定积分的应用

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[M=\int_a^b dM,\ dM=f(x)dx\]

  • 目标: 把要求的对象写成定积分.
  • 方法: 微元法.
  • 重点: 面积与旋转体的体积.

1 微元法

比如求曲边梯形的面积\(A\).

第一步, 把自变量的区间\([a,b]\)分成许多小部分.
第二步, 选择一个代表\([x,x+dx]\), 把面积近似为矩形. 求出面积微元 \(dA=f(x)dx\).
第三步, 把所有小面积加起来并取极限(相当于定积分) \[A= \int_{a}^{b} f(x) dx.\]

  • 本来是面积的近似值, 但是取极限(定积分)就得到了准确值.
  • 任选一段\([x,x+dx]\)代表, 计算微元\(dU= f(x) dx.\)
  • 将微元加起来: 积分\[ U =\int_{a}^{b} dU=\int_{a}^{b} f(x) dx.\]
  • 相当于把定积分的分割, 近似, 求和, 取极限四步简化合并为分割, 计算微元, 积分.

2 应用实例

2.1 平面图形的面积

2.1.1 直角坐标系

例 求由曲线\(y = x^2\)与直线\(y = 2x\)围成的平面图形的面积.

  1. 确定积分区间 联立方程\(\begin{cases}y = x^2 \\ y = 2x\end{cases}\), 解得交点为\((0,0)\)和\((2,4)\), 取\(x\)为积分变量, 区间为\([0,2]\).
  2. 计算面积微元 \(dA\) 在\([x, x+dx]\)上, 图形的“高”为上曲线减下曲线：\(2x - x^2\), 因此面积微元 \[ dA = (2x - x^2) dx. \]
  3. 写为定积分 \[ A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = \left. \left(x^2 - \frac{1}{3}x^3\right) \right|_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}. \]

所以所求平面图形的面积为\(\frac{4}{3}\).

2.1.2 极坐标系

面积微元可以看成小扇形.

\(r=\theta\), 围成. \[ \begin{align*} \mathrm dA&=\dfrac{1}{2}r^2\mathrm d\theta=\dfrac{1}{2}\phi^2(\theta)\mathrm d\theta,\\ A&=\int_\alpha^\beta \dfrac{1}{2}\phi^2(\theta)\mathrm d\theta. \end{align*} \]

例 求 \(r^2=a^2\cos 2\theta\) 所围面积.

\[ \begin{align*} A&=4\int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{2}\phi^2(\theta)\mathrm d\theta\\ &=2\int_0^{\frac{\pi}{4}}a^2\cos 2\theta \mathrm d\theta\\ &=2a^2\times \dfrac{1}{2}\sin 2\theta|_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &=a^2. \end{align*} \]

例 求 \(\rho=2\cos \theta\) 所围面积.

\[ \begin{align*} A&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}4\cos^2\theta \mathrm d\theta\\ &=2\cdot (\theta+\dfrac{1}{2}\sin 2\theta)|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\pi. \end{align*} \]

例 求心形线 \(r = a(1+\cos\theta), a>0\) 所围成的面积.

\[A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1+\cos\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta.\] \[= \frac{a^2}{2}\left[\theta + 2\sin\theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{2\pi} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi a^2}{2}.\]

2.1.3 参数方程

\[ \begin{align*} \begin{cases} x=\phi(t),\\ y=\psi(t), \end{cases} \quad\alpha \le r \le \beta. \end{align*} \]

\[ \begin{align*} dA&=ydx=\psi d\phi =\psi \phi'dt.\\ A&=\int_\alpha^\beta|\phi(t)\psi'(t)|\mathrm dt. \end{align*} \]

  • 利用对称性可以去掉绝对值.

例 求\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a\gt 0,b\gt 0)\) 所围面积.

