定积分的概念与性质

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[\int_a^b f(x)dx\]

  • 定积分是一个数, 表示面积.
  • 具有积分区域可加性及线性性质.

1 背景与动机:求面积

例 求抛物线 \(y = x^2, x\) 轴以及直线 \(x = 1\) 所围成的曲边三角形面积\(S\)？

  • 分割 把\([0,1]\)进行\(n\)等分, 每块是一个曲边梯形.
  • 近似 曲边梯形近似为矩形, 第\(i\)个矩形的面积为\(\frac{i^2}{n^2}\cdot\frac{1}{n}.\)
  • 求和 所有矩形加起来 \[ S\approx \sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\cdot\frac{i^2}{n^2}. \]
  • 取极限 \[ S=\lim_{n\to\infty } \sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\cdot\frac{i^2}{n^2}=\frac{1}{3}. \]

2 定积分的定义

\[\int_a^b f(x)dx\]

设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界，

  • 分割 在 \([a, b]\) 中任意插入分点 \[a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b,\] 将 \([a, b]\) 分成 \(n\) 个小区间 \([x_{i-1}, x_i]\)，记 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\).
  • 近似 任取 \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\), 做乘积\(f(\xi_i) \Delta x_i.\)
  • 求和 作和式\[S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i.\]
  • 取极限 记 \(\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots, \Delta x_n\}\)。若当 \(\lambda \to 0\) 时，\(S\) 的极限总存在且与分割方式及 \(\xi_i\) 的取法无关，则称 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，并称此极限为 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的定积分，记作 \[\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i.\]

其中 \(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x)\,dx\) 称为被积表达式，\(x\) 称为积分变量，\([a, b]\) 称为积分区间，\(a\) 称为积分下限，\(b\) 称为积分上限。

\[ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i. \]

  • 是一个数; 这个数表示面积;

  • 是一个极限; 是一个和式的极限.

  • 是无限多个小东西(长条面积)加起来.

关于积分上下限, 规定: \[\int_a^a f(x)\,dx = 0, \qquad \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx.\]

  • 若 \(f(x) \ge 0\)，则 \(\int_a^b f(x) dx\) 表示曲边梯形的面积；
  • 若 \(f(x) \le 0\)，则积分值为面积的负值；
  • 若 \(f(x)\) 有正有负，则积分值为各部分面积的代数和。

例 计算\(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx.\)

解：被积函数 \(y = \sqrt{1-x^2}\) 表示上半圆 \(x^2 + y^2 = 1\)（\(y \geq 0\)）。积分区间 \([0,1]\) 对应第一象限的四分之一圆。

\[\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4}\]

例 计算\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\,dx.\)

解：\(y = \sin x\) 在 \([-\pi, 0]\) 上为负，在 \([0, \pi]\) 上为正，且两部分图形关于原点对称、面积相等。

\[\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\,dx = A_{\text{上}} - A_{\text{下}} = 0.\]

3 定积分的性质

设 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上满足以下条件之一，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积：

  1. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续；
  2. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界且只有有限个第一类间断点；
  3. \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调有界。

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx. \end{aligned}\]

若 \(f(x), g(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积，\(k, l\) 为常数，则 \[\begin{aligned} \int_a^b [kf(x)+lg(x)]dx&=k\int_a^b f(x)dx+l\int_a^b g(x)dx. \end{aligned}\]

  • 可以把一个复杂积分拆成两个简单积分计算.

若在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \geq 0\)，则 \[\int_a^b f(x)\,dx \geq 0 \quad (a < b).\]

若在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \leq g(x)\)，则

\[\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx \quad (a < b).\]

设 \(M = \max_{x\in[a,b]} f(x)\)，\(m = \min_{x\in[a,b]} f(x)\)，则

\[m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a).\]

定理 如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续, 则存在\(\xi \in[a,b]\) 使得 \[\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx&=f(\xi)(b-a). \end{aligned}\]

  • 可以估计定积分的大小.

  • 通过估计去掉积分号, 简化问题.

4 用定积分求极限 (步骤固定)

  • 数列以求和的形式给出, 且较为复杂, 其它方法做不出来, 就要想到化为定积分.

关键是按步骤写出定积分的表达式.

  1. 写出求和的通项.

  2. 确定积分变量.

  3. 确定被积表达式.

  4. 确定积分上下限.

  5. 确定是否有系数.

  • 注意有时需要先用夹逼放缩, 去掉一些无关的高阶无穷小, 才能写出定积分.

例 求极限 \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+a}+\frac{1}{n+2a}+\cdots+\frac{1}{n+na} \right).\] 写成定积分有两种可能性.

  1. 写出求和的通项. \[\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a{\frac{i}{n}}}.\]

  2. 确定积分变量(含有\(\frac{i}{n}\)的).

\[x_i=\frac{i}{n}.\]

  1. 确定被积函数(把积分变量换成\(x\)). \[\frac{1}{1+ax}\]

  2. 确定积分上下限. 代入\(i=0, n\)得\[a=x_0=0=上限,x_n=1=下限.\]

  3. 确定是否有系数. \[dx=\frac{上限-下限}{n}=\frac{1}{n}.\] 系数为1.

所以得极限等于\(\int_0^1 \frac{1}{1+ax} dx.\)

  1. 写出求和的通项. \[\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a\frac{i}{n}}.\]

  2. 确定积分变量.

\[x_i=a\frac{i}{n}.\]

  1. 确定被积函数. \[\frac{1}{1+x}\]

  2. 确定积分上下限. 代入\(i=0, n\)得\[下限=x_0= 0, 上限=x_n=a.\]

  3. 确定是否有系数. \[dx=\frac{a-0}{n}=\frac{a}{n}.\] 系数为\(\frac{1}{a}\).

  • 所以得极限等于 \[\frac{1}{a}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a\frac{i}{n}}=\frac{1}{a}\int_0^1 \frac{a}{1+ax} dx.\]

5 例题

设函数 \(f(x)\) 在\([a, b]\) 连续且满足 \(f(x) > 0\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx > 0\).

  • 连续+大于零, 则说明存在一点的小邻域, 使得此处的函数值都差不多.

  • 推论: 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(x) \ge 0\) 且不恒为0，则 \(\int_{a}^{b}f(x)dx > 0.\)

  • 任取一点 \(x_0 \in (a, b)\)，根据局部保号性，存在闭区间 \([x_0 - \delta, x_0 + \delta] \subset [a, b]\) 且对任意 \(x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)，都有： \[f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2} = k > 0.\]

  • \[\begin{aligned} &\int_{a}^{b}f(x)dx \\ =& \int_{a}^{x_0 - \delta}f(x)dx + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}f(x)dx + \int_{x_0 + \delta}^{b}f(x)dx\\ \geq & \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}f(x)dx \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}\frac{f(x_0)}{2}dx \\ \geq & f(x_0)\delta. \end{aligned}\]