线性代数

注记使用说明

• 针对选择题类型, 不讲复杂的计算, 节约复习时间.

• 主要是基本概念与基本方法.

• 用例子说明概念与方法.

• 标题里红色两位数(如18,19)表示2018,2019年的考试真题涉及本小节内容.

注记建议

• 理解: 掌握知识点的含义

• 记忆: 用自己熟悉的方法记住

• 使用: 掌握例子的解题步骤

• 效率: 针对选择题思路要灵活

拿起纸笔, 想一想, 算一算, 才能真正理解, 掌握.

1 行列式

• 行列式是一个数.
• 用运算性质计算行列式.

1.1 行列式的性质(20)

注记行列式一行或一列的倍数可以提到行列式外面.

• \[\begin{vmatrix} \color{red}a\cdot 1& \color{red}a\cdot 2&\color{red}a\cdot 3\\ 4& 5&6\\ 7&8&9\end{vmatrix}=\color{red}a\begin{vmatrix} 1& 2&3\\ 4& 5&6\\ 7&8&9\end{vmatrix}.\]

注记行列式某行(列)加上另一行(列)的倍数, 行列式的值不变.

\[\begin{vmatrix} 1& 2& 3\\ 4& 5&6\\ 7&8&9\end{vmatrix}\xrightarrow[r_2-ar_1 ]{第2行加第一行的a倍}\qquad\qquad\begin{vmatrix} 1& 2&3\\ 4+\color{red}a& 5+\color{red}{2a}& 6+\color{red}{3a}\\ 7&8&9\end{vmatrix}.\]

注记交换行列式的两行(列), 行列式改变符号

• \[\begin{vmatrix} \color{red}1& \color{red}2& \color{red}3\\ 4& 5&6\\ \color{blue}7&\color{blue}8&\color{blue}9\end{vmatrix}\xrightarrow[r_2\leftrightarrow r_3]{交换第1行和第3行} \qquad\qquad\color{red}-\begin{vmatrix} \color{blue}7&\color{blue}8&\color{blue}9\\ 4& 5&6\\ \color{red}1&\color{red}2&\color{red}3\end{vmatrix}.\]

1.2 行列式的简化性质

注记一个行列式拆为两个行列式

• \[\begin{vmatrix} \color{red}x+\color{blue}a& 2& 3\\ \color{red}y+\color{blue}b& 5&6\\ \color{red}z+\color{blue}c&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \color{red}x& 2& 3\\ \color{red}y& 5&6\\ \color{red}z&8&9\end{vmatrix}+\begin{vmatrix} \color{blue}a& 2& 3\\ \color{blue}b& 5&6\\ \color{blue}c&8&9\end{vmatrix}.\]

• 例: 已知\(a,b,c,d\)是3维列向量, 且3阶行列式\(|a,b,c|=2, |a,b,d|=1,\) 求\(|a,b,2c-d|=?\)

• 分析:

  1. \(|a,b,2c-d|=|a,b,2c|+|a,b,-d|.\)
  2. \(|a,b,2c|=2|a,b,c|.\)
  3. \(|a,b, -d|=-|a,b,d|.\)

1.3 抽象矩阵的行列式性质(14,18)

注记矩阵乘积, 转置及逆的行列式

• 定理 设\({A}, {B}\)为两个\(n\)阶方阵, 则

  1. \(\left| { {AB}} \right| = \left| {A} \right|\left| {B} \right|.\)

  2. \(\left| {k {A}} \right| = k^n\left| {A} \right|.\)

  3. \(| {A}|=| {A}^{{T}}|.\)

  4. \(|A^{-1}|=|A|^{-1}.\)

注记行列式等于特征值的乘积

• 设\({A}\)是\(n\)阶矩阵, 则\({A}\)恰有\(n\)个特征值\(\lambda_1, \lambda_2,\cdots, \lambda_n,\) 且 \[| {A}|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.\]

• 例\(\,\) 设\({A}, {B}\)是\(3\)阶矩阵, 且\(| {A}|=2, | {B}|=5,\) 求 \(|7 {AB}^{\text{ T}}|.\)

• 解: \(|7 {AB}^{\text{ T}}|=7^3| {A}|| {B}^{\text{ T}}|=7^3| {A}|| {B}|=10\cdot 7^3.\)

注记伴随矩阵的行列式等于原行列式的\(n-1\)次方

• 设\({A}\)是\(n\)阶矩阵, 则\({A}\)的伴随矩阵\({A^*}\)有 \[| {A^*}|=| {A}|^{n-1}.\]

1.4 历年真题

注记2014-19-抽象矩阵的行列式

重要考试解题策略

• 行列式的性质, 伴随矩阵.
• 举例

注记2018-19-抽象矩阵的行列式

重要考试解题策略

• 举例, 对角阵

• 抽象行列式的性质

注记2020-19-行列式

重要考试解题策略

• 举例
• 对调则行列式变号.

注记2023-19-行列式

重要考试解题策略

• 看清题目条件, 举例, 对角矩阵

答题技巧: 举例, 特别是用对角矩阵验算选择项.

