高等数学简介
- 微积分不仅是数学工具, 更是理解自然界和宇宙运动规律的核心语言.
- 微积分用导数, 微分, 积分等工具研究函数的各种性质.
- 主要想法是近似: 以直代曲, 逐步逼近.
- 三个关键词: 变化, 逼近, 无穷.
1 微积分研究函数的变化性质
- 函数描述了现实世界的各种变化规律. 如\(F=ma\).
- 如温度, 水流随时间的变化, 如经济规模随时间的增减等等.
- 规律就是函数的变化性质.
让函数变起来.
- 如\(y=x^2\)是单调递增还是单调递减?
- 可以取\(x_1,x_2\), 看看\(f(x_1)-f(x_2)\)是大于0还是小于0就行.
- 如\(y=x^2\)的最小值在哪里?
- 注意到\(x<0\)时\(f(x)\)单调递减, 而\(x>0\)时\(f(x)\)单调递增. 所以\(x=0\)时是极小值, 也是最小值.
- 对于复杂函数, 解决这类问题的想法还是一样的: 判断单调性. 只不过要用导数等工具了.
2 微积分的研究工具与方法
- 研究函数如何变化?
- 在一个点\(x=x_0\)的局部如何变化? 在整个区间\([a,b]\)上整体如何变化?
- 把复杂的函数用简单的函数近似, 逼近.
- 如果误差较大, 继续近似.
3 关键词: 变化
如 \(y=f(x)\), 让自变量增加\(\Delta x\)(自变量的变化量), 看看函数值的变化量如何变化\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).\]
想一想 如果\(\Delta y=0,\) 函数是什么?
实际上, 我们大部分的时间都在研究, 估计 \(\Delta y\)随着\(\Delta x\)如何变化.
例 求\(y=x^2+2x+3\)的最小值.
\[\begin{aligned} \Delta y&=[(x+\Delta x)^2+2(x+\Delta x)+3]-(x^2+2x+3)\\ &=\Delta x(2x+2+\Delta x). \end{aligned}\]
- 答案很明显: 函数值\(f(x_0)\)最小也就是 \(f(x)\geq f(x_0)\).
- 换个说法, 就是\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\geq 0.\)
- 所以问题就变成估计什么时候 \(\begin{aligned}\Delta y&=\Delta x(2x+2+\Delta x)\geq 0.\end{aligned}\)
\[\begin{aligned} \Delta y&=(\Delta x)^2\geq 0. \end{aligned}\] 所以\(f(-1)=2\)是最小值.
- \[\begin{aligned} \Delta y&=\Delta x(4+\Delta x). \end{aligned}\]
- 如果取\(\Delta x>0\), 则\(\Delta y>0\).
- 如果取\(-4<\Delta x<0\), 则\(\Delta y<0\).
- 所以在\(x=1\)的周围函数值有比\(f(1)\)大, 也有小的. 因此不是最小值.
练习 如何用变化的思路证明: 周长固定的矩形之中, 正方形的面积最大?
4 关键词: 逼近
研究函数最关键的是抓住函数值的变化量\(\Delta y\), 搞清\(\Delta y.\)
- \(\Delta y\)一般很复杂, 先简单近似, 再想法减少误差, 逐步达到要求.
- 不断近似, 逼近\(\Delta y\).
- \(e^0=1.\)
- \[\begin{aligned} \Delta y&=e^{0.002}-e^0\approx? \end{aligned}\]
- \(\begin{aligned}\Delta y\approx 0\end{aligned}.\)
- 所以\(e^{0.002}\approx 1\).
- 再精确一点 \(\begin{aligned}\Delta y\approx \Delta x\end{aligned}.\)
- 所以\(e^{0.002}\approx 1+0.002\).
例 求\(y=x^2\)在\(x=1\)处的切线.
- 什么叫割线?
- 抛物线上两点的连线叫割线(有两个交点).
- 切线是一条特殊的割线–两个交点重合了.
- 当割线的两个交点越来越靠近时, 割线越来越靠近切线.
- 求割线, 然后让另一个交点靠近\((1,1).\)
- 选\((1,1)\)附近的点\((1+\Delta x,1+\Delta y).\)
- 计算斜率.
- \[\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2+\Delta x. \end{aligned}\]
- 让\(\Delta x\)越来越小, 得到切线斜率\(k=2\).
- 写出切线方程.
- 切线的特殊性 \[\begin{aligned} 斜率k\approx\frac{\Delta y}{\Delta x}=2+\Delta x. \end{aligned}\]
- 切线的斜率约等于函数值的变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
- 则\({\Delta y}\sim 3 {\Delta x}\). 局部看, 函数就是一个线性函数, 自变量增加多少, 函数值就增加自变量的3倍.
- 图像有点像一条直线.
- 函数是单调递增的.
- 所以知道了变化率, 函数的大概性质就很清楚了.
- 在一个点附近, 曲线可以用切线近似. 近似看成一条直线–以直代曲.
练习 如何只用手算, 计算\(\sqrt{2}\)的近似值? 误差是多少?
准确地说, 我们是想搞清自变量变化\(\Delta x\)时, \(\Delta y=?\) 所以关键是搞清函数值的变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\), 其极限称为导数.
- 导数的重要性由此可见.
- 如果函数表示的是路程, 则变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)就是平均速度.
- 如果函数是速度, 则变化率就是加速度.
5 关键词: 无穷
例 求抛物线 \(y = x^2, x\) 轴以及直线 \(x = 1\) 所围成的曲边三角形面积\(S\)？
- 先估计一个近似值.
- \(0<S<\frac{1}{2}.\)
- 把面积分割为小矩形, 再估计近似值.
- 面积约为5个矩形.
- 每一个矩形底为0.2, 高为右端点的函数值.
- \(S\approx 0.2(0.2^2+0.4^2+0.4^2+0.6^2+0.8^2+1^2).\)
- 误差是多少? 能更精确吗?
- 如何求精确值?
- 分点越多, 误差越小.
- \([0,1]\)进行\(n\)等分, 小矩形的底为\(\frac{1}{n}.\)
- 面积 \[ S\approx \frac{1}{n}(\frac{1}{n^2}+ \frac{2^2}{n^2}+\cdots \frac{i^2}{n^2}+\cdots+\frac{n^2}{n^2} )=\frac{1+ 2^2+\cdots+ i^2+\cdots+n^2}{n^3}. \]
分子如何求出来? \[1+ 2^2+\cdots+ i^2+\cdots+n^2=?\]
- 简单的会不会?
- \(1+ 2+\cdots+ i+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.\)
- 简单的有什么规律?
- 是\(n^2, n\)的组合.
- 猜一下平方和等于?
- \(1+ 2^2+\cdots+ i^2+\cdots+n^2=an^3+bn^2+cn+d.\)
- 系数怎么求?
- 列方程, 解未知数.
- \(1+ 2^2+\cdots+ i^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\)
面积 \[\begin{aligned} S&\approx\frac{1+ 2^2+\cdots+ i^2+\cdots+n^2}{n^3}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\\ &=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}. \end{aligned}\]
- 当\(n\)趋向无穷大时, 得到准确值
- \(S=\frac{1}{3}.\)
- 近似–有误差, 无穷–消除误差.
6 逼近, 近似方法的合理性
- 准确值既不现实, 也不必要.
- 在实际问题中, 数字本身就有误差, 准确得到\(\Delta y\) 一般没有必要, 也不可行, 我们只需得到一个满足误差要求的近似值就行.
- 比如\(\pi\)的准确值是多少?
- 没人能说出来, \(\pi\)是无限不循环小数, 谁也不会知道.
- 关键: 找到近似值, 能知道误差是多少.
7 学习建议
- 理解概念. 概念, 命题, 定理要搞清楚到底是什么意思.
- 掌握步骤. 很多问题有固定的解决步骤, 关键是认清楚是什么问题.
- 抓住例子. 通过一个简单的例子, 帮助理解概念, 掌握步骤.
- 辅导材料: 网站 https://www.zzgmath.cn/le/admath-first/
- 要自己想, 自己算. 听懂, 听明白只是别人明白, 不是自己明白.
- 要大胆问, 不要随便问. 讨论, 交流理解深刻, 快. 不思考就问不深刻, 效率低.