导数与微分

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[ f'(x)=\frac{d y}{d x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]

  • 导数与微分都是研究函数的工具, 重点是理解为什么要引入这些工具? 如何使用工具? 如何计算导数和微分?
  • 导数与微分可以研究函数变化快慢等情况.

1 导数的概念

1.1 背景与动机: 曲线的切线

  • 什么叫割线?
  • 抛物线上两点的连线叫割线.(有两个交点)
  • 切线是一条特殊的割线–两个交点重合了.
  • 当割线的两个交点越来越靠近时, 割线越来越靠近切线.
  • 求割线, 然后让另一个交点靠近\((1,1).\)

🎯 用割线的极限定义切线

拖动滑块观察点 Q 趋近于 P 时，割线如何变成切线

例 求\(y=x^2\)在\(x=1\)处的切线.

  • 选\((1,1)\)附近的点\((1+\Delta x,1+\Delta y).\)
  • 计算斜率.
  • \[\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2+\Delta x. \end{aligned}\]
  • 让\(\Delta x\)越来越小, 得到切线斜率\(k=2\).
  • 写出切线方程.
  • 切线的特殊性 \[\begin{aligned} 斜率k\approx\frac{\Delta y}{\Delta x}=2+\Delta x. \end{aligned}\]
  • 切线的斜率约等于函数值的变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
  • 则\({\Delta y}\sim 3 {\Delta x}\). 局部看, 函数就是一个线性函数, 自变量增加多少, 函数值就增加自变量的3倍.
  • 图像有点像一条直线.
  • 函数是单调递增的.
  • 所以知道了变化率, 函数的大概性质就很清楚了.
  • 在一个点附近, 曲线可以用切线近似. 近似看成一条直线–以直代曲.

1.2 背景与动机: 瞬时速度

  • 什么叫平均速度?
  • 一段时间\({\Delta t}\)内, \(\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}.\)
  • 瞬时速度就是时间间隔越来越小时的极限.

例 求自由落体运动的物体\(s=\frac{1}{2}gt^2\)在\(t=t_0\)时刻的瞬时速度.

  • \(t=t_0\)时刻让时间增加\({\Delta t}\),
  • 计算平均速度.
  • \[\begin{aligned} \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\frac{1}{2}g(t_0+\Delta t)^2-\frac{1}{2}gt_0^2}{\Delta t}=gt_0+\frac{1}{2}g\Delta t. \end{aligned}\]
  • 让\(\Delta t\)越来越小, 得到瞬时速度\(v=gt_0\).
  • 瞬时速度描述了物体在\(t_0\)时刻运动的快慢.
  • 在\(t_0\)时刻附近, 物体可以近似看成匀速运动.

两个例子的关键词都是变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)的极限. 它是研究\(\Delta y\)的重要工具.

1.3 导数的定义

定义 设\(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，若\[\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\] 存在，则称 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导，记作 \(f'(x_0)\)，否则，称\(f(x)\) 在 \(x_0\) 不可导.

  • 也常记为 \(\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} |_{x=x_0}\) 或 \(\dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} |_{x=x_0}\)(导数/微商).
  • 若 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内每一点都可导，则称 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内可导，记为 \(y'\) 或 \(f'(x)\) 或 \(\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\) 或 \(\dfrac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\) \[ f'(x_0)=f'(x)|_{x=x0}, \\ f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
  • 极限也可换个方式描述 \[ \begin{align*} f'(x_0)&=\lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{align*} \]

定义 设\(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，

  • 若\(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)存在, 则称为\(f(x)\)的左导数, 记作\(\displaystyle f'_-(x_0).\)
  • 若\(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)存在, 则称为\(f(x)\)的右导数, 记作\(\displaystyle f'_+(x_0).\)

命题 \(f(x)\)在\(x\)可导的充要条件是\(f(x)\)的左右导数都存在且相等.

分段函数证明在一点是否可导时, 常用此命题计算左右导数来证明.

例：假设 \(f'(x_0)\) 存在，计算 \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h},\) \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0-h)+f(x_0+2h)}{h}.\)

写成导数的样子.