2 矩阵

• 矩阵的秩及性质.
• 伴随矩阵的秩及行列式.
• 逆矩阵的验证.

2.1 阶梯形矩阵

提示阶梯形矩阵长什么样?

• 阶梯形矩阵满足:

  1. 全为零的行都在非零行的下面;
  2. 每行的第一个非零元素出现在上一行的第一个非零元素的右边.

• 非零行中的第一个非零元素称为拐角元素.

• \[是:\,\begin{pmatrix} \color{blue}2 & * & * & * & * \\ 0 & 0 & \color{blue}1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}1 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ 不是:\, \begin{pmatrix} \color{blue}2 & * & * & * & * \\ 0 & 0 & \color{blue}8 & * & * \\ 0 & 0 & \color{red}5 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

• \[\begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 0 & -5 & * \\ 0 & \ \ 0 & \ \ 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 0 & -5 &* \\ 0 & 0 & \ \ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & * & * \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & \ \ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & \ \ 0 & \ \ 0 \end{pmatrix}.\]

2.2 矩阵的初等变换

注记矩阵的3种初等变换

• 下面\(3\)种矩阵的运算称为矩阵的行初等变换.

  1. 交换矩阵的两行.
  2. 矩阵的一行同时乘上一个非零数.
  3. 一行加上另外一行的\(k\)倍.

• 分别用记号表示矩阵的3种行初等变换.\[ \begin{array}{ll} r_i\leftrightarrow r_j & {交换矩阵的第i行和第j行} \\ kr_i & {矩阵的第i行乘上一个非零数k} \\ r_i+kr_j & {矩阵的第i行加上第j行的k倍} \end{array}\]

• 矩阵同样有3种列初等变换.

2.3 转置矩阵

注记定义与性质

• 转置矩阵\(A^T\): 行变为列.

• \[\begin{pmatrix} \color{red}4& \color{red}5& \color{red}6\\ \color{blue}7&\color{blue}8&\color{blue}9\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} \color{red}4& \color{blue}7\\ \color{red}5& \color{blue}8\\ \color{red}6&\color{blue}9\end{pmatrix}.\]

• \(|A^T|=|A|.\)

2.4 伴随矩阵

提示定义

• \[设\, {A}= \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11} } & \color{red}{a_{12} } & \color{red}{ {a}_{13}}\\ a_{21} & a_{22} & {a}_{23}\\ a_{31} & a_{32} & {a}_{33} \end{pmatrix}, 则\, {A}^\ast = \begin{pmatrix} \color{red}{ A_{11}} & A_{21} & {A}_{31}\\ \color{red}{ A_{12}} & A_{22} & {A}_{32}\\ \color{red}{ A_{13}} & A_{23} & {A}_{33} \end{pmatrix}.\] 称为矩阵\({A}\)的伴随矩阵.

• \({A}_{ij}\)是元素\(a_{ij}\)的代数余子式. 例如\[{A_{12}} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a_{21} & {a}_{23}\\ a_{31} & {a}_{33} \end{vmatrix}=-(a_{21} {a}_{33}-{a}_{23}a_{31}).\]

• 注意\({A}^*=(A_{ij})^{\text{T}},\) 伴随矩阵的元素是矩阵\(A\)中元素的代数余子式.

• 对\(n\)阶方阵\({A}\)有 \[ {A} {A}^*= {A}^* {A}=| {A}| {E},\\ |{A}^*|=|{A}|^{n-1} .\]

注记伴随矩阵的行列式性质(11,19)

• 对\(n\)阶方阵\({A}\)有 \[ {A} {A}^*= {A}^* {A}=| {A}| {E},\\ |{A}^*|=|{A}|^{n-1} .\]

注记伴随矩阵的秩

• 命题 伴随矩阵\({A}^*\)的秩\(r({A}^*)\)满足: \[r({A}^*)=\left\{ \begin{align} 0, &\quad 如\, r(A)<n-1,\\ 1, &\quad 如\,r(A)=n-1,\\ n, &\quad 如\,r(A)=n. \end{align}\right.\]

• 命题 如果矩阵\({A}\)可逆, 则伴随矩阵\({A}^*\)也可逆, 且\[({A}^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A.\]

2.5 逆矩阵

注记逆矩阵的定义(11,21,22)

• 对\(n\)阶方阵\({A}\), 如果存在\(n\)阶方阵\({B}\), 使得 \[{AB}= {BA}= {E},\] 则称\(A\)为可逆矩阵, \({B}\)为\({A}\)的逆矩阵. 否则称\({A}\)为不可逆矩阵.

• 验证是否是逆矩阵, 只需看看两个矩阵的乘积是否为单位矩阵\(E\).

• 定理 \(n\)阶方阵\({A}\)可逆的充要条件是\(| {A}|\neq 0.\) 并且, 当\(| {A}|\neq 0\)时, \[ {A}^{-1}=\frac{ {A}^*}{| {A}|}.\]

• 单位矩阵用记号\(I\)或\(E\)表示.

