函数的极限

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A\ 或\ f(x) \to A \ (x \to x_0)\]

• 函数极限的定义.
• 左极限与右极限.
• 和数列极限本质相同, “要多小有多小” , 关键是说清楚”小”的含义.

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1 函数极限的定义

• 和数列极限本质相同, “要多小有多小” , 关键是说清楚”小”的含义.

练一练 仿照数列的极限, 描述一下 \[ \lim_{ x\rightarrow 2}3x=6. \]

注记语言描述“要多小有多小”

• 当自变量\(x\)不断趋向\(2\)时, \(3x\)的函数值越来越趋向\(6\).
• 当自变量\(x\)越来越靠近\(2\)时, \(3x\)越来越靠近\(6\).
• 当自变量\(|x-2|\)越来越小时, \(|3x-6|\)越来越小.

注记数学语言描述“要多小有多小”

• 要多小
• 满足条件时, 即\(x\)非常趋近\(2\)时
• 有多小

• \(\forall \varepsilon > 0.\)
• \(|x-2|\)很小时.
• 满足\(|3x-6|<\varepsilon.\)

提示具体推导

• 要想满足\(|3x-6|<\varepsilon\), 只要\(|x-2|<\frac{\varepsilon}{3}.\)
• 当\(|x-2|<\frac{\varepsilon}{3}\)时, 就有\(|3x-6|<\varepsilon\).
• 为区别条件中的小距离, 一般用\(\delta\)表示.

1.1 函数极限的定义

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A\ 或 \ f(x) \to A \ (x \to x_0).\]

提示定义

定义 设\(f(x)\)在点\(x_0\)的某去心邻域内有定义.  如果对任意给定的\(\varepsilon > 0,\)  总存在\(\delta>0,\) 使得当\(0 < |x - x_0| < \delta\) 时， 有 \(|f(x) - A| < \varepsilon\). 则称常数\(A\) 为当 \(x \to x_0\) 时的极限，记作 \[\lim_{x \to x_0} f(x) = A\ 或 \ f(x) \to A \ (x \to x_0).\]

注记简记为: 要多小有多小

• 要多小
• 满足条件: \(x\)非常趋近\(x_0\)时,
• 有多小

• \(\forall \varepsilon > 0,\)
• 存在\(\delta > 0\), 当\(0<|x-x_0|<\delta\)时,
• 有\(|f(x) - A| < \varepsilon.\)

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• 简记为: \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - A| < \varepsilon.\)

提示说明

• 定义中的\(\varepsilon\)是任意的, 表示误差, 刻画\(f(x)\)与\(A\)的接近程度.
• \(|x - x_0| < \delta\)表示\(x\)与\(x_0\)的接近程度, \(\delta\)不唯一.
• \(0 < |x - x_0|\)表示\(x\neq x_0\). 说明\(f(x)\)有无极限与\(f(x)\)在\(x_0\)处没关系.

2 几何解释

提示说明

• \(\forall \varepsilon > 0.\)
• 作直线 \(y = A - \varepsilon\)，\(y = A + \varepsilon.\)
• 对应 \(\delta\) 邻域 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\)，函数图像夹在两直线之间.

例 证明 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1.\)

提示证明

• 证明：对 \(\forall \varepsilon > 0\)，要使 \[|(2x - 1) - 1| = 2|x - 1| < \varepsilon,\]
• 只需\(|x - 1| < \frac{\varepsilon}{2},\)
• 取 \(\delta = \frac{\varepsilon}{2},\)
• 当 \(0 < |x - 1| < \delta\) 时， \[|(2x - 1) - 1| < \varepsilon,\] 所以\(\displaystyle\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 1.\)

• 要多小有多小.
• 从\(|(2x - 1) - 1| < \varepsilon\)中解出\(|x-1|\)满足的条件.
• 注意语言: 要使, 只需, 取, 当

例 证明 \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} x = x_0.\)

提示证明

• 证明：对 \(\forall \varepsilon > 0\)，要使 \[|x - x_0| < \varepsilon,\]
• 取 \(\delta = {\varepsilon},\)
• 当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \[|x - x_0| < \varepsilon,\] 所以\(\displaystyle\lim_{x \to x_0} x = x_0.\)

• 要多小有多小.
• 从\(|x - x_0| < \varepsilon\)中解出\(|x - x_0|\)满足的条件.
• 注意条件和最后的不等式一样.

例 证明 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} x^2 = 9.\)

提示证明

• 分析：对 \(\forall \varepsilon > 0\)，要从 \[|x^2- 9| = |x - 3||x+3| < \varepsilon,\] 中解出\(|x - 3|\)满足的条件.
• 解出\(|x - 3|<\frac{ \varepsilon}{|x+3|}.\)
• 分母\(|x+3|\)在变化, 怎么办?
• 注意极限是\(x\to 3\), 所以先要求\(x\)靠近3.
• 比如要求\(|x-3|<1\), 即\(-2<x<4,\)
• 因此 \(1<x+3<7.\)
• 用放缩法

• 答案 \(\forall \varepsilon > 0\)，
• 先令\(|x-3|<1\), 即\(-2<x<4,\) 因此 \(1<x+3<7.\)
• \[所以 |x^2- 9| = |x - 3||x+3| < 7|x - 3|.\]
• 要使\(|x^2- 9| < \varepsilon\) 只要\(7|x - 3|<\varepsilon,\) 即 \(|x - 3|<\frac{\varepsilon}{7}.\)
• 取 \(\delta = \min\{1, \frac{\varepsilon}{7}\}\),
• 当 \(0 < |x - 3| < \delta\) 时，\(|x^2- 9| < \varepsilon.\)
• 所以 \(\displaystyle\lim_{x \to 3} x^2 = 9.\)

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• 为什么取\(\delta=\min\{1, \frac{\varepsilon}{7}\}\)?