原式参数方程表示如下 \[ \begin{align*} \begin{cases} x=a\cos t,\\ y=b\sin t, \end{cases} \quad t \in [0,2\pi]. \end{align*} \]

所以 \[ \begin{align*} A&=4\int_0^ab\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\mathrm dx\\ &=4\dfrac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx\\ &=4\dfrac{b}{a}\int_{\frac{\pi}{2}}^0-a\sin t(a\sin t)\mathrm dt\quad(x=a\cos t)\\ &=4ab\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2t \mathrm dt\\ &=4ab\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi}{2}\\ &=\pi ab. \end{align*} \]

因此\(A=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}|b\sin t\cdot a\sin t|\mathrm dt=4ab\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^t \mathrm dt=\pi ab.\)

2.2 旋转体的体积

问题 曲线 \(y=f(x)\)（\(f(x)\geq 0\)）在 \([a,b]\) 上连续，计算曲线绕 \(x\) 轴旋转一周所得旋转体体积.

2.2.1 圆盘法

微元分析 取厚度为 \(dx\) 的薄片，近似为半径 \(r=f(x)\) 的圆盘，体积 \(dV = \pi r^2 dx = \pi [f(x)]^2 dx\).

所以体积为 \[V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx.\]

2.2.2 壳层法

问题 曲线 \(y=f(x)\)（\(f(x)\geq 0\)）在 \([a,b]\) 上连续，计算曲线绕 \(y\) 轴旋转一周所得旋转体体积.

微元分析 取宽度为 \(dx\) 的竖直条带，旋转形成圆柱壳。壳的半径为 \(x\)，高为 \(f(x)\)，厚度为 \(dx\)，体积 \(dV = 2\pi x \cdot f(x) \cdot dx\). 所以旋转体体积为 \[V = 2\pi \int_a^b x\,f(x)\,dx.\]

例(绕\(x\)轴旋转) 求由曲线\(y = \sqrt{x}\)、直线\(x=4\)和\(x\)轴围成的图形绕\(x\)轴旋转一周的体积.

  1. 确定积分区间 积分变量取\(x\), 范围为\([0,4]\).
  2. 计算体积微元 \(dV\) 绕\(x\)轴旋转的“薄片”体积微元为圆柱体体积：底面积\(\pi y^2\), 厚度\(dx\), 因此 \[ dV = \pi (\sqrt{x})^2 dx = \pi x dx. \]
  3. 写成定积分 \[ V = \int_{0}^{4} \pi x dx = \pi \cdot \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_{0}^{4} = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi. \] 所以旋转体体积为\(8\pi\).

2.3 曲线的弧长

例(直角坐标形式) 求抛物线\(y = \frac{1}{2}x^2\)上从\(x=0\)到\(x=2\)的弧长.

  1. 弧长微元 弧长微元(微分)\(ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + (y')^2} dx.\)
  2. 积分区间 \(y' = x\), 积分区间\([0,2]\).
  3. 写成定积分 \(ds = \sqrt{1 + x^2} dx,\) 弧长\(L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + x^2} dx.\)

利用积分公式 \[\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C,\] 计算得 \[ L = \left. \left( \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{1+x^2}) \right) \right|_{0}^{2}. \] \[ = \frac{2}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) - 0 = \sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}). \]

所求弧长为\(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5})\).

2.4 变力做功

例 将一个弹簧从原长拉长\(0.1\)米, 已知弹簧的弹性系数\(k=100N/m\), 求拉力做的功.

  1. 确定积分变量与区间 取伸长量\(x\)为积分变量, 范围\([0, 0.1]\)(单位：米).
  2. 计算功的微元\(dW\) 在伸长量\(x\)处, 拉力\(F(x)=kx=100x\), 拉长微小长度\(dx\)时, 做功微元： \[dW = F(x)dx = 100x dx.\]
  3. 写为定积分 \[\begin{aligned} W &= \int_{0}^{0.1} 100x dx = 100 \cdot \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_{0}^{0.1} \\ &= 50 \times (0.1)^2 = 0.5 (焦耳). \end{aligned}\]

所以拉力做的功为\(0.5\)焦耳.

2.5 水闸压力

例 一矩形水闸宽 \(2m\)、高 \(3m\)，水面与闸顶齐平，求水闸所受压力(\(\rho=1000\,\text{kg/m}^3\)，\(g=9.8\,\text{m/s}^2\)).

建立坐标系，水面为 \(y=0\)，向下为正。在深度 \(y\) 处，宽度 \(w(y)=2\). \[F = \int_0^3 \rho g y \cdot 2\,dy = 2\rho g \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^3 = 9\rho g = 88200\,\text{N}.\]