注记逆矩阵的验证(17)

• 证明矩阵\(A=\begin{pmatrix} 1 & \ \ 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)是矩阵\({B}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\)的逆矩阵.

• 直接验证得: \[{AB}=\begin{pmatrix} 1 &\ \ 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \ \ 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

• 假设\(n\)阶方阵\({A}\)可逆, 其特征值为\(\lambda_1, \cdots, \lambda_n,\) 则\({A}^{-1}\)的特征值为\(\lambda_1^{-1}, \cdots, \lambda_n^{-1}.\)

注记可逆矩阵的性质

• 定理 设\({A}, {B}\)是可逆矩阵, 则

  1. \({A}^{-1}\)可逆, 且\(( {A}^{-1})^{-1}= {A}.\)

  2. \({A}{B}\)可逆, 且\(( {A} {B})^{-1}= {B}^{-1} {A}^{-1}.\)

  3. \({A}^{\text{T}}\) 可逆, 且\(( {A}^{\text{T}})^{-1}=( {A}^{-1})^{\text{T}}.\)

  4. 若\(k\neq 0,\)则\(k {A}\)可逆, 且 \((k {A})^{-1}=\displaystyle\frac{1}{k} {A}^{-1}.\)

  5. \(| {A}^{-1}|=| {A}|^{-1}.\)

注记抽象矩阵的逆矩阵

• 已知矩阵\({A}BC=D\), 则满足方程\({A}^{-1}=BCD^{-1}}.\)

2.6 矩阵的秩

注记定义

• 如果矩阵\({A}\)有一个\(r\)阶子式不为\(0,\) 所有的\(r+1\)阶子式都为\(0,\) 则\(r\)称为矩阵的秩. 把矩阵的秩记作\[r({A})=r, \, \, \mbox{或}\, R( {A})=r.\]

• 如果矩阵是某个方程组的增广矩阵, 则秩和方程组有没有解就有密切的关系.

• 矩阵的秩等于\(r\)就意味着至少有一个\(r\)阶子式不为0. 如果\({A}\)是\(m\times n\)矩阵, 则 \[R( {A})\leq \text{min}\{m, n\}.\]

注记矩阵的秩的性质(16)

• \(n\)阶方阵\({A}\)可逆的充要条件是\(R( {A})=n.\)

• \(r({A})=r(A^T).\)

• \(r({AB})\leq \text{min}\{r({A}), r({B})\}.\)

• 如果\({A}\)可逆, 则\(r({AB})=r({B})=r({BA}).\)

注记矩阵秩的计算

• 定理 阶梯形矩阵的秩等于其非零行数.

• 定理 初等变换保持矩阵的秩不变.

• 求矩阵\({A}\)的秩的步骤:

  1. 用初等变换把矩阵 \({A}\)变成阶梯形矩阵\({B}\);

  2. 数一数矩阵\({B}\)的非零行数, 记为\(r\);

  3. 得到\({A}\)的秩为\(r\).

例\(\,\) 求矩阵的秩 \({B}=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & \ \ 1 & -1 & \ \ 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 5\end{array}\right).\)

• \({B}\xrightarrow[]{r_3-2r_1}\left(\begin{array}{rrrr} 1 & \ \ 1 & -1 & \ \ 2 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 &1\end{array}\right).\)

• 所以\(R( {B})=3.\)

2.7 历年真题

注记2016-20-矩阵的秩

重要考试解题策略

• 秩, 举例

注记2017-19-逆矩阵

重要考试解题策略

• 验证

• 有分数, A,D排除

注记2011-18-伴随矩阵的秩

设3阶矩阵\(A=\begin{bmatrix} 1& 1&a\\ 1& a&1\\ a&1&1 \end{bmatrix},\) 已知\(A\)的伴随矩阵的秩为1, 则\(a=\) \[\begin{aligned} & A.\ -2 \qquad\qquad\qquad & B. & \ -1 \\ & C. \ 1 & D.& \ 2 \end{aligned}\]

重要考试解题策略

• 伴随矩阵的性质.

• 伴随矩阵的秩为1, 说明原矩阵不可逆, 且秩为2.

• 计算行列式, 排除\(a=1\)(明显此时秩为1).

注记2019-19-伴随矩阵的行列式

重要考试解题策略

• 公式

注记2011-17-逆矩阵

设\(A=\begin{bmatrix} 1& 0&1\\ 0& 1&2\\ -2&0&-3 \end{bmatrix}\) 则\(A^{-1}=\) \[\begin{aligned} & A.\ \begin{bmatrix} 3& 0&1\\ 4& 1&2\\ 2&0&1\end{bmatrix} \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ \begin{bmatrix} 3& 0&1\\ 4& 1&2\\ -2&0&-1\end{bmatrix} \\ & C.\ \begin{bmatrix} -3& 0&-1\\ 4& 1&2\\ -2&0&-1\end{bmatrix} & D. & \ \ \begin{bmatrix} 3& 0&1\\ -4& -1&-2\\ 2&0&1\end{bmatrix} \end{aligned}\]

重要考试解题策略

• 代入验证.