3 左极限与右极限

提示左右分别趋向\(x_0\)

• \(x\)从\(x_0\)的左边趋向\(x_0\).
• 即\(x\to x_0\)且\(x< x_0\).
• 记作\(x\to x_0^-.\)

• \(x\)从\(x_0\)的右边趋向\(x_0\).
• 即\(x\to x_0\)且\(x> x_0\).
• 记作\(x\to x_0^+.\)

提示定义

定义 \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(x_0 - \delta < x < x_0\) 时 \(|f(x) - A| < \varepsilon.\)
则\(A\)称为左极限 , 记作 \(\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A.\)

• 右极限如何定义?

提示极限存在的充要条件

定理(极限存在的充要条件) \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A \]

• 一般什么时候会用此定理?

提示左右极限不相等则极限不存在

命题 左右极限不相等则极限不存在.

练习 设 \(f(x) = \begin{cases} 1, & x \ge 0, \\ -1, & x < 0, \end{cases}\) 证明\(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\) 不存在.

提示证明

\(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1\)，\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\)，
左右极限存在但不相等，所以 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)\) 不存在.

3.1 \(x\)趋向无穷大时函数的极限

\[\lim_{x \to \infty} f(x) = A\ 或 \ f(x) \to A \ (x \to \infty).\]

注记要多小有多小

• 要多小
• 满足条件: \(x\)趋向无穷大时,
• 有多小

• \(\forall \varepsilon > 0\)
• 存在\(X > 0\), 当\(|x|>X\)时
• 有\(|f(x) - A| < \varepsilon.\)

注记定义

定义 设\(f(x)\)在\(|x|\)充分大时有定义. 如果对任意给定的\(\varepsilon > 0,\) 总存在\(X>0,\) 使得当\(|x|>X\)时，有 \(|f(x) - A| < \varepsilon\). 则称常数\(A\) 为当 \(x \to \infty\) 时的极限，记作 \[\lim_{x \to \infty} f(x) = A\ 或 \ f(x) \to A \ (x \to \infty).\]

单侧极限

• \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\) 存在\(X > 0\), 当\(x>X\)时, 有\(|f(x) - A| < \varepsilon.\)
• \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\) 存在\(X > 0\), 当\(x<-X\)时, 有\(|f(x) - A| < \varepsilon.\)

例 证明 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} =0.\)

注记证明

证明 对 \(\forall \varepsilon > 0\)，由于\(|\frac{\sin x}{x}|<\frac{1}{|x|}.\)

• 要使\(|\frac{\sin x}{x}|< \varepsilon,\) 只需\(\frac{1}{|x|}< \varepsilon.\)
• 即\(|x|>\frac{1}{ \varepsilon}.\)
• 因此取 \(X = \frac{1}{ \varepsilon},\)
• 当 \(|x | >X\) 时，有 \[|\frac{\sin x}{x}|< \varepsilon,\] 所以\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} =0.\)

例 证明 \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} }=0.\)

注记证明

对 \(\forall \varepsilon > 0\)，先设\(x>0\). 由于\(|\frac{1}{\sqrt{x+2}}|<\frac{1}{\sqrt{x}}.\)

• 要使\(|\frac{1}{\sqrt{x+2} }|< \varepsilon,\) 只要\(|\frac{1}{\sqrt{x} }|< \varepsilon,\)
• 即\(x>\frac{1}{ \varepsilon}.\)
• 因此取 \(X = \frac{1}{ \varepsilon},\) 当 \(x>X\) 时，有 \[|\frac{1}{\sqrt{x+2} }|< \varepsilon,\] 所以\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} }=0.\)

4 极限的性质

注记极限的唯一性

定理 若函数极限存在，则极限值唯一.

注记证明思路分析

• 证明唯一一般怎么办?
  • 反证法. 假设有两个不一样.
  • 假设有两个, 证明相等
• 假设有两个不一样, 画图看看会出现什么矛盾?
  • 既要非常靠近\(a\), 又要非常靠近\(b.\)

注记局部有界性

性质(局部有界性) 若 \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A\)，则存在 \(x_0\)的某去心邻域\(\mathring{U}(x_0, \delta)\)，使得 \(f(x)\) 在该邻域内有界.

注记局部保号性

性质(局部保号性) 若 \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0\) (或 \(< 0\))，则存在 \(x_0\) 的某去心邻域，使得在该邻域内 \(f(x) > 0\)(或 \(< 0\)).

• 推论 若在 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(f(x) \ge 0\)(或 \(\le 0\))且极限存在，则极限值 \(\ge 0\)(或 \(\le 0\)).

5 Heine 定理

注记Heine 定理

Heine 定理 函数极限与数列极限满足关系： \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \Longleftrightarrow \quad \text{对任意 } x_n \to x_0 \ (x_n \ne x_0), \ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = A. \]

例 证明 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}\) 不存在.

注记证明

取 \(x_n = \frac{1}{n\pi}\)，\(x_n \to 0\)，则 \(\sin \frac{1}{x_n} = \sin(n\pi) = 0 \to 0\)；

取 \(y_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}\)，则 \(\sin \frac{1}{y_n} = 1 \to 1\)，两数列极限不同，故原极限不存在.