导数的应用

• 符号决定一切
  • 导(函)数的符号决定单调性;
  • 二阶导(函)数的符号决定凹凸性;
  • 一点处二阶导数的符号决定是极大极小.
• 变号决定一切
  • 导数左右变号的点是极值点;
  • 二阶导数左右变号的点是拐点.

1 函数的单调性

• 用导数的符号判断单调性.

注记单调性判别法

定理 设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，在 \(I\) 内可导，则:
\(\quad\) 1. 若在 \(I\) 内 \(f'(x) > 0\)，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上单调增加；
\(\quad\) 2. 若在 \(I\) 内 \(f'(x) < 0\)，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上单调减少.

直观理解
\(\quad\) 导数 \(f'(x)\) 表示函数在 \(x\) 点的变化率. 导数为正，函数上升；导数为负，函数下降.

提示证明

对 \(I\) 上任取两点 \(x_1 < x_2\)，由拉格朗日中值定理: \[f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1), \quad \xi \in (x_1,x_2).\]

若 \(f'(\xi)>0\)，则 \(f(x_2)>f(x_1)\)，故单调增加. 反之亦然.

注记求单调区间的步骤

1. 确定函数的定义域；
2. 求 \(f'(x)\)，并求出 \(f'(x)=0\) 的驻点及 \(f'(x)\)不存在的点；
3. 用这些点划分定义域，列表判断各区间内 \(f'(x)\) 的符号.
4. 确定单调区间.

例 讨论函数 \(f(x)=x^3-3x\) 的单调性.

注记解答

1. 定义域为 \((-\infty,+\infty),\)
2. \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1),\)
3. 令 \(f'(x)=0\)，得驻点 \(x=-1\)，\(x=1.\)

列表如下

区间	\((-\infty,-1)\)	\((-1,1)\)	\((1,+\infty)\)
\(f'(x)\) 符号	\(+\)	\(-\)	\(+\)
单调性	增	减	增

所以 \(f(x)\) 在 \((-\infty,-1]\) 和 \([1,+\infty)\) 上单调增加，在 \([-1,1]\) 上单调减少.

例 讨论函数 \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}\) 的单调性.

注记解答

1. 定义域为 \((-\infty,+\infty)\)
2. \(f'(x)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)，在 \(x=0\) 处不可导
3. 当 \(x<0\) 时，\(f'(x)<0\)；当 \(x>0\) 时，\(f'(x)>0\)

所以 \(f(x)\) 在 \((-\infty,0]\) 上单调减少，在 \([0,+\infty)\) 上单调增加.

⚠️ 导数不存在的点也可能是单调区间的分界点！

例(方程根的个数) 在 \([0,\pi]\) 上讨论 \(\sin x = x\) 的根的个数.

注记解答

令 \(f(x)=\sin x - x\)，\(f'(x)=\cos x -1 \le 0\)，单调减少，\(f(0)=0\)，故仅有 \(x=0\) 一个根.

2 函数的极值与最值

2.1 极值

• 函数的极值点必为驻点或不可导点.
• 极大还是极小可以用二阶导数的符号判断.

注记极值的定义

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内有定义:

• 若在该邻域内恒有 \(f(x) \le f(x_0)\)，则称 \(f(x_0)\) 为极大值；
• 若在该邻域内恒有 \(f(x) \ge f(x_0)\)，则称 \(f(x_0)\)为极小值.

极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.

注记极值第一充分条件

定理 设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，在 \(x_0\) 的某去心邻域内可导:
1. 若 \(x<x_0\) 时 \(f'(x)>0\)，\(x>x_0\) 时 \(f'(x)<0\)，则 \(f(x_0)\) 为极大值；
2. 若 \(x<x_0\) 时 \(f'(x)<0\)，\(x>x_0\) 时 \(f'(x)>0\)，则 \(f(x_0)\) 为极小值；
3. 若 \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 两侧不变号，则 \(x_0\) 不是极值点.

注记极值第二充分条件

设 \(f'(x_0)=0\)，且 \(f''(x_0)\neq 0\)，则:
1. 若 \(f''(x_0)<0\)，则 \(f(x_0)\) 为极大值；
2. 若 \(f''(x_0)>0\)，则 \(f(x_0)\) 为极小值.