• 注意各选项的矩阵相差正负号, 所以只需验证对角线的乘积是不是1, 其它位置的乘积不需验证.

警告一般思路

• 初等变换求逆矩阵.

提示涉及知识点

• 初等变换求逆矩阵.

注记2021-19-逆矩阵

重要考试解题策略

• 因式分解

注记2022-19-逆矩阵

重要考试解题策略

• 注意顺序, 看成数

注记2023-20-矩阵的秩

重要考试解题策略

• 矩阵\(A\)任意, 所以只能选B

注记2024-19-伴随矩阵的行列式

重要考试解题策略

• 公式

3 线性相关性

注记向量与向量组的定义

• \({\alpha}_1=(1, 2, 3, 4)^{\text{T}}, { \alpha}_2=(0, 1, 2, 3)^{\text{T}}, { \alpha}_3=(0, 0, 1, 2)^{\text{T}},\) 由这\(3\)个\(4\)维列向量组成的向量组

• 用记号表示为 \[{ A}:\, {\alpha}_1, { \alpha}_2, { \alpha}_3.\]

向量组与矩阵的对应关系

• 向量组 \({\alpha}_1=(1, 2, 3)^{\text{T}}, { \alpha}_2=(0, 1, 2)^{\text{T}}, { \alpha}_3=(0, 0, 1)^{\text{T}},\)

• 排在一起得到矩阵: \[ {A}=\left({ \alpha}_1, { \alpha}_2, { \alpha}_3 \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1& 0&0\\2&1 &0 \\3 &2 &2 \end{array} \right)_{3\times 3}. \]

注记线性组合与线性表示

• 给定向量组\({\alpha}_1,\) \({\alpha}_2,\) \({\alpha}_3\)和向量\({\beta}\), 若存在实数\(k_1,\) \(k_2,\) \(k_3\), 使得: \[{{\beta}}= k_1{ \alpha}_1+k_2{ \alpha}_2 + k_3{ \alpha}_3,\]则称\({\beta}\)可以由\({\alpha}_1,\) \({\alpha}_2,\) \({\alpha}_3\)线性表示, 也说\({\beta}\)是\({\alpha}_1,\) \({\alpha}_2,\) \({\alpha}_3\)的一个线性组合; 否则说\({\beta}\)不可以由这个向量组线性表示.

• 例如, 下列向量都是\({\alpha_1}, {\alpha_2}\)的线性组合: \[ { \alpha_1}+3{ \alpha_2}, \, \frac{1}{2}{ \alpha_1}(=\frac{1}{2}{ \alpha_1}+0 { \alpha_2}) , \, 0(0{ \alpha_1}+0{ \alpha_2}).\]

• \[设 { \beta}=\left( \begin{array}{c} 1\\ 4\end{array} \right), \quad { \alpha}_1=\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\end{array} \right), \quad { \alpha}_2=\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\end{array} \right).\]

• 则有\({\beta}= {\alpha}_1 +4{ \alpha}_2,\) 所以\({\beta}\)可由\({\alpha}_1 , {\alpha}_2\)线性表示.

提示线性表示与方程组

• 设向量组 \({\alpha}_1=(1, 2, 3)^{\text{T}}, { \alpha}_2=(0, 1, 2)^{\text{T}}, {\alpha}_3=(0, 0, 1)^{\text{T}},\) 对应的矩阵\[ {A}=\left({ \alpha}_1, { \alpha}_2, { \alpha}_3 \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1& 0&0\\2&1 &0 \\3 &2 &2 \end{array} \right). \]

• 设\({\beta}=(2, 2, 1)^{\text{T}},\) 则线性表示的式子 \[{ \beta}=k_1{ \alpha}_1+k_2{ \alpha}_2+k_3{ \alpha}_3\] \[可以写成\ {\beta}=({\alpha}_1, { \alpha}_2, { \alpha}_3) \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3\end{pmatrix}, \]

• 进一步地写成 \[ {Ax}={ \beta}.\]

• 向量的线性表示的问题等价于一个线性方程组的求解问题.

• 定理 \({\beta}\)是向量组的线性组合等价于方程组\({Ax}={\beta}\)有解, 也等价于\(r(A)=r(A,\beta).\)

• 线性表示与方程组可以相互转化.

注记线性相关与线性无关的定义

• 给定向量组\({\alpha}_1 ,\) \({\alpha}_2,\) \({\alpha}_3\), 若存在一组不全为零的实数\(k_1\), \(k_2\), \(k_3\), 满足 \[k_1{ \alpha}_1 +k_2{ \alpha}_2 +k_3{ \alpha}_3 = {0} , \] 则称\({ \alpha}_1 ,\) \({ \alpha}_2,\) \({\alpha}_3\)线性相关, 否则称其为线性无关的.

• 两个向量\({\alpha}_1\neq 0,\) \({\alpha}_2\) 线性无关的充要条件是存在\(k\)满足\({\alpha}_2=k{\alpha}_1.\)

注记具体向量组的线性相关性(16)

例: 已知向量组 \[{ \alpha}_1= \left( \begin{array}{l} 1\\ 1\\ 1\end{array} \right) , \ { \alpha}_2= \left( \begin{array}{l} 0 \\ 2\\ 5\end{array} \right) , \ { \alpha}_3= \left( \begin{array}{l} 2\\ 4\\ 7\end{array} \right) , \] 试讨论\({ \alpha}_1, { \alpha}_2, { \alpha}_3\)的线性相关性.

• 方法: 计算向量组对应矩阵的秩.

• 对其系数矩阵作行初等变换 \[\begin{eqnarray*} & {A}=\left( \begin{array}{ccc } 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \end{array} \right) \xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-r_1} \left( \begin{array}{ccc } 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 5 & 5 \end{array} \right) \xrightarrow[]{r_3-\frac 5 2 r_2} \left( \begin{array}{ccc } 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right). &\end{eqnarray*}\]

• 因此\(r( {A})=2(非零行数)<3(列数),\) 即\({ \alpha}_1, { \alpha}_2, {\alpha}_3\)线性相关.

注记线性相关性的结论(12)

• 定理 \({ \alpha}_1 , { \alpha}_2,\) \(\cdots\), \({\alpha}_m, \ (m\geq 2)\)线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可以由其余的向量线性表示.

• 向量组线性无关的充要条件是向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.

• 若\({\alpha}_1, \ { \alpha}_2, \cdots, { \alpha}_m\)线性无关, 而\({ \alpha}_1, \ { \alpha}_2, \cdots, { \alpha}_m, \ {{ \beta}}\)线性相关. 则\({{ \beta}}\) 可以由\({ \alpha}_1, { \alpha}_2, \cdots , { \alpha}_m\) 线性表示, 且表示法唯一.

3.1 极大线性无关组

注记极大无关组的定义与性质

• 给定向量组\({A}\), 若在\({A}\)中能选出\(r\)个向量 \(\alpha_1,\) \(\alpha_2,\) \(\cdots, \alpha_r\), 满足

  1. \(\alpha_1 ,\alpha_2, \cdots, \alpha_r\) 线性无关;
  2. \(A\)中任一个向量可由\({\alpha}_1 ,\) \({ \alpha}_2,\) \(\cdots,\) \({ \alpha}_r\) 线性表示.
     则称\({\alpha}_1,\) \({ \alpha}_2,\) \(\cdots,\) \({ \alpha}_r\)是向量组\({A}\)的一个极大线性无关向量组, 简称为极大无关组.

• 命题 极大无关组包含的向量个数相同.

• 这个数称为向量组的秩.

• 命题 向量组的秩等于对应矩阵的秩.

• 命题 向量组\({A}\)可由向量组\({B}\)线性表示, 则向量组\({A}\)的秩小于等于向量组\({B}\)的秩.

注记具体向量组的极大无关组(13,22)

• 命题 如阶梯形矩阵\({A}\)的秩为\(r\), 则\({A}\)的列向量组的秩等于\(r\), 且\(r\)个拐角元素所在的列向量是\({A}\)的列向量组的一个极大无关组.

• 例: 设\({A}=\left(\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 &4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 &4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{array}\right),\) 求\({A}\)的列向量组的一个极大无关组.

• 对\({A}\)作行初等变换化为行阶梯矩阵为 \[ {A} \longrightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} \color{red}1 & \ \ 0 & -1 & \ \ 0 &4\\ 0 & \color{red}1 & -1 & 0 &3\\ 0 & 0 & 0 & \color{red}1 &-3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right).\]

• 所以\(R({A})=3,\) 而三个拐角元素分别在1, 2, 4列, 故\({A}\)的第1列, 第2列和第4列为一个极大无关组.

3.2 历年真题

注记2012-20-线性表示

重要考试解题策略

• 线性无关, 加一个线性相关, 则可以线性表示.

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

• 线性无关, 加一个线性相关, 则可以线性表示.

注记2013-19-极大无关组

重要考试解题策略

• B,C,D是倍数, 只能选一个

注记2016-19-线性相关

重要考试解题策略

• 行列式或初等变换

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

• 求秩

注记2020-21-线性相关

重要考试解题策略

• 线性相关是等式, 排除C,D

• 代入1,计算

注记2023-21-线性相关

重要考试解题策略

• 线性相关的性质

注记2024-20-线性无关

重要考试解题策略

• 初等变换或行列式

注记2022-19-极大无关组

重要考试解题策略

• 初等变换

4 方程组

注记方程组解的判断(13,18)

• 设方程组\({Ax}= {b}\), 其中\({A}\)是\(m\times n\)矩阵, \(\tilde{ {A}}=( {A}\, \vdots\, {b}), \, n\) 为未知量的个数, 则

  1. 方程组有解的充要条件是\(R({A})=R(\tilde{{A}})\), 方程组无解的充要条件是\(R( {A})\neq R(\tilde{ {A}})\).

  2. 方程组有唯一解的充要条件是\(R( {A})=R(\tilde{ {A}})=n\).

  3. 方程组有无穷多解的充要条件是\(R( {A})=R(\tilde{ {A}})<n\).

• 特殊情形.

  1. 如果\({A}\)是方阵, 则方程组有唯一解的充要条件是\(| {A}| \neq 0,\) 且其唯一解为\({x}= {A}^{-1} b.\)

  2. 设齐次方程组\({Ax}= {0}\), 则 方程组有非零解的充要条件是\(R( {A})< n\), 方程组只有零解的充要条件是\(R( {A})=n\).

注记齐次方程组解的结构(22)

设\(n\)齐次方程组\({A}_{m\times n} x= {0}, r(A)=r\).

• 齐次方程组解的全体构成一个向量空间, 称为解空间. 满足 \[解空间的维数+矩阵的秩r=n.\]

• 解空间的一组基称为齐次方程组的一个基础解系.

• 假设齐次方程组的基础解系是\(\ { \xi}_1, { \xi}_2, \cdots, { \xi}_s\) 则\[{ x}= k_1{ \xi}_1+k_2{ \xi}_2+\cdots k_s{ \xi}_s\] 是方程组的通解.

注记齐次方程组的基础解系(11,21)

• 具体方程组的基础解系

• 求方程组\(\left\{\begin{align}x_1+x_{2}+x_3 &=0,\\ x_{1}+2x_{2}+3x_3&=0.\end{align}\right.\) 的基础解系.

• 分析: 系数矩阵\(A=\begin{pmatrix} 1& 1&1\\ 1& 2&3\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1& 0& \color{red}{-1}\\ 0& 1& \color{red}{2}\end{pmatrix}.\)

• \(r(A)=2\), 基础解系为\(\begin{pmatrix} \color{red}1\\ \color{red}{-2}\\ 1 \end{pmatrix}.\)

• 抽象方程组的基础解系

• 设\(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3\)是\(Ax=0\)的基础解系, 则\(\alpha_1-\alpha_3, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3\)也是基础解系.

注记非齐次方程组解的结构(14)

设\({A} x = {0}\)是非齐次线性方程组 \({A} x = b\)对应的齐次方程组.

1. 若\({ \eta}_1, \ { \eta}_2\)是\({A} x= b\)的解, 则 \({ \xi} = {\eta}_1-{ \eta}_2\)是\({A} x= {0}\)的解.
2. 若\({ \eta}\)是\({A} x=b\)的解, \({ \xi}\)是\({A} x= {0}\)的解, 则\({\eta}+{ \xi}\)仍是\({A} x= b\)的解.

• 定理 若\(R( {A})=r<n\), 设\({\xi}_1, \ \cdots, {\xi}_{n-r}\)是齐次方程组的基础解系, \({\eta}^*\)是非齐次方程组的一个特解, 则非齐次方程组的通解为 \[{ x} = { \eta}^* + c_1 { \xi}_1+ \cdots + c_{n-r}{ \xi}_{n-r} .\]

• 非齐次方程组的通解\[x=非齐次方程组的一个\color{red}{特解}+ 相应齐次方程组的\color{red}{通解}.\]

4.1 历年真题

注记2011-20-齐次方程组基础解系

求齐次方程组\(\left\{\begin{align}x_1-x_{2}+x_4 &=0\\ x_{1}-x_{3}+x_4&=0\end{align}\right.\) 的基础解系为: \[\begin{aligned} &A.\ \alpha_1=(1,1,1,0)^T, \, \alpha_2=(-1,-1,1,0)^T\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\ &B.\ \alpha_1=(2,1,0,1)^T, \, \alpha_2=(-1,-1,1,0)^T \\ &C.\ \alpha_1=(1,1,1,0)^T, \, \alpha_2=(-1,0,0,1)^T\\ &D.\ \alpha_1=(2,1,0,1)^T, \, \alpha_2=(-2,-1,0,1)^T \end{aligned}\]

重要考试解题策略

• 代入验证.

• 倍数仍是解.

• 基础解系需线性无关.

警告一般思路

• 同上.

提示涉及知识点

• 齐次方程组解的结构与基础解系.

注记2013-20-方程组的解

重要考试解题策略

• 用经验解释, 方程的个数少, 齐次必有非零解

注记2014-21-非线性齐次方程组

重要考试解题策略

• 系数和为1.

注记2017-20-方程组的解

重要考试解题策略

• 含有”任意”, 要求太高

注记2018-20-齐次方程组

重要考试解题策略

• 行列式等于0, 解集是两个等号

• 不用计算

注记2021-21-方程组的基础解系

重要考试解题策略

• 线性无关

注记2022-20-方程组的解

重要考试解题策略

• 公式或举例

• 最特殊, 秩最大或最小

5 特征值与特征向量

注记特征值与特征向量的定义(16)

• 设\({A}\)是\(n\)阶方阵, 如果存在数\(\lambda\)和非零向量\({\xi},\)使得 \[ {A}{ \xi}=\lambda { \xi}.\] 则称\(\lambda\)为方阵\({A}\)的特征值, \({ \xi}\)称为属于特征值\(\lambda\)的特征向量.

• 特征向量都是非零向量.

• 例: 矩阵\({A} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 1\end{array} \right)\) 和向量 \({ \xi}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array} \right)\)满足 \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 3\\ 3\end{array} \right)=3 \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\end{array} \right),\]

• 所以3是方阵\({A}\)的特征值, \({ \xi}\)是属于特征值3的特征向量.

注记特征值的性质(12)

• 设\({A}\)是\(n\)阶矩阵, 则

  1. 在复数范围内, 包括重根, \({A}\)恰有\(n\)个特征值\(\lambda_1, \lambda_2,\cdots, \lambda_n;\)
  2. \(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn};\)
  3. \(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=| {A}|.\)
  4. \({ A}\)和\({A}^{\text{T}}\)的特征值相同.

• \(n\)阶方阵可逆的充要条件是它的特征值都不为\(0.\)

• 例: 设\(A=\begin{pmatrix} -1& -1\\ -4& 2\end{pmatrix}\), 求其特征值.

• 两个特征值满足\[\lambda_1+\lambda_2=1,\\ \lambda_1\lambda_2=-6.\]

• 所以\(\lambda_1=-3,\lambda_2=2.\)

注记特征值的性质

• 定理 设\(\lambda\)是\(n\)阶方阵\({A}\)的特征值, \({\xi}\)是对应的特征向量, 则

1. \(k\lambda\)是\(k {A}\)的特征值(k为任意常数), \({ \xi}\)是对应的特征向量.
2. \(\lambda^k\)是\({A}^k\)的特征值, \(A^2-3A+5E\)的特征值是\(\lambda^2-3\lambda+5.\)
3. 当\({A}\)可逆时, \({\lambda}^{-1}\)是\({A}^{-1}\)的特征值.

• 矩阵怎么变, 特征值就怎么变

• 矩阵	特征值
  \(A\)	\(\lambda\)
  \({A}^{-1}\)	\(\lambda^{-1}\)
  \(2A+5E\)	\(2\lambda+5\)
  \(A^2-3A+5E\)	\(\lambda^2-3\lambda+5\)

注记特征向量的性质

• 属于不同特征值的特征向量线性无关.

• 设\(\lambda_1, \lambda_2\)是矩阵\({A}\)的不同 特征值, \({ \alpha}_1, { \alpha}_2\)是相应的特征向量, 则 \({ \alpha}_1, { \alpha}_2\)线性无关.

注记20212-3-逆矩阵的特征值

重要考试解题策略

• 取\(A=\lambda_0.\)

警告一般思路

• 特征值的性质

提示涉及知识点

• 特征值的性质.

注记2016-21-特征值的性质

重要考试解题策略

• 特征值的和等于对角线之和

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

• 特征值的性质

6 相似与对角化

注记相似的性质(13,20,22)

• 设\({A}, {B}\)都是\(n\)阶矩阵, 如果存在可逆矩阵\({P}\)使得 \[{P}^{-1} {A} {P}= {B}.\] 则称\({A}\)与\({B}\)相似, 记作\({A}\thicksim {B}.\)

• 如果\({A}\)与\({B}\)相似则它们有相同的特征值和相同的行列式.

• 如果矩阵\({A}\)和一个对角矩阵相似, 则称\({A}\)可对角化.

• \(n\)阶方阵\({A}\)可对角化的充要条件是它有\(n\)个线性无关的特征向量.

注记对角化中的可逆矩阵

• \(n\)阶矩阵\({A}\)对角化中的可逆矩阵

• 把\(n\)个特征向量按列排在一起即为\({P}\)

• 特征向量对应的特征值放在对角线上得到的对角矩阵即为\({{ {\Lambda}}}.\)

• 最后有\({P}^{-1} {A} {P}={{ {\Lambda}}}.\)

注记实对称矩阵的性质(17,19,21)

• 如果\(A^{\text{T}}= A\) 则称为对称矩阵.

• 定理 实对称矩阵具有以下性质:

  1. 实对称矩阵\(A\)的特征值都是实数.
  2. 实对称矩阵\(A\)的属于不同特征值的特征向量是正交的.
  3. 实对称矩阵\(A\)正交相似于实对角矩阵\(\Lambda.\) 即存在正交矩阵\(Q,\) 使得 \[ Q^{-1} {AQ}= Q^{\text{T}} A Q= \Lambda.\]

• 任意实对称矩阵\(A\)都可对角化.

• 例: 设实对称矩阵\(A\)的特征值是\(1,1,2\), \(\alpha_1=(1,1,1)^T, \alpha_2=(0,1,2)^T\)是属于特征值1的特征向量, 求属于特征值2的特征向量\(\alpha_3\).

• 分析: 由性质2, \(\alpha_3=\alpha_1\times\alpha_2\)和两个特征向量垂直.

6.1 历年真题

注记2011-19-相似矩阵

设\(A\)是3阶矩阵, \(P=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\)是3阶可逆矩阵, 且\(P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 1& 0&0\\ 0& 2&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}\). 若矩阵\(Q=(\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3)\), 则\(Q^{-1}AQ=\) \[\begin{aligned} & A.\ \begin{bmatrix} 1& 0&0\\ 0& 2&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \qquad\qquad\qquad & B. & \ \ \begin{bmatrix} 2& 0&0\\ 0& 1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \\ & C.\ \begin{bmatrix} 0& 1&0\\ 2& 0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} & D. & \ \ \begin{bmatrix} 0& 1&0\\ 2& 0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \end{aligned}\]

重要考试解题策略

• 相似矩阵的性质.

• 矩阵的3个特征值不相同, 可对角化.

• 对角线上的数等于特征值. 选B.

警告一般思路

• 相似矩阵的性质.

提示涉及知识点

• 矩阵的可对角化.

注记2013-21-相似矩阵

重要考试解题策略

• 相似矩阵则对角线之和相等

警告一般思路

提示涉及知识点

注记2017-21-实对称矩阵的性质

重要考试解题策略

• 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交

• 验证垂直

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

注记2019-20-实对称矩阵

重要考试解题策略

• 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交

• 行列式等于特征值的乘积

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

注记2020-20-相似矩阵

重要考试解题策略

• D不对 ,秩为1

• B,C 对称, 要选全选

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

注记2021-20-可对角化

重要考试解题策略

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

注记2022-21-行列式

重要考试解题策略

• 举例, 对角矩阵

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

注记2024-21-相似矩阵

重要考试解题策略

• 对角线之和相等

警告一般思路

• 同上

提示涉及知识点

7 二次型

注记二次型的矩阵与秩(19,22)

• \(n\)元二次型就是\(n\)元二次函数, 例如\(3\)元二次型\[f(x_1, x_2, x_3)=\color{red}3x_1^2\color{blue}{-4}x_1x_2+\color{red}5x_2^2+2x_2x_3\color{red}-x_3^2.\]

• 二次型对应的矩阵是\[A=\left(\begin{array}{rrrrr} \color{red}3 & \color{blue}{-2} &0\\ \color{blue}{-2} &\color{red}5 &1\\ 0 &1 &\color{red}{-1}\end{array} \right).\]

• 设\(x=(x_1, x_2 , x_3)^T\), 则\[ f(x_1, x_2, x_3)=f( x)= x^{{T}} A x.\]

• 二次型和实对称矩阵之间存在一一对应关系.

• 实对称矩阵\(A\)的秩称为二次型\(f(x)\)的秩.

注记二次型的标准型(18,22)

• \[f(y_1, y_2, \cdots, y_n) =\lambda_1y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2\]

• 这样的二次型称为标准型.

• 标准型只含平方项, 不含交叉项.

• 标准型对应的矩阵是对角矩阵.

• 定理 对二次型\(f(x)= x^{\text{T}} A x,\) 存在正交变换\(x={Qy}\)把此二次型化为标准型\[ \lambda_1y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2,\] 其中\(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)是\(A\)的全部特征值.

• 二次型的标准型中的系数由特征值决定.

7.1 正定二次型

注记正定二次型的定义(14)

• 对任意非零向量\(x\in R^n\), 总有\(f(x)= x^{{T}}{Ax}>0,\) 则称为正定二次型, \(A\)称为正定矩阵.

• 正定矩阵是实对称矩阵.

注记正定矩阵的判断(特征值全大于0)

定理 设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵, 则\(A\)为正定矩阵的充要条件是\(A\)的特征值全大于零.

注记正定矩阵的判断(顺序主子式法12)

• 定理 实对称矩阵\(A\)是正定的充要条件是\(A\)的\(n\)个顺序主子式全大于零.

• 例: 判断\(A=\left(\begin{array}{rrrrr}1 & -1 & \ 0\\ -1 & 2 & \ 2\\ 0 & 2 & 6 \end{array} \right)\)是不是正定矩阵?

• 它的三个顺序主子式 \[1>0, \quad \left|\begin{array}{rrrr} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right|>0, \quad \left|\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & \ 0\\ -1 & 2 & 2\\ 0 & 2 & 6 \end{array} \right|>0, \]

• 从而该二次型是正定的.

• 顺序主子式就是矩阵左上角的小的行列式.

7.2 历年真题

注记2012-21-正定二次型

重要考试解题策略

• 方法一

• 顺序主子式

• 方法二 估计

• \(t\)趋向正负无穷时, 可取值为负, 排除, C,D

• 选择小区间.

注记2014-20-正定矩阵

重要考试解题策略

• 逐一判断.

注记2018-21-二次型的标准型

重要考试解题策略

• 标准型不唯一, 只看正负项的个数

• A,B,D要选都选, 排除

注记2019-21-二次型的秩

重要考试解题策略

• 等于矩阵的秩

• 或配方, 要消去一个变量

注记2022-21-二次型

重要考试解题策略

• 后面的两个对角线元素加起来为0, 所以一正一负, 最终两正一负.

• 方法二, 标准型只看正负的个数, 其它选项要对都对

注记2022-20-二次型的秩

重要考试解题策略

• 定义