  1. \[ \begin{aligned}\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}=-\lim_{h\to 0}\dfrac{f[x_0+(-h)]-f(x_0)}{-h}=-f'(x_0). \end{aligned}\]
  2. \[\begin{aligned}\displaystyle &\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0-h)+f(x_0+2h)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\left[\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}-2\dfrac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}\right]\\ =&-f'(x_0)-2f'(x_0)=-3f'(x_0).\end{aligned}\]

例 已知\(\displaystyle f(0)=0,\quad f'(0)=k,\) 证明 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=k.\)

1.4 导数的几何意义

函数 \(f(x)\) 在点 \(x=a\) 处的导数 \(f'(a)\)，就是曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(P(a, f(a))\) 处切线的斜率.

如下图, 导数表示切线的斜率

  • \(y=f(x), \quad f'(x_0)=k,\) 则

  • 切线方程 \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).\)

  • 法线方程 \(y-f(x_0)=-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).\)

1.5 导数的重要性

\[\Delta y= f'(x){\Delta x}+ o(\Delta x).\]

定义\(\ \,\) 如果\(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导，则\[f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}.\] 由极限和无穷小的关系得, \[\Delta y= f'(x){\Delta x}+ o(\Delta x).\] 上式称为\(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的有限增量公式.

  • 由此可见, \(\Delta y\)用\(f'(x)\Delta x\)做近似, 误差是一个可以忽略的高阶无穷小.
  • \(f'(x)\)可以描述函数的变化量, 所以重要.

导数部分最主要的问题就是求导数, 用导数.

1.6 可导与连续的关系

定理\(\ \,\) 可导 \(\Rightarrow\) 连续，连续 \(\not \Rightarrow\) 可导

证\(\ \,\) 在 \(x=x_0\) 可导 \(\Rightarrow\) 在\(x=x_0\)连续.

\(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y\) \(=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\cdot \Delta x\) \(=(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x})(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x)=f'(x_0)\cdot 0=0.\)

所以连续.

1.7 用定义计算导数

证\(\ \,\) \(\displaystyle y'=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{C-C}{h}=0.\)

证\(\ \,\) \(\displaystyle y'=\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^\alpha -x^\alpha}{h}=\lim_{h\to 0}x^\alpha \dfrac{[(1+\frac{h}{x})^\alpha -1]}{h}=\alpha x^{\alpha -1}.\)

证\(\ \,\) \(\displaystyle y'=\lim_{h\to 0}\dfrac{\alpha^{x+h}-\alpha^x}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{\alpha^x(\alpha^h-1)}{h}=\alpha^x\ln \alpha.\)

特别地，\((e^x)'=e^x.\)

证\(\ \,\) \(\displaystyle y'=\lim_{h\to 0}\dfrac{\log_a{(x-h)}-\log_a{x}}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{\log_a(1+\frac{h}{x})}{x\cdot \frac{h}{x}}=\dfrac{1}{x\ln a}.\)

特别地，\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}.\)

证\(\ \,\) \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos h}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{-2\sin \frac{x+h+x}{2}\sin \frac{h}{2}}{h}=-\sin x.\)

同理可得 \((\sin x)'=\cos x.\)

这些公式是计算其它函数的导数的基础, 要牢记.

例 求 \(y=x^3\) 与 \(y=\dfrac{1}{3}x+1\) 平行的切线方程.

解：\(y'=3x^2\)，设切点坐标 \((x_0,y_0).\)

则有\(3x_0^2=\frac{1}{3}\)，\(x_0=\pm \frac{1}{3}.\)

切点 \((\frac{1}{3},\frac{1}{27})\) 或 \((-\frac{1}{3},-\frac{1}{27})\)，

相对应的切线方程为 \(y-\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3})\) 或 \(y+\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}).\)

例 证明 \(y=|x|\) 在\(x=0\)连续，但不可导.

\(y=x\) 在\(x=0\)连续 \(\Rightarrow y=|x|\) 在 \(x=0\)连续.

\[\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta x}{\Delta x}=1.\]

\[\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{-\Delta x}{\Delta x}=-1.\]

\(\therefore \, f'_-(0)\ne f'_+(0)\)，\(f'(0)\) 不存在.

