记2020-18-收敛域

重要考试解题策略

• 端点

注记2021-17-级数审敛

重要考试解题策略

• 常见级数

注记2021-18-级数的和

重要考试解题策略

• 逐项求导

注记2022-14-级数审敛

重要考试解题策略

• 常见级数

注记2022-17-收敛区间

重要考试解题策略

• 代入端点

注记2011-14-幂级数的收敛区间

设\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收敛半径为\(2\), 则幂级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-2)^{n+1}\)的收敛区间是: \[\begin{aligned} & A.\ (-2,2) \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ (-2,4) \\ & C.\ (0,4) & D. & \ \ (-4,0) \end{aligned}\]

重要考试解题策略

• 换元法.

• \(-2<x-2<2\Rightarrow 0<x<4.\)

注记201317-幂级数的收敛半径

重要考试解题策略

• 直接求

• 或代入\(x=3\)差不多收敛

注记2022-16-级数审敛

重要考试解题策略

• 定义

注记2022-18-狄利克雷收敛定理

重要考试解题策略

• 定理, 画图

注记2023-15-级数审敛

重要考试解题策略

• A, B 对立, 只能选一个. D对, 所以选B

注记2023-18-和函数

重要考试解题策略

• 逐项求导, \[\begin{align} \frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+\cdots\\ (\frac{1}{1-x})'=\frac{1}{(1-x)^2}&=1+2x+3x^2+\cdots\\ \sum_{n=1}^\infty (2n-1)x^{n-1}&=1+3x+5x^2+\cdots\\ \end{align}\]

• 比较大小.

注记2024-13-和函数

重要考试解题策略

• 有倍数5,

• 判断正负, 大于0

注记2024-17-收敛域

重要考试解题策略

• 端点

注记2012-11-麦克劳林

重要考试解题策略

• 等比级数, 首先是1, 排除C,D

• \(n=0\)时首项为正, 选B