注记注意

• 极值是局部性概念，极大值不一定大于极小值；
• 第二充分条件失效时（\(f''(x_0)=0\)），须用第一充分条件判断；
• 函数的极值必在驻点或不可导点处取得.
• 极大还是极小用例子\(y=x^2\)或泰勒公式帮助记忆 \[ f(x)-f(x_0)= \frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2. \]

提示求极值的步骤

• 找出可能的点(驻点, 导数不存在的点), 判断是不是.
• 实际问题如果函数只有一个驻点, 一般是极值点.

例 求函数 \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-3\) 的极值.

提示解答

1. \(f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2).\)
2. 令 \(f'(x)=0\)，得驻点 \(x=1\)，\(x=2.\)
3. 列表判断:

区间	\((-\infty,1)\)	\((1,2)\)	\((2,+\infty)\)
\(f'(x)\) 符号	\(+\)	\(-\)	\(+\)
单调性	增	减	增
结论		极大值	极小值

\(f(1)=2-9+12-3=2\)（极大值），\(f(2)=16-36+24-3=1.\)（极小值）.

例 求函数 \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\) 的极值.

提示解答

1. \(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1).\)
2. 驻点 \(x=-1\)，\(x=3.\)
3. \(f''(x)=6x-6\).
   • \(f''(-1)=-12<0\)，故 \(x=-1\) 处取极大值 \(f(-1)=10.\)
   • \(f''(3)=12>0\)，故 \(x=3\) 处取极小值 \(f(3)=-22.\)

本题使用第二充分条件，更加简便.

2.2 最值

提示可能取最值的点

在闭区间 \([a,b]\) 上连续的函数必有最大值和最小值。最值点可能在：

• 端点 \(a, b\)；
• 区间内的驻点；
• 区间内的不可导点.

提示求最值的步骤

1. 求出所有可能最值点（端点、驻点、不可导点）；
2. 计算这些点的函数值；
3. 比较大小，最大者为最大值，最小者为最小值.

例 求 \(f(x) = x^3 - 3x\) 在 \([-2,3]\) 上的最值.

提示解答

端点值 \(f(-2)=-2\)，\(f(3)=18\)；驻点 \(x=\pm1\)，\(f(-1)=2\)，\(f(1)=-2\)。
比较得最大值 \(18\)（\(x=3\)），最小值 \(-2\)（\(x=-2\) 或 \(x=1\)）.

若函数在区间内只有唯一极值点, 则该极值点必为最值点.

例 由直线 \(y=0\)，\(x=8\) 及抛物线 \(y=x^2\) 围成曲边三角形, 在曲线上求一点 \(P\), 使过 \(P\) 的切线与两直线所围三角形面积最大.

提示思路

设 \(P(t, t^2)\)，写出切线方程，求与 \(y=0\) 和 \(x=8\) 的交点，得面积函数，求最值.

3 曲线的凹凸性与拐点

二阶导数的符号决定凹凸性.

提示凹凸性的定义

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续:

• 若对 \(I\) 上任意两点 \(x_1,x_2\)，恒有 \[f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\] 则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是凹的（下凸）；
• 若恒有 \[f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\] 则称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是凸的（上凸）.

几何意义 凹弧的割线位于弧段上方，凸弧的割线位于弧段下方.

注记凹凸性判别法

定理 设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内具有二阶导数，则:

1. 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)>0\)，则曲线在 \([a,b]\) 上是凹的；
2. 若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)<0\)，则曲线在 \([a,b]\) 上是凸的.

提示证明思路（基于拉格朗日中值定理）

设 \(x_1<x_2\)，记 \(c=\dfrac{x_1+x_2}{2}\)，\(h=\dfrac{x_2-x_1}{2}\). 由拉格朗日中值定理: \[f(c)-f(x_1)=f'(\xi_1)h,\quad f(x_2)-f(c)=f'(\xi_2)h.\] 其中 \(x_1<\xi_1<c<\xi_2<x_2\). 若 \(f''>0\)，则 \(f'\) 单调增加，故 \(f'(\xi_1)<f'(\xi_2)\)，从而推出 \(f(c)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\).

注记拐点的定义与判定

定义 连续曲线上凹凸弧的分界点称为拐点.

判定 若 \(f''(x_0)=0\) 或不存在，且 \(f''(x)\) 在 \(x_0\) 两侧异号，则 \((x_0,f(x_0))\) 是拐点.

例 判断曲线 \(y=x^3\) 的凹凸性与拐点.

