极限存在的两个准则

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

  • 都是判断极限是否存在的方法.
  • 有固定的步骤解决这样的问题.

1 夹逼准则

\[x_n\le y_n\le z_n，\ 且\ \lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=A，\ 则\ \lim\limits_{n\to\infty}y_n=A.\]

数列版 \(n>N\) 时 如果\(x_n\le y_n\le z_n\)，且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=A\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=A.\)

函数版 在\(x_0\)的去心邻域内, 如果 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)，且 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A\)，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A.\)

  • 判断极限存在的一种方法.
  • 使用时涉及到3个数列.
  • 把原数列适当的放大和缩小即得另外两个数列.
  • 放大, 缩小的方法就是去掉或增加高阶的无穷小.
  • 数列以求和的形式给出,
  • 或表达式较为复杂, 需要放缩进行化简.
  • 对数列进行放大和缩小.
  • 放大和缩小, 就是忽略误差.

例 求 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n}).\)

分析 困难在哪里?

  • 分母不同.
  • 对分母放缩.

解 \(\frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\cdots+\frac{1}{n^2+n}\leq\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n}\leq \frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\cdots+\frac{1}{n^2+1}.\)

  • \(\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2+n}+\frac{2}{n^2+n}+\cdots+\frac{1}{n^2+n})=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+n}=\frac{1}{2}.\)
    \(\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+1}+\cdots+\frac{1}{n^2+1})=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+1}=\frac{1}{2}.\)
  • 由夹逼准则, \(\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n})=\frac{1}{2}.\)

例 求 \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}.\)

  • 困难在哪里?
    • \(n\)次根号不好处理, 怎么去根号?
  • \(n\)次方.

解 设\(\sqrt[n]{n}=1+q_n\), 则\(q_n>0.\) 
所以\({n}=(1+q_n)^n=1+nq_n+\frac{n(n+1)}{2}q_n^2+\cdots.\) 
因此\(n>\frac{n(n+1)}{2}q_n^2.\)

  • \(q_n^2<\frac{2}{n+1}.\) 即\(q_n\leq \sqrt{\frac{2}{n+1}}.\)
  • 由于\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2}{n+1}}=0.\)
  • 由夹逼准则 \(\lim\limits_{n\to\infty}q_n=0.\)
  • 所以\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.\)

推论 \(a>0\), 则\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1.\)

例(典型) 求 \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}.\)

  • 困难在哪里?
    • 根号里面有3项, 都不同, 没法去根号.
  • 放缩为相同的可以去根号.

解 放缩得 \(3^n\le1+2^n+3^n\le3\cdot3^n\)，所以 \[3\le\sqrt[n]{1+2^n+3^n}\le3\cdot\sqrt[n]{3}.\]

\(\lim\limits_{n\to\infty}3=3\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}3\cdot\sqrt[n]{3}=3\)，故 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=\boldsymbol{3}.\)

1.1 重要极限I

\[\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.\]

利用几何图形（单位圆）, 比较面积得,  
当\(x>0\)时, \(\sin x\leq x\leq \tan x.\) 
所以有 \(\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.\)  
由夹逼准则, \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1.\)  当\(x<0\)时, 也有\(\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.\)  
所以\(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1.\) 
所以\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.\)

  • 重要极限是一个特殊的极限。
  • 可以用它求极限。

1.2 重要极限的应用

  • 注意使用条件：\({x\rightarrow 0}.\)
  • 只要表达式\(\otimes\)是一个无穷小，下面的极限仍然成立。 \[\lim\limits_{\otimes\rightarrow 0} \frac{\sin \otimes}{\otimes}=1.\]

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin (5x)}{x}.\)

  • 要保持一致.
  • 解 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin (5x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0} 5\cdot \frac{\sin ({\color{red}{5x}})}{\color{red}{5x}}=5.\)

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{x}.\)

\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x)}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin ({\color{red}{\sin x}})}{\color{red}{\sin x}}\cdot \frac{\sin x}{x}=1.\)

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}.\)

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}.\)

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}.\)

变量代换\(y=\arcsin x,\) 则\(x=\sin y.\)

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sin x}{x}.\)

\(x\)不趋向0.

2 单调有界必有极限

  • 判断极限是否存在的方法, 有固定的套路解决这样的问题.
  • 一般用递推公式给出数列时使用.
  • 证明单调: 前后两项相减, 或相除, 可以用数学归纳法.
  • 证明有界, 可以不等式或数学归纳法.
  • 求极限就是解方程.
  • 没有思路时先计算前几项看看.

单调有界准则 若数列单调有界, 则必有极限.

  • 如果单调递增有上界, 则数列收敛.
  • 如果单调递减有下界, 则数列收敛.

例 设 \(x_1 = \sqrt{2}\)，\(x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}\)，证明 \(\{x_n\}\) 收敛并求极限.

证明 先证有界 由于\(x_1 \le 2,\) 由数学归纳法\(x_{n+1} =\sqrt{x_n+2}\le 2.\)

再证单调增加 因为\(x_{2} = \sqrt{2 + x_1}>\sqrt{2}.\) 由数学归纳法\(\frac{x_{n+1}}{x_n} =\frac{\sqrt{x_n+2}}{\sqrt{x_{n-1}+2}}>1.\) 所以数列单调增加.

最后求极限 设极限为 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n =a\)，则\[\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt{2 + x_n}.\] 所以\(a = \sqrt{2 + a}\)，解得 \(a= 2.\) 其中\(a=-1\)舍去.

2.1 使用步骤

  • 数列用递推方式给出 \(a_n=f(a_{n-1}).\)
  • 证明单调; 证明有界; 计算极限.
  • 先求出极限, 作为界的提示.
  • 用数学归纳法, 或函数的最值, 或不等式证明有界.
  • 证明单调一般前后两项相减, 或相除.
  • 不知道递增还是递减先求几项看看.
  • 可以用数学归纳法, 函数的导数证明单调.
  • 在数列的递推公式两边取极限\(\lim a_n=f(\lim a_{n-1})\) 得极限\(a\)满足关系式\(a=f(a).\)
  • 注意舍去不可能的根.

2.2 重要极限 II

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e. \ 或\ \displaystyle\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e.\]

  • 这两个极限存在, 然后把极限记为\(e.\)
  • 重要极限 II 的变形 \[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e, \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k. \]
  • 只要表达式\(\otimes\)是一个无穷小(无穷大)，下面的极限仍然成立。 \[\lim\limits_{\otimes\rightarrow 0} (1 + \otimes)^{1/\otimes} = e,\ \lim_{\otimes \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\otimes}\right)^\otimes = e.\]

用单调有界准则证明极限存在

  • 二项式展开.\[ \begin{align} x_n&= (1 + \frac{1}{n})^n=1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot \frac{1}{n^3}+\cdots\\ &=2+\frac{1}{2!} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+\cdots+\frac{1}{n!} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}). \end{align} \]

  • 根据这个展开式, 比较\(x_n, x_{n-1}.\) \(x_n\)比\(x_{n-1}\)多一项(为正), 且其余每一项分母\(n\)换成\(n-1\), 都比\(x_{n-1}\)大, 所以\(x_n>x_{n-1}.\)

  • \[ \begin{align} 因为\ x_n&< 1+1+\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\cdots+\frac{1}{n!} \\ &< 1+1+\frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3. \end{align} \]

  • 所以数列\(\{x_n\}\)单调递增有上界, 必有极限.

例 证明\(\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x} = e^2\).

解 \[ \begin{align} \ \lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x}&=\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{2x}\cdot 2}\\ &=\lim_{x \to 0}\left[(1 + 2x)^{\frac{1}{2x} }\right]^2=e^2. \end{align} \]

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 - \sin x)^{1/x}.\)

\[ \begin{align} &\lim_{x \to 0} (1 - \sin x)^{1/x}\\ =&\lim_{x \to 0}\left[ (1 - \sin x)^{\frac{1}{-\sin x}} \right]^{\frac{-\sin x}{x}} =e^{-1}. \end{align} \]

2.3 几个极限

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.\)

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}.\)

  • 设\(y=e^x,\) 则\(x=\ln y.\)

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}(1+x)^\alpha - 1 .\)

  • 困难在哪里? 是幂函数不是指数函数.
  • 换成指数函数\((1+x)^\alpha=e^{\alpha\ln (1+x)}.\)

例(幂指函数极限) 若 \(\lim f(x) = A > 0\)，\(\lim g(x) = B\)，则 \[ \lim [f(x)]^{g(x)} = A^B. \]