函数的连续性

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,\quad \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\]

  • 连续的定义与间断点的分类
  • 闭区间上连续函数的性质
  • 零点定理, 介值定理

1 函数在一点的连续性

\[\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,\quad \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0).\]

设 \(y = f(x)\)，当自变量 \(x\) 从 \(x_0\) 变到\(x\)时,

  • \(\Delta x=x-x_0\)称为自变量的增量(变化量),
  • \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)=f(x) - f(x_0)\)称为 函数的增量(变化量).

定义 设\(f(x)\)在\(x_0\)的某个邻域内有定义, 如果 \[\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0.\] 则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续.

  • 等价定义: \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续当且仅当\(\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) =0.\)
  • 等价定义: \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续当且仅当\(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).\)

函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续必须同时满足：

  1. \(f(x_0)\) 有定义；
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)\) 存在；
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

1.1 左连续与右连续

  • 若 \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\)，称 \(f\) 在 \(x_0\) 处左连续；
  • 若 \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\)，称 \(f\) 在 \(x_0\) 处右连续.

命题 \(f\) 在 \(x_0\) 连续 的充要条件是既左连续又右连续.

2 函数在区间上的连续性

  • 若 \(f\) 在 \((a,b)\) 内每一点连续，则称 \(f\) 在 \((a,b)\) 内连续；
  • 若 \(f\) 在 \((a,b)\) 内连续，且在 \(a\) 处右连续，在 \(b\) 处左连续，则称 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续.

例 证明 \(f(x) = x^2\) 在 \(x=1\) 连续.

例 证明 \(f(x) = \sin x\) 在 \((-\infty, +\infty)\) 上连续.

利用 \(|\sin x - \sin x_0| \le |x - x_0|\)，取 \(\delta = \varepsilon\).

例 讨论 \(f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0, \\ x+1, & x>0, \end{cases}\,\,\) 在 \(x=0\) 的连续性.

左极限 \(0\)，右极限 \(1\)，不相等，故不连续.

例 设 \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \ne 0 \\ 1, & x=0 \end{cases},\,\,\)则在 \(x=0\) 是否连续?

3 函数的间断点

定义 若 \(f\) 在 \(x_0\) 不满足连续条件，则称 \(x_0\) 为间断点.

间断点分类

  • 第一类间断点：左右极限都存在.
    • 可去间断点：左右极限相等；
    • 跳跃间断点：左右极限不相等.
  • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在(如无穷间断点、振荡间断点).

例 \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x=0, \end{cases}\,\,\) 则\(x=0\)是哪类间断点?

可去间断点特征：左右极限存在且相等，但不等于函数值或无定义.

例 求 \(f(x) = \frac{x}{\sin x}\) 的间断点并判断类型.

\(x = k\pi\)(\(k \in \mathbb{Z}\))为间断点.\(x=0\) 处极限为 \(1\)(可去)；\(x = k\pi\)(\(k \ne 0\))处为无穷间断点(第二类).

例 讨论 \(f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x=0, \end{cases}\) 的连续性.

例 讨论 \(f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x=0, \end{cases}\) 在 \(x=0\) 处的连续性.

4 连续函数的运算

定理 若 \(f, g\) 在 \(x_0\) 连续，则 \(f \pm g\)，\(f \cdot g\)，\(\frac{f}{g}\)(\(g(x_0) \ne 0\))都在 \(x_0\) 连续.

定理 若 \(g\) 在 \(x_0\) 连续，\(f\) 在 \(u_0 = g(x_0)\) 连续，则复合函数 \(f \circ g\) 在 \(x_0\) 连续.

重要结论 在连续条件下，极限符号与函数符号可交换： \[ \lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to x_0} g(x)) \]

若 \(f\) 在区间 \(I\) 上单调且连续，则其反函数 \(f^{-1}\) 在对应区间上单调且连续.

命题  
1. 基本初等函数(幂、指、对、三角、反三角)在它们的定义域内连续； 
2. 一切初等函数在其定义区间内连续.

定义区间：包含在定义域内的区间.

4.1 连续函数的应用

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(1 + x)\)，因 \(\ln\) 连续，\(\lim = \ln(\lim_{x\to0}(1+x)) = \ln 1 = 0\).

例 若 \(f(x)\) 连续，且 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1\)，证明 \(f(0) = 0\).

5 闭区间上的连续函数的性质

定理(最值定理) 闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数必有最大值和最小值.

推论(有界性定理) 闭区间上的连续函数在该区间上有界.

定理(零点定理) 若 \(f \in C[a,b]\)，且 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)，则存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f(\xi) = 0\).

何时用?
一般证明某个函数有根.

怎么用? 固定步骤!

  1. 构造函数
  2. 验证条件
  3. 得出结论

若 \(f \in C[a,b]\)，且 \(f(a) = A\)，\(f(b) = B\)(\(A \ne B\))，则对于介于 \(A\) 与 \(B\) 之间的任意实数 \(C\)，存在 \(\xi \in (a,b)\)，使 \(f(\xi) = C\).

例 证明方程 \(x^3 - 4x + 1 = 0\) 在 \((0,1)\) 内至少有一个根.

令 \(f(x) = x^3 - 4x + 1\)，\(f(0)=1>0\)，\(f(1)=-2<0\)，由零点定理，存在 \(\xi \in (0,1)\) 使 \(f(\xi)=0\).

例 设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，\(a < c < d < b\)，证明存在 \(\xi \in (a,b)\) 使 \(f(\xi) = \frac{f(c)+f(d)}{2}\).

例 设\(f: [a,b]\rightarrow [a,b]\)为连续函数, 证明: 存在\(\xi\in [a,b],\) 使得 \(f(\xi)=\xi.\)

移到一边, \[f(\xi)-\xi=0.\] 即证方程\(f(x)-x=0\)有根.

  1. 构造函数
  2. 验证条件
  3. 应用零点定理.