注记解答

1. \(y'=3x^2\)，\(y''=6x.\)
2. 令 \(y''=0\)，得 \(x=0.\)

区间	\((-\infty,0)\)	\((0,+\infty)\)
\(y''\) 符号	\(-\)	\(+\)
凹凸性	凸	凹

所以曲线在 \((-\infty,0]\) 上为凸，在 \([0,+\infty)\) 上为凹，\((0,0)\) 为拐点.

例 讨论函数 \(f(x)=x^4-6x^2+8x+1\) 的凹凸性与拐点.

注记解答

1. \(f'(x)=4x^3-12x+8\)，\(f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1).\)
2. 令 \(f''(x)=0\)，得 \(x=-1\)，\(x=1.\)

区间	\((-\infty,-1)\)	\((-1,1)\)	\((1,+\infty)\)
\(f''\) 符号	\(+\)	\(-\)	\(+\)
凹凸性	凹	凸	凹

拐点为 \((-1,f(-1))=(-1,-4)\) 和 \((1,f(1))=(1,4)\).

4 渐近线

注记什么时候一条直线是渐近线?

\(y=kx+b\)是\(y=f(x)\)的斜渐近线, 就是当\(x\rightarrow \infty\)时, 两条曲线上的点靠得越来越近, 即 \[ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)-(kx+b)=0. \]

• 渐近线有3类: 水平, 铅直, 斜.

4.1 三种渐近线

注记水平渐近线

若 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b\) 或 \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b\)，则 \(y=b\) 为水平渐近线.

注记铅直（垂直）渐近线

若 \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty\) 或 \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty\)，则 \(x=x_0\) 为铅直渐近线.

注记斜渐近线

若 \(\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) 或 \(\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\)，其中 \[a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax].\] 则 \(y=ax+b\) 为斜渐近线.

注记记忆要点

• 水平渐近线是斜渐近线 \(a=0\) 的特殊情形；
• 一条曲线水平渐近线最多有 2 条（\(x\to+\infty\) 和 \(x\to-\infty\) 各一条）；
• 铅直渐近线对应于函数的无穷间断点.

例 求曲线 \(y=\dfrac{2x}{x-1}\) 的渐近线.

注记解答

1. 铅直渐近线 \(x=1\) 处无定义，且 \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2x}{x-1}=\infty\)，故 \(x=1\) 为铅直渐近线.
2. 水平渐近线 \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x}{x-1}=2\)，故 \(y=2\) 为水平渐近线.
3. 斜渐近线 已存在水平渐近线，故无斜渐近线.

例 求曲线 \(y=\dfrac{x^2}{x-1}\) 的渐近线.

注记解答

1. 铅直渐近线:\(x=1\) 处无定义，\(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2}{x-1}=\infty\)，故 \(x=1\) 为铅直渐近线.
2. 水平渐近线:\(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{x-1}=\infty\)，不存在水平渐近线.
3. 斜渐近线: \[a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}=1.\] \[b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-x]=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x-1}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}=1.\] 故 \(y=x+1\) 为斜渐近线.

5 不等式

证明不等式常见方法:

1. 利用函数单调性.
2. 利用函数的最值.
3. 利用拉格朗日中值定理.
4. 利用曲线的凹凸性.

例 证明:当 \(x>0\) 时，\(\ln(1+x)<x\).

注记解答

令 \(F(x)=x-\ln(1+x)\)，则 \(F(0)=0\). \[F'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0 \quad (x>0).\]

所以 \(F(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调增加，故 \(F(x)>F(0)=0\).

因此 \(x-\ln(1+x)>0\)，即 \(\ln(1+x)<x\).

例 证明:\(e^x \ge x+1, x\in\mathbb{R}.\)

注记证明

令 \(F(x)=e^x-x-1\)，则 \(F(0)=0\).

\(F'(x)=e^x-1.\)

• 当 \(x<0\) 时，\(F'(x)<0\)，\(F\) 单调减少；
• 当 \(x>0\) 时，\(F'(x)>0\)，\(F\) 单调增加.

所以 \(F(x)\) 在 \(x=0\) 处取得最小值 \(F(0)=0\)，故 \(F(x)\ge 0\).

因此 \(e^x\ge x+1\).

例 利用凹凸性证明:\(\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}, a,b>0, a\neq b\).

注记证明

考虑 \(f(x)=-\ln x\)，则 \(f'(x)=-\dfrac{1}{x}\)，\(f''(x)=\dfrac{1}{x^2}>0\)，故 \(f(x)\) 为凹函数.

由凹函数性质（琴生不等式）: \[f\left(\frac{a+b}{2}\right) < \frac{f(a)+f(b)}{2}.\]

即 \[-\ln\frac{a+b}{2} < \frac{-\ln a-\ln b}{2}=-\ln\sqrt{ab}.\]

所以 \(\ln\dfrac{a+b}{2} > \ln\sqrt{ab}\)，即 \(\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\).

6 曲率

弧长\(s\)的微分为\(ds = \sqrt{1+(y')^2}\,dx.\)

注记曲率公式

曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((x,y)\) 处的曲率为: \[K = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}.\]

几何意义 曲率 \(K\) 表示曲线在某一点处弯曲程度的大小. \(K\) 越大，弯曲越厉害.

注记曲率半径与曲率圆

• \(\rho = \frac{1}{K} = \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}\)称为曲率半径.
• 以曲率半径 \(\rho\) 为半径、在曲线凹侧所作的圆称为曲率圆(密切圆), 其圆心称为曲率中心.

特殊情形

• 直线 \(K=0\)，\(\rho=\infty\)(不弯曲)
• 半径为 \(R\) 的圆 \(K=\dfrac{1}{R}\)，\(\rho=R\)(各点曲率相同).

例 求抛物线 \(y=x^2\) 在点 \((1,1)\) 处的曲率.

注记解

1. \(y'=2x\)，\(y''=2.\)
2. 在 \((1,1)\) 处:\(y'=2\)，\(y''=2.\)

\[K=\frac{|2|}{(1+2^2)^{3/2}}=\frac{2}{5^{3/2}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}.\]

\[\rho=\frac{1}{K}=\frac{5\sqrt{5}}{2}.\]

例 求椭圆 \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\) 在 \(t=0\) 处的曲率.

注记解

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t.\]

\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx} = \frac{b}{a}\csc^2 t \cdot \left(-\frac{1}{a\sin t}\right) = -\frac{b}{a^2}\csc^3 t.\]

在 \(t=0\) 处 \(\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t=0}\) 不存在（切线竖直），需用参数方程曲率公式:

\[K=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.\]

其中 \(x'=-a\sin t\)，\(x''=-a\cos t\)，\(y'=b\cos t\)，\(y''=-b\sin t\).

在 \(t=0\) 处:\(x'=0\)，\(x''=-a\)，\(y'=b\)，\(y''=0.\)

\[K=\frac{|0\cdot 0-(-a)\cdot b|}{(0+b^2)^{3/2}}=\frac{ab}{b^3}=\frac{a}{b^2}.\]

\[\rho=\frac{b^2}{a}.\]

特别地，当 \(a=b=R\)（圆）时，\(K=\dfrac{1}{R}\)，\(\rho=R\).

7 函数性态分析

例 对函数 \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\) 进行全面性态分析.

注记定义域

\(D=(-\infty,1)\cup(1,+\infty).\)

注记单调性与极值

\[f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.\]

令 \(f'(x)=0\)，得 \(x=0\)，\(x=2\).

区间	\((-\infty,0)\)	\((0,1)\)	\((1,2)\)	\((2,+\infty)\)
\(f'(x)\) 符号	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
单调性	增	减	减	增

所以 \(x=0\) 处取极大值 \(f(0)=0\)；\(x=2\) 处取极小值 \(f(2)=4\).

注记凹凸性与拐点

\[f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}.\]

• \(x<1\) 时，\(f''(x)<0\)，曲线为凸；
• \(x>1\) 时，\(f''(x)>0\)，曲线为凹.

\(x=1\) 处无定义，故无拐点.

注记渐近线

• 铅直渐近线 \(x=1\).
• 水平渐近线 \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{x-1}=\infty\)，无水平渐近线.
• 斜渐近线 \(y=x+1\).

注记函数图形特征

• 在 \((-\infty,0]\) 递增，\([0,1)\) 递减，\((1,2]\) 递减，\([2,+\infty)\) 递增.
• 凸区间: \((-\infty,1)\)；凹区间: \((1,+\infty)\).
• 极大值 \(0\)（在 \(x=0\)），极小值 \(4\)（在 \(x=2\)）.
• 渐近线 \(x=1\)（铅直），\(y=x+1\)（斜）.