连续偏导数与全微分-22

作者

周忠国 河海大学

1 多元函数的连续

2 偏导数

  • 计算一个点处的偏导数就用定义 \[\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta_x z}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x, y)-f(x,y)}{\Delta x}=f_x(x,y).\]

  • 看看函数如何变化: 变化率

  • 本质是导数, 注意符号与运算法则.

  • 导数的加减乘除及其它运算法则都可以用来计算偏导数, 没什么不同

  • 计算偏导数时: 其余变量看成常数

  • 例: 已知\(z=x^3+\frac{1}{y}-xy\), 求\(\frac{\partial z}{\partial x}.\)

  • \(\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2-y.\)

  • 例: 设\(f(x,y)=\left\{\begin{align}\frac{xy}{x^2+y^2}, &\quad (x,y)\neq (0,0),\\ 0, &\quad (x, y)=(0,0).\end{align}\right.\) 求\(f_x(0,0).\)

  • 分析\(\,\) 由定义\[\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0,0)}=\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{0-0}{x}=0.\]

如\(z=f(x,y),\)

  • \[\frac{\partial z}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial x},\ z'_x, \ f_x'(x,y), \ f_x(x,y), \ f_1'(x,y), \ f_{12}''(x,y).\]

  • 简化记号\[ f_x', \ f_x, \ f_1', \ f_{12}''.\]

2.1 全微分

  • 如果\(z=f(x,y)\), 则全微分 \[\begin{aligned} &d z=\frac{\partial z}{\partial x}d x+\frac{\partial z}{\partial y}d y. \end{aligned} \]

  • 运算法则\[ \begin{aligned} &d(x+y)=d x+d y, \quad d(xy)=xd y+yd x.\\ &d f(x)=f'(x)d x, \ x, y \mbox{ 可以是一个表达式}. \end{aligned}\]

  • 如果\(z=f(x,y)=g(u,v)\), 用不同的自变量, 同一个函数\(z\)的表达式不同. 则 \[ \begin{aligned} &d z=\frac{\partial z}{\partial {\color{red} x } }d {\color{red} x}+\frac{\partial z}{\partial {\color{red}y} }d {\color{red}y}=\frac{\partial z}{\partial {\color{red}u}}d {\color{red}u}+\frac{\partial z}{\partial {\color{red}v}}d {\color{red}v}. \end{aligned}\]

  • 全微分\(d z\)是\(d x\)和\(d y\)的线性组合, 也可以表示为\(d u\)和\(d v\)的线性组合

  • 不管是谁的组合, 线性组合的系数都是对应的偏导数

  • 反之, 知道了全微分, 由系数可以得到偏导数

  • 全微分可以作为全增量的近似值\[ {\Delta z}\approx d z=f_x'(x,y)\Delta x+ f_y'(x,y)\Delta y.\]

  • 误差描述: \[ {\Delta z}- d z=o(\rho),\quad \rho=\sqrt{\Delta^2 x + \Delta^2 y}\,.\]

  • 可微的充要条件\[ {\Delta z}- d z=o(\rho),\quad \rho=\sqrt{\Delta^2 x + \Delta^2 y}\,.\]

  • 例: 设\(xz=e^{yz}.\) 求全微分\(dz.\)

  • 方法一: 两边分别求偏导数, 求出\(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y},\) 再写出全微分.

  • 方法二: 两边直接求微分. 得\[\begin{aligned}&d(xz)=d(e^{yz}),\\ &xdz+zdx=e^{yz}d(yz),\\ &xdz+zdx=e^{yz}(ydz+zdy) . \end{aligned}\]

  • 如果一阶偏导数连续, 则可微.

  • 如可微, 则函数连续.

  • 如可微, 则偏导数都存在.

  • 注意上面的都是充分条件, 反之不成立.

  • 偏导数存在和连续没有关系.

  • 关键把函数关系画清楚

  • 会用简单符号表示偏导数

  • 计算偏导数就用链式法则和导数的运算法则

例: 设\(z=uv, u=x^2-y, v=y\sin x,\) 求\(\frac{\partial z}{\partial x}.\)

  • \(z\to x\)共两条路径.

  • 先求第一条路径\(z\to u\to x.\)

  • 乘起来得\[\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=v\cdot 2x.\]

  • 再求第二条路径\(z\to v\to x.\) 乘起来得\[\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}=u\cdot\cos x.\]

  • 最后加起来得\[\frac{\partial z}{\partial x}=2vx+u\cos x.\]

  • 例: 设\(z=f(2x+y, xy),\) 求\(\frac{\partial z}{\partial x}.\)(注意函数关系以及偏导数的记号)

  • \(f\)其实是二元函数\(f(u,v)\), 一般把\(u,v\)按位置记为第1,2个变量.

  • 用记号\(f_1'=\frac{\partial f}{\partial u}, f_2'=\frac{\partial f}{\partial v}.\)

  • \(z\to x\)共两条路径. 先求第一条路径\(z\to 1(u=2x+y)\to x.\)

  • 乘起来得\[f_1'\cdot\frac{\partial (2x+y)}{\partial x}=2f_1'.\]

  • 再求第二条路径\(z\to 2(v=xy)\to x.\) 乘起来得\[f_2'\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial x}=f_2'\cdot y.\]

  • \[\frac{\partial z}{\partial x}=2f_1'+yf_2'.\]

  • 先要明确, 这个隐函数式子得到的是什么函数? 谁是自变量, 谁是因变量, 然后两边同时求偏导数, 解出未知量即可.

  • 同一元函数类似.

  • 例: 设\(xz=e^{yz}.\) 求\(\frac{\partial z}{\partial x}.\)

  • 上面的方程给出了一个二元函数\(z=z(x,y).\)

  • 两边对\(x\)求偏导, 得\[\begin{aligned}& x\frac{\partial z}{\partial x}+z=e^{yz}y\frac{\partial z}{\partial x},\\ &\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{ye^{yz}-x}. \end{aligned}\]

2.2 高阶偏导数

偏导数的偏导数, 注意记号.

  • 例: 设\(z=ye^{xy}.\) 求\(\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}.\)

  • \[\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}&=y^2e^{xy}, \end{aligned}\]

  • \[\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}&=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) \end{aligned}\]

  • \[\begin{aligned} &=\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2e^{xy}\right) \end{aligned}\]

  • \[\begin{aligned} &=2ye^{xy}+xy^2e^{xy}. \end{aligned}\]

  • 例: 设\(z=f(2x+y, xy),\) 求\(\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}.\)

  • 本质是链式法则. 抽象函数每个位置有一条路径.

  • \[\frac{\partial z}{\partial x}=f_1'\cdot (2x+y)_x' +f_2'(xy)_x'=2f_1'+yf_2'.\]

  • \(f_1', f_2'\)和\(f\)路径相同.

  • \[\frac{\partial }{\partial y}f_1'=f_{11}''\cdot 1+f_{12}''\cdot x.\]

  • \[\frac{\partial }{\partial y}(yf_2')=\frac{\partial }{\partial y}f_2'+f_2'.\]

  • \[\frac{\partial }{\partial y}f_2'=f_{21}''\cdot 1+f_{22}''\cdot x.\]

  • 练习: 设\(z=x^y,\) 求\(\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}.\)

  • 方法一: 化为指数函数.

  • 方法二: 两边求对数, 再求偏导.

2.3 历年真题

  • 可微与连续
  • 同上
  • 可微与连续

  • 只需求第一项.
  • 同上
  • 求偏导数

  • 例子, 图形
  • 同上

  • 举例\(\varphi(x)=x. z=x\)
  • 同上

  • 偏导数与可微的关系

  • 用山的表面帮助记忆

  • 同上

  • 含有 \(x,y,z\), 排除A,B

  • 令\(x=1\) 求导

  • 两项, 对\(x^2\)求导会出现系数2

  • C,D项, 取\(z=u, u=x^2y\)

  • 或者对\(y\)求导会出现\(x^2\), 选D

  • 同上

  • 对\(x\)求偏导
  • 偏导数的计算
  • 偏导数的计算

  • 链式法则, 是和, 排除C
  • 和\(\varphi\)有关, 排除A
  • 不会出现负号.

  • \(x,y\)对称, 没关系, 排除A,D

  • 平方, 排除B

  • 求微分或偏导数.
  • 全微分

  • 定义, 直接代入求导

  • \(dy\)的系数是1, 排除A,B,D.

  • 先确定简单的

  • 同上

  • 直接计算
  • 同上

  • 直接计算
  • 同上

  • 用定义,
  • 同上

  • 计算
  • 同上

  • 关系
  • 同上

  • 先\(y\)后\(x\)
  • 同上

  • 同上

  • 计算

  • 或出现混合, 排除A,B, 系数不可能抵消, 排除C

  • 同上

  • 计算, 或和\(y\)无关
  • 同上

  • 计算
  • 同上

  • 对称性

  • 或不等式3个

  • 同上

  • 举例,

  • 或找到和可微定义差不多的形式