2 求导法则

  • 如果不能方便求出导数, 导数的应用就无从谈起.
  • 用定义只能求几个简单函数的导数.
  • 用求导数的运算法则可以快速, 简洁地求出复杂函数的导数.
  • 求导法则很少很少. 要善用法则.

2.1 基本求导法则

命题 如果\(u,v\)都可导, 则

  • 加法\[\begin{align} (u\pm v)'=u'\pm v', \end{align}\]
  • 乘法\[\begin{align} (uv)'=u'v+uv', \end{align}\]
  • 除法\[\begin{align} (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \end{align}\]
  • 用导数的定义和无穷小可以方便地证明.
  • 前两个公式可以推广到多个函数的和, 积.

例 (正切余切函数) \((\tan x)'=\sec^2 x\)，\((\cot x)'=-\csc^2 x.\)

例 (正割余割函数) \((\sec x)'=\sec x\tan x\)，\((\csc x)'=-\csc x\cot x.\)

2.2 反函数的求导法则

\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}.\]

定理 \(y=f(x)\) 在区间\((a,b)\) 内严格单调且可导, 则\(x=\phi(y)\) 在点\(y\) 可导，且 \(\phi'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}.\)

\[ \begin{align*} \phi'(y)&= \lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{\phi(y+\Delta y)-\phi(y)}{\Delta y}\\ &=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y}\\ &=\lim_{\Delta y\to 0}\dfrac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}\\ &=\dfrac{1}{f'(x)}. \end{align*} \]

例 证明 \((\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}.\)

设\(y=\arctan x\) 则\(x=\tan y.\) 
因为\(\frac{dx}{dy}=\sec^2 y\), 所以 \((\arctan x)'=\frac{1}{\sec^2 y}=\dfrac{1}{1+x^2}.\)

2.3 复合函数求导法则

\[ \{f[{\color{blue}{\phi(x)}}]\}' = f'({\color{blue}{u}}){\color{red}{\phi'(x)}},\ 或\ \dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d u}\dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d x} (链导法则). \]

定理 设\(y=f(u)\) 可导，\(u=\phi(x)\) 可导 则\(y=f[\phi(x)]\) 可导且 \[ \{f[\phi(x)]\}' = f'(u)\phi'(x) ,\\ 或\ \dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d u}\dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d x} (链导法则). \]

  • 推广：\(\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d u}\dfrac{\mathrm d u}{\mathrm d v}\dfrac{\mathrm d v}{\mathrm d x}.\)

  • 可简记为逐层求导.

例 \(y=\sin x^2\)，求 \(y'.\)

解：\(y=\sin u, u=x^2,\)

所以\(y'=f'(u)\phi'(x)=\cos u\cdot 2x=\cos x^2 \cdot 2x.\)

例 \(y=\tan ^3(\ln x)\)，求 \(y'.\)

为显示清晰, 用不同颜色显示不同层数.

\[ \begin{aligned} y'&=[\tan^3(\ln x)]'\\ &=[({\color{blue}{\tan(\ln x)}})^3]'\\ &=3\color{blue}{(\tan(\color{blue}{\ln x}))}^2\cdot \color{red}{(\tan(\color{red}{\ln x}))}'\\ &=3\color{blue}{(\tan(\color{blue}{\ln x}))}^2\cdot \color{red}{(\sec^2(\color{green}{\ln x}))}\cdot(\color{green}{\ln x})'\\ &=3\color{blue}{(\tan(\color{blue}{\ln x}))}^2\cdot \color{red}{(\sec^2(\color{green}{\ln x}))}\cdot(\color{green}{\frac{1}{x}}).\end{aligned} \]

例 求\(y=x^x\)的导数.

解: \[ \begin{aligned} (x^x)'&=(e^{x\ln x})'\\ &=e^{x\ln x}\cdot ({x\ln x})'\\ &=e^{x\ln x}\cdot ({\ln x}+1) .\end{aligned} \]

  • 涉及幂指函数的问题一般化为化为指数函数.
  • 如 \(y=u(x)^{v(x)}\)，\(u(x)\gt 0\)，\(u(x),v(x)\)可导，求 \(y'\)
  • 原函数可写为\(y=e^{v(x)\ln u(x)},\) \[y'=e^{v(x)\ln u(x)} \cdot (v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}).\]

2.4 常见函数的导数

常数

  • \((C)'=0\)，\(C\)为常数.

