微分中值定理
\[ f(x)=f(a)+f'(\xi)(x-a) \]
- 目标: 用定理解决问题.
- 重点: 定理条件是什么, 结论是什么.
- 难点: 什么时候用什么定理, 怎么用.
1 费马引理与驻点
\[f'(x_0)=0. \]
定义 若 \(f'(x_0)=0\)，则称 \(x_0\) 为驻点（稳定点）.
- 若 \(f(x)\) 在 \(U(x_0,\delta)\) 有定义，\(\forall x\in U(x_0,\delta), \quad f(x)\ge f(x_0)(f(x)\le f(x_0))\)，则称 \(f(x_0)\) 为极小值（极大值），\(x_0\) 为极小值点（极大值点）.
定理 函数\(y=f(x)\)点\(x_0\)的某个邻域内可导, 则\(f(x_0)\) 取得极值的必要条件是\(f'(x_0)=0.\)
- 是必要条件.
- 点在区间的内部.
- 给出了极值点可能出现的地方: 导数为零的地方, 或导数不存在的点.
- 导数为0的点称为驻点. 因为此点周围, 函数值几乎不变. 函数图形(切线)近似的看是一条水平线.
\(f'(x_0)=f'_-(x_0)=f'_+(x_0).\)
所以 \(\displaystyle f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0 \quad f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)-(x_0)}{x-x_0}\ge 0.\)
得证
2 罗尔定理
\[存在\,\xi\in (a, b)\ 使得 \ f'(\xi)=0.\]
定理 如果函数\(y=f(x)\)满足:
- \(f(x)\)在\([a, b]\)上连续.
- \(f(x)\)在\((a, b)\)内可导.
- \(f(a)=f(b).\)
则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[f'(\xi)=0.\]
- 三个条件.
- 结论是存在某个中间值\(\xi\)处的导数为零.
- 罗尔定理中导数为0的点\(\xi\)其实是内部的最值点, 这也是证明方法.
- 证明涉及到某个导数的等式有解.
固定步骤
- 构造函数\(\to\)验证条件\(\to\)应用结论.
- 困难之处在要想到用罗尔定理(参看上一条), 怎么构造合适的函数.
- 要证明的式子是某个函数的导数, 用积分方法帮助求出原函数.
- 猜测原函数是什么样的? 如果是两项和, 则原函数可能是乘积.
- 乘上一个指数函数等.
2.1 例题
例: 设 \(y=f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导，且 \(\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to b^-}f(x)\) ，证明：存在 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi )=0.\)
设 \[ \begin{align*} F(x)=\begin{cases} \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(a^+)\quad &x=a\\ f(x)\quad &a\lt x\lt b\\ \displaystyle \lim_{x\to b^-}f(b^-)\quad &x=b. \end{cases} \end{align*} \]
此时 \(F(a)=F(b)\)，满足罗尔定理.
\(\therefore\) 存在 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi )=0=F'(\xi ).\)
例: 证明 \(x^5-5x+1=0\) 有且仅有一个小于1的正实数根.
- 存在性：\(f(x)=x^5-5x+1\quad f(0)=1\quad f(1)=-3\lt 0\)，由零点定理，存在 \(\xi \in (0,1)\)，\(f(\xi )=0.\)
- 唯一性：假设存在 \(\xi_1 \ne \xi_2 \in (0,1)\) 有 \(f(\xi_1)=f(\xi_2)=0\)，\(f(x)\) 在 \([\xi_1,\xi_2]\) 连续，\((\xi_1,\xi_2)\) 可导，\(f(\xi_1)=f(\xi_2).\)
\(\Rightarrow \exists \eta \in (\xi_1,\xi_2)\) 有 \(f'(\eta )=5\eta^4 -5=0\) ，与 \(\eta \in (0,1)\) 矛盾.
\(\therefore\) 只存在唯一实根.
例: 若 \(f(x)\) 在 \((-\infty ,+\infty)\) 可导，且 \(f'(x)=0\) 无实根，证明 \(f(x)=0\) 至多只有一个实根.
设有 \(\xi_1 \ne \xi_2\) 两实根，\(f(\xi_1)=f(\xi_2)=0.\)
\(f(x)\) 在 \([\xi_1,\xi_2]\) 连续，\((\xi_1,\xi_2)\) 可导 \(\Rightarrow \exists \xi \in (\xi_1,\xi_2)\)，\(f'(\xi)=0\)，与已知矛盾.
\(\therefore f(x)=0\) 至多有一个实根.
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理
\[存在\,\xi\in (a, b)\ 使得 \ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]
定理 如果函数\(y=f(x)\)满足:
- \(f(x)\)在\([a, b]\)上连续.
- \(f(x)\)在\((a, b)\)内可导.
则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]
其他形式: \[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\] 或\[f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a).\] 或\[\Delta y=f'(\xi)\Delta x.\]
- 不要被不同表达式迷惑了, 就是换换符号.
- 几何意义: 内部存在一点处的切线和连结两个端点的割线平行.
- 非常重要, 描述了函数的变化量(增量)\(\Delta y\)是\(\Delta x\)的倍数, 此倍数是某点处的导数值. 也称为有限增量公式.
- 证明涉及到某个导数的等式有解.
固定步骤
- 构造函数\(\to\)验证条件\(\to\)应用结论.
- 困难之处在要想到用定理(参看上一条), 怎么构造合适的函数.
- 要证明的式子是某个函数的导数, 用积分方法帮助求出原函数.
- 猜测原函数是什么样的? 如果是两项和, 则原函数可能是乘积.
- 乘上一个指数函数等.
推论 如果\(f(x)\) 在区间 \(I\) 可导，且 \(f'(x)=0\) 则 \(f(x)=C.\)
\(\forall x_1,x_2\)， \[ \begin{align*} f(x_1)-f(x_2)&=f'(\xi )(x_1-x_2)\\ &=0(x_1-x_2)=0. \end{align*} \]
\(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow f(x)=C.\)
例 证明 \(\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}(x\in [0,\dfrac{\pi}{2}]).\) 例 \(f(x),g(x)\) 在 \(I\) 上可导，且 \(f'(x)=g'(x)\) 则 \(f(x)-g(x)=C.\)
例 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 内可导，证明：\(\exists \xi \in(a,b)\) 使 \(\dfrac{bf(b)-af(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f'(\xi).\)
设 \(F(x)=xf(x).\)
\(F'(\xi)=|f(x)+xf'(x)|_{x=\xi}=f(\xi)+\xi f'(\xi)=\dfrac{bf(b)-af(a)}{b-a}.\)
例 证明 \(\dfrac{h}{1+h}\lt \ln(1+h) \lt h\)，\(h\gt -1\) 且 \(h\ne 0.\)
\(h\gt 0,\quad \dfrac{1}{1+h}\lt \dfrac{\ln(1+h)}{h}\lt 1.\)
\(\dfrac{\ln(1+h)-\ln(1+0)}{h-0}=\dfrac{1}{1+\xi}\lt 1\quad 0\lt \xi\lt h.\)
\(-1\lt h\lt 0,\quad \ln (1+h)=\ln(1+h)-\ln 1=\dfrac{1}{1+\theta h}\cdot h(0\lt \theta \lt 1).\)
\(\theta \lt \theta h\lt 0, \quad 1+h\lt 1+\theta h\lt 1.\)
\(h\gt \dfrac{h}{1+\theta h}\gt \dfrac{h}{1+h}\)，即得证.
4 柯西中值定理
定理 如果函数\(x=f(t), y=g(t)\)满足:
- \(f(t), g(t)\)在\([a, b]\)上连续.
- \(f(t), g(t)\)在\((a, b)\)内可导.
- \(g'(t)\neq 0.\)
则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-g(a)}{b-a}.\]
- 对参数方程用拉格朗日中值定理即是柯西中值定理.
- 证明涉及到某个导数的等式有解.
- 且出现两个不同类型函数的导数.
固定步骤
- 构造函数的参数方程\(\to\)验证条件\(\to\)应用结论.
- 困难之处在要想到用定理(参看上一条), 怎么构造合适的函数.
- 要证明的式子是某个函数的导数, 进行分离, 组合.
- 想办法写成导数的商的形式.
例 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导（\(a\gt 0\)）。证明：\(\exists \xi \in(a,b)\) 使得 \(f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln \dfrac{b}{a}.\)
令 \(g(x)=\ln x\)，\(f(x),g(x)\) 满足柯西定理的条件.
\(\therefore \exists \xi \in(a,b)\) 使得 \(\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}.\) 即 \(\dfrac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}=\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln \frac{b}{a}}\)，得证
例 求证 \(\exists \xi \in(1,e)\) 使得 \(\sin 1=\cos (\ln \xi)\).
设 \(f(x)=\sin(\ln x),g(x)=\ln x\) 在 \((1,e)\) 上满足柯西定理的条件
\(\therefore \exists \xi \in (1,e)\quad \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{\sin(\ln e)-\sin(\ln 1)}{\ln e-\ln 1}=\sin 1.\)
\(g'(x)=\dfrac{1}{x} \quad f'(x)=\cos (\ln x)\cdot \dfrac{1}{x} \quad 左侧=\cos (\ln \xi)\)
5 洛必达法则
\[\displaystyle \lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A.\]
- 求极限的第一选择.
- 注意使用条件
定义 两个无穷小量/大量之比的极限称为不定式/未定式.
- 比如\(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\) 型.
5.1 \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\) 型极限
定理 (洛必达法则 L’Hôpital Rule) 若\(f(x),g(x)\) 满足
- \(\displaystyle \lim f(x)=\lim g(x)=0.\)
- \(g'(x)\ne 0.\)
- \(\displaystyle \lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A\)(\(A\) 可以是实数或正负无穷).
则 \(\displaystyle \lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A.\)
定理 (洛必达法则 L’Hôpital Rule) 若\(f(x),g(x)\) 满足
- \(\displaystyle \lim f(x)=\lim g(x)=\infty.\)
- \(g'(x)\ne 0.\)
- \(\displaystyle \lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A\)(\(A\) 可以是实数或正负无穷).
则 \(\displaystyle \lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A.\)
令 \(F(x)=\begin{cases}f(x),&\quad x\ne x_0,\\ 0,&\quad x=x_0.\end{cases}.\)
\(\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{F(x)}{G(x)}=\dfrac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=F'(\xi)(\xi \in(x_0,x)).\)
\(\displaystyle \lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A.\)
- 只要极限是分数或比值的样子, 且是不定型! \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\)
- 如果\(\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=k,\) 则 \[\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]
- 因为涉及到求导, 当然导数越好求效果越好, 所以随时随地进行等价无穷小代换(乘积因子)!
- 注意积分上限函数的求导公式.
使用前要验证条件(比值+不定型). 不满足使用的条件就创造条件:
- 不是比值. 化成能用的–就是化为比值形式的不定型.
- 数列的极限, 不能求导. 先按函数求极限, 再用海涅定理化成数列的结论.
- 用了洛必达法则还没求出来说明洛必达法则不是万能的, 这就需要其它的方法显身手了.
例 计算\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to \pi}\dfrac{1+\cos x}{\tan^2 x}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\tan x}{x^3}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{x}}{1-e^{\sqrt{x}}} .\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}.\)
\[\begin{align*} &=\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}[-\dfrac{1}{x^2}\ln(1+x)+\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{1+x}]\\ &=\lim_{x\to 0}(-e)[\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{1}{x^2}\ln(1+x)]\\ &=-e\lim_{x\to 0}\dfrac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}\\ &=-e\lim_{x\to 0}\dfrac{x-(x+\frac{x^2}{2}+o(x^2))}{x^2}\\ &=\dfrac{e}{2}. \end{align*} \]
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\frac{\pi}{2}-\arctan x}{\frac{1}{x}}.\)
5.2 其他不定式
\[0\cdot \infty,\ 1^\infty ,\ 0^0 , \infty^0 ,\ \infty-\infty.\]
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^\alpha \ln x(\alpha \gt 0).\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^x.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{\ln x}}.\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\sec x-\tan x).\)
例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}).\)
令\(t=\frac{1}{x}\),原式 \[ \begin{align*} &=\lim_{t\to 0^+}\dfrac{\sqrt{\frac{1+2t}{t}}-2\sqrt{1+t}+\sqrt{\frac{1}{t}}}{t^{\frac{3}{2}}}\\ &=\lim_{t \to 0^+}\dfrac{\sqrt{1+2t}-2\sqrt{1+t}+1}{t^2}\\ &=\lim_{t \to 0^+}\dfrac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2\sqrt{1+2t}}-2\times\frac{1}{2}\times{\frac{1}{\sqrt{1+t}}\times 1}}{2t}\\ &=\lim_{t \to 0^+}\dfrac{-\sqrt{1+t}-\sqrt{1+2t}}{2t\sqrt{1+t}\sqrt{1+2t}}\\ &=\lim_{t \to 0^+}\dfrac{-t}{(\sqrt{1+t}+\sqrt{1+2t})\cdot 2t}\\ &=-\dfrac{1}{4}. \end{align*} \]