幂函数

  • \((x^a)'=ax^{a-1}.\)

指数与对数函数

  • \((a^x)'=a^x\ln a\)，\((e^x)'=e^x.\)
  • \((\log_a{x})'=\dfrac{1}{x\ln a}\)，\((\ln x)'=\dfrac{1}{x}.\)

三角函数

  • \((\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x.\)
  • \((\tan x)'=\sec ^2x,\quad (\cot x)'=-\csc ^2x.\)
  • \((\sec x)'=\sec x\tan x,\quad (\csc x)'=-\csc x\cot x.\)

反三角函数

  • \((\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\)
  • \((\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2},\quad (\text{arccot}x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}.\)

2.5 分段函数分段求导

例 设\(y=\ln |x|\)，求\(y'.\)

\[ y=\begin{cases} \ln x,& x\gt 0,\\ \ln(-x),&x\lt 0. \end{cases} \] 所以 \[ y'=\begin{cases} \dfrac{1}{x}, &x\gt 0,\\ -\dfrac{1}{x}\cdot -1=\dfrac{1}{x}, &x\lt 0. \end{cases} \]

\(\therefore y'=\dfrac{1}{x}(x\ne 0).\)

例 设 \[ f(x)=\begin{cases} |x|\arctan \dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0,&x = 0, \end{cases} \] 求导并讨论\(f'(x)\) 的连续性.

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}|x|\arctan \dfrac{1}{x}=0=f(0)\)，\(\therefore f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续.

  • \(x\gt 0\)时，\(f'(x)=\arctan \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{1+x^2}.\)
  • \(x\lt 0\)时，\(f'(x)=-\arctan \dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{1+x^2}.\)

\(\therefore x\ne 0\)时，\(f'(x)=\dfrac{x}{|x|}\arctan \dfrac{1}{x}-\dfrac{|x|}{1+x^2}=g(x)\)，\(f'(0)=\dfrac{\pi}{2}.\)

所以 \[ f'(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{|x|}\arctan \dfrac{1}{x}-\dfrac{|x|}{1+x^2}, &x\ne 0,\\ \dfrac{\pi}{2},&x=0. \end{cases} \]

又 \(\displaystyle \because \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0^-}f'(x)=\dfrac{\pi}{2}=f(0).\)

\(\therefore f'(x)\) 在 \(x=0\)上连续，\(f'(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续.

3 高阶导数

\[导数的导数,\quad y''=f''(x)=\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2},\quad f^{(n)}(x)=\dfrac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}.\]

  • \(f'(x)\) 可导，有 \(\displaystyle [f'(x)]'=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}\)，则称\(f(x)\)二阶可导，

记作 \(f''(x)\) 、\(y''\) 或 \(\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}.\) 称为二阶导数.

  • 类似地，有 \(f'''(x)=\dfrac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}\) 或 \(f^{(3)}(x)\)， \(f''''(x)=\dfrac{\mathrm d^4y}{\mathrm dx^4}\) 或 \(f^{(4)}(x)\) ……, \(f^{(n)}(x)=\dfrac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}.\)

  • 若 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内存在 \(n\) 阶导数，且 \(f^{(n)}(x)\) 在 \((a,b)\) 内连续，记作\(f(x)\in C^{(n)}(a,b).\)

3.1 计算高阶导数的方法

3.1.1 简单归纳法

例 计算多项式函数\(y=P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\)的各阶导数.

  • \(y'=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1+0.\)

  • \(y''=n(n-1)a_nx^{n-2}+\cdots+3\cdot 2a_3x+2a_2.\)

  • \(y^{(k)}=n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k}+\cdots+(k+1)!a_{k+1}x+k!a_k(0\le k\le n).\)

  • \(y^{(n)}=n!a_n.\)

  • \(y^{(k)}=0(k\gt n).\)

  • 注意 \(y^{(k)}(0)=k!a_k(0\le k\le n).\)

例 证明 \((\sin x)^{(n)}=\sin (x+n\cdot \dfrac{\pi}{2}),\) \((\cos x)^{(n)}=\cos (x+n\cdot \dfrac{\pi}{2}).\)

  • 用归纳法.

\[ \begin{aligned} (\sin x)'=\cos x,\quad (\sin x)''=-\sin x,\\ (\sin x)'''=-\cos x,\quad (\sin x)^{(4)}=\sin x.\\ \end{aligned} \]

  • 特别地, \((\sin ax)^{(n)}=a^n\sin(ax+n\cdot \dfrac{\pi}{2})\), \((\cos ax)^{(n)}=a^n\cos(ax+n\cdot \dfrac{\pi}{2}).\)

例 证明

  • \(y=x^\mu\)，\(y^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}\)，\((x\ne 0).\)
  • \(y=a^x\)，\(y^{(n)}=(\ln a)^na^x\)，特别地，\((e^x)^{(n)}=e^x.\)
  • \(y=\log_a{x}\)，\(y^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot (n-1)!}{\ln a\cdot x^n}\)，特别地，\((\ln x)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot (n-1)!}{x^n}.\)

3.1.2 乘积用Leibniz公式

设\(u(x)\)，\(v(x)\) 均为 \(n\) 阶可导, 则有(Leibniz公式) \[ [u(x)v(x)]^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots +C_n^nuv^{(n)}. \]

  • 用归纳法证明.
  • 其中\(u\)为多项式函数时使用简单.

例 设\(y=x^2\cdot e^{2x}\)，求\(y^{(n)}.\)

\[\begin{aligned} y^{(n)}&=(x^2e^{2x})^{(n)}\\ &=C_n^0(e^{2x})^{(n)}x^2+C_n^1(e^{2x})^{(n-1)}\cdot 2x+C_n^2(e^{2x})^{(n-2)}\cdot 2 +0+\cdots +0. \end{aligned}\]

由\((e^{2x})^{(n)}=2^ne^{2x},\)

原式\(=e^{2x}(x^22^n+xn2^n+n(n-1)2^{n-2}).\)

3.1.3 复杂的用递推法

例 已知 \(y=\arctan x\)，求\(y^{(n)}(0).\)

\(y'=\dfrac{1}{1+x^2} \quad y'(0)=1.\)

\(y''=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2} \quad y''(0)=0.\)

\(y'''=-2\left[1\cdot \dfrac{1}{(1+x^2)^2}+x\cdot \left(\dfrac{1}{(1+x^2)^2}\right)'\right] \quad y'''(0)=-2.\)

\(y'(1+x^2)=1\)，两边关于 \(x\) 求 \(n\) 阶导

\(C_n^0(y')^{(n)}(1+x^2)+C_n^1(y')^{(n-1)}\cdot 2x+C_n^2(y')^{(n-2)}\cdot 2=0.\)

当 \(x=0\) 时，\(y^{(n+1)}(0)(1+0^2)+\dfrac{n(n-1)}{2!}y^{(n-1)}(0)\cdot 2=0.\)

\(\because y(0)=0,y'(0)=1,y''(0)=0.\)

\(\therefore y^{(n+1)}(0)=-n(n-1)y^{(n-1)}(0)\) 得

\[ \begin{cases} y^{(2k)}(0)&=0,\\ y^{(2k+1)}(0)&=(-1)^k(2k)!, \end{cases}\ 其中k=0,1,2,\cdots. \]

3.1.4 抽象函数的二阶导数

例 若\(g'(x)\) 连续，且 \(f(x)=(x-a)^2g(x)\)，求\(f''(a)\)

\[ \begin{align*} f''(a)&=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)}{x-a}\\ &=\lim_{x\to a}\dfrac{2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)}{x-a}\\ &=\lim_{x\to a}[2g(x)+(x-a)g'(x)]. \end{align*} \]

且 \(f'(x)|_{x=a}=0.\)

\(\therefore g'(x)\) 连续, 所以 \(\displaystyle \lim_{x\to a}g'(x)=g'(a).\)

由\(g(x)\) 连续, \(\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=g(a).\)

\(\therefore f''(a)=2g(a)+0=2g(a).\)

  • 因为不知道\(g''(x)\)是否存在? 也不知道\(g''(x)\)是否连续.
  • 虽然答案一样, 但需要更多条件才能这样做.

例 设\(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{y'}\)，证明 \(\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2}=-\dfrac{y''}{(y')^3}.\)

\[\begin{align*} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\dfrac{1}{y'}\right)=(-1)\dfrac{1}{(y')^2}\cdot \left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} y'\right)\\ &=-\dfrac{1}{(y')^2}\cdot (y''\cdot \dfrac{1}{y'})=-\dfrac{y''}{(y')^3}. \end{align*} \]

4 隐函数求导

\[\sin y+e^y-x=0.\]

  • \(y=e^x,y=2x^2+1,y=\sin x\) (显函数).
  • \(\sin y+e^y-x=0\)(隐函数).

定义 由方程\({F(x,y)}=0 \rightarrow {y=f(x)}\) 确定的函数称为隐函数.

例 设\(\sin y+e^y-x=0\)，求 \(y',y''.\)

解: 两边关于 \(x\) 求导(复合导数)得 \[ \cos y \cdot y'+e^y\cdot y'-1=0. \] 所以\[\begin{aligned} y'&=\dfrac{1}{\cos y+e^y}. \\ y''&=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{1}{\cos y+e^y}\right)\\ &=-\dfrac{-\sin y\cdot y'+e^y\cdot y'}{(\cos y+e^y)^2}\\ &=-\dfrac{-\sin y+e^y}{(\cos y+e^y)^3}\\ &=\dfrac{\sin y- e^y}{(\cos y+e^y)^3}. \end{aligned} \]

  • 注意\(y\)要看成\(x\)的函数, 用复合函数求导法则计算.

例 \(y=\dfrac{(x+5)^2(x-4)^{\frac{1}{3}}}{(x+2)^5(x+4)^{\frac{1}{2}}}\)，求\(y'\)

解: \[ \ln y=2\ln (x+5)+\dfrac{1}{3}\ln (x-4)-5\ln(x+2)-\dfrac{1}{2}\ln(x+4). \] 两边对 x 求导得 \[\dfrac{1}{y}\cdot y'=\dfrac{2}{x+5}+\dfrac{1}{3(x-4)}-\dfrac{5}{x+2}-\dfrac{1}{2(x+4)}.\] 所以\[y'=\dfrac{(x+5)^2(x-4)^{\frac{1}{3}}}{(x+2)^5(x+4)^{\frac{1}{2}}}\cdot \left[\dfrac{2}{x+5}+\dfrac{1}{3(x-4)}-\dfrac{5}{x+2}-\dfrac{1}{2(x+4)}\right]. \]

例 求 \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1\) 在 \((2,\dfrac{3\sqrt{3}}{2})\) 的切线方程.

解 两边关于 \(x\) 求导得 \[ \begin{align*} \dfrac{2x}{16}+\dfrac{2}{9}y\cdot y'&=0. \end{align*} \] 代入得\[ \begin{align*} \dfrac{2}{16}\times 2+\dfrac{2}{9}\times \dfrac{3\sqrt{3}}{2}y'|_{x=2}&=0\\ k=y'|_{x=2}&=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}. \end{align*} \] 切线方程为 \(y-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x-2).\)

5 参数函数求导

\[设\ \left\{\begin{align} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{align} \right., 则 \ \frac{d y}{d x}=\frac{d \psi(t) }{d \varphi(t) }=\frac{\psi'(t) }{\varphi'(t)}. \]

定理 设\(\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}\) ，\(t\) 是参数，\(\phi(t)\) 、\(\psi(t)\) 可导，\(x=\phi(t)\) 可确定反函数 \(t=\phi^{-1}(x)\)，

则 \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}=\dfrac{\psi'(t)}{\phi'(t)}.\)

  • 二阶导数 \(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\psi''(t)\phi'(t)-\phi''(t)\psi'(t)}{[\phi'(t)]^3}.\)
  • 二阶导数的公式可不记忆, 需要时用求导规则推导出来.

例 设\(\begin{cases}x=3e^{-t}\\y=2e^t\end{cases}\) ，求 \(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}.\)

\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{2e^t}{-3e^{-t}}=-\dfrac{2}{3}e^{2t}.\)

\(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}(-\dfrac{2}{3}e^{2t})=-\dfrac{4}{3}e^{2t}\cdot \dfrac{1}{-3e^{-t}}=\dfrac{4}{9}e^{3t}.\)

例 设\(\begin{cases}x=f'(t)\\y=tf'(t)-f(t)\end{cases}\) ，且 \(f^{(2)}(x)\ne 0\)，求 \(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}.\)

\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{f'(t)+tf''(t)-f'(t)}{f''(t)}=t.\)

\(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\dfrac{\mathrm d(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx})}{{\mathrm dt}}}{\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}=\dfrac{1}{f^{(2)}(t)}.\)

例 求 \(\rho=e^{a\theta}\) 在 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 处的切线方程.

先把极坐标写为直角坐标系形式: \[ \begin{cases} x=\rho \cos \theta = e^{a\theta}\cos \theta,\\ y=\rho \sin \theta = e^{a\theta}\sin \theta. \end{cases} \] 所以 \(k=\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}|_{\theta = \frac{\pi}{2}}=-a.\)

切线方程为 \(y-e^{\frac{\pi a}{2}}=-ax\) 即 \(y+ax=e^{\frac{\pi a}{2}}.\)

例 \(\begin{cases}x=t^2+2t,\\t^2-y+\varepsilon \sin y=1,\end{cases}\ (0\lt \varepsilon \lt 1)\)，求 \(y\) 对 \(x\) 的导数.

\(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}=\dfrac{\frac{2t}{1-\varepsilon \cos y}}{2t+2}=\dfrac{t}{(1+t)(1-\varepsilon \cos y)}.\)

5.1 相关变化率

设 \(x=x(t)\) 及 \(y=y(t)\) 都是可导函数，而变量 \(x\) 与 \(y\) 之间存在某种关系，从而变化率 \(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\) 与 \(\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\) 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.

例 如果圆的半径 \(r\) 以 \(2cm/s\) 速度匀速增加，求圆的面积 \(S\) 在 \(r=10cm\) 时的增加速度.

\(\dfrac{\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}}=\dfrac{\mathrm dS}{\mathrm dr}=2\pi r.\)

\(\dfrac{\mathrm dS}{\mathrm dt}|_{r=10}=2\pi \times 10 \times 2=40\pi (cm/s^2).\)

例 圆锥形容器以 \(25cm^3/s\) 速度注水，当容器中的水位位于 \(\dfrac{h}{2}\) 时，求此时水位的上升速度.

由相似关系得 \(\dfrac{r}{R}=\dfrac{h-x}{h}.\) 所以 \[ \begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\pi R^2h-\dfrac{1}{3}\pi r^2(h-x)\\ &=\dfrac{1}{3}\pi R^2h-\dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{R}{h}\right)^2(h-x)^3. \end{align*} \]

两边关于 \(t\) 求导得

\(\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=0-\dfrac{1}{3}\pi \left(\dfrac{R}{h}\right)^2\cdot 3(h-x)^2\cdot (-1)\cdot \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}.\)

因此 \(\therefore \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}|_{x=\frac{h}{2}}=\dfrac{100}{\pi h^2}(cm/s^2).\)

6 微分

\[\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx.\]

6.1 背景与动机

计算函数\(S(x)=x^2\), \(y=x^3\)的变化量.

对于\(S(x)=x^2.\) \[ \begin{align*} \Delta S&={2x\cdot \Delta x}+{(\Delta x)^2}\\ &\sim 2x\cdot \Delta x. \end{align*} \]

对于\(y=x^3.\) \[ \begin{align*} \Delta y&={3x^2\cdot \Delta x}+{3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3}\\ &\sim 3x^2\cdot \Delta x. \end{align*} \]

  • 根据有限增量公式 \[\Delta y= f'(x){\Delta x}+ o(\Delta x),\] \(\Delta y\)用\(f'(x)\Delta x\)做近似, 误差是一个可以忽略的高阶无穷小.
  • 这个主要部分\(f'(x)\Delta x\)可以近似描述函数的变化量, 非常重要.

6.2 微分的定义

定义 假设\(y=f(x)\) 在 \(x\) 的某个邻域有定义，若 \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A\cdot \Delta x+o(\Delta x)\)(\(A\) 与 \(\Delta x\) 无关)，则 \(y=f(x)\) 在 \(x\) 处可微，称 \(A\cdot \Delta x\) 为 \(y=f(x)\) 的微分，

记作 \[\mathrm dy=A\cdot \Delta x=A\cdot \mathrm dx.\]

  • 如 \(S=x^2\)，\(\mathrm dS=2x\cdot \Delta x=2x\mathrm dx.\)
  • 如 \(y=x^3\)，\(\mathrm dy=3x^2\cdot \Delta x=3x^2\mathrm dx.\)

\[ \Delta y\approx d y,\quad \Delta y-d y= o(\Delta x). \]

  • 微分可以作为\(\Delta y\)的近似值, 误差是\(\Delta x\)的高阶无穷小.
  • 以直(\(d y\))代曲(\(\Delta y\)).

定理 函数在一点可微的充要条件是函数在一点可导，且 \(\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx.\)

证明：

\(\Rightarrow\)：\(\Delta y=A\cdot \Delta x+o(\Delta x),\)

所以\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A+\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}.\)

因此\(\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=A+0=A.\)

从而\(\mathrm dy=A\mathrm dx=f'(x)\mathrm dx.\)

\(\Leftarrow\)：由\(f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)得\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha\). 所以

\[ \begin{align*} \Delta y&=f'(x)\Delta x+\alpha \Delta x\\ &=\underset{线性部分}{f'(x)\Delta x}+\underset{高阶无穷小}{o(\Delta x).} \end{align*} \]

  • 例 设\(y=\arctan x\)，则\(\mathrm dy=\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm dx\)，\(\mathrm dy|_{x=0}=1 \mathrm dx.\)
  • 例 设\(y=x^2e^x\)，则\(\mathrm dy=(2xe^x+x^2e^x)\mathrm dx.\)

6.3 微分的运算法则

命题 若 \(u,v\) 均可微, 则

  1. \(\mathrm d(u\pm v)=\mathrm du\pm \mathrm dv,\)
  2. \(\mathrm d(uv)=v\cdot \mathrm du+u\cdot \mathrm dv,\)
  3. \(\mathrm d\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{v\cdot \mathrm du-u\cdot \mathrm dv}{v^2}.\)

6.4 一阶微分的形式不变性

设 \(y=f(u),u=\phi(x)\) 均可导, 则 \[ \begin{align*} \mathrm d\{f[\phi(x)]\}&=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f[\phi(x)]\cdot \mathrm dx\\ &=f'(u)\phi'\mathrm dx\\ &=f'(u)\mathrm du. \end{align*} \]

6.5 例题

例 设\(y=\sin(x^2\cdot e^x)\)，求 \(\mathrm dy.\)

\[ \begin{align*} \mathrm dy&=\cos (x^2e^x)\mathrm d(x^2e^x)\\ &=\cos (x^2e^x)[\mathrm d(x^2)\cdot e^x+x^2\mathrm d(e^x)]\\ &=[\cos (x^2e^x)\cdot (2xe^x+x^2e^x)]\mathrm dx. \end{align*} \]

例 设 \(y=\ln (1+e^{x^2})\)，求 \(\mathrm dy.\)

\[ \begin{align*} \mathrm dy&=\dfrac{1}{1+e^{x^2}}\cdot e^{x^2}\cdot 2x\mathrm dx\\ &=\dfrac{2xe^{x^2}}{1+e^{x^2}}\mathrm dx. \end{align*} \] 或 \[ \begin{align*} \mathrm dy&=\dfrac{1}{1+e^{x^2}}\mathrm d(1+e^{x^2})\\ &=\dfrac{2xe^{x^2}}{1+e^{x^2}}\mathrm dx. \end{align*} \]

例 设 \(e^y+xy-e=0\)，求 \(\mathrm dy.\)

求导法 \[ e^y\cdot y'+y+xy'-0=0 \Rightarrow y'=-\dfrac{y}{x+e^y}\\ \mathrm dy=-\dfrac{y}{x+e^y}\mathrm dx. \]

微分法：两边微分得 \[ \begin{aligned} &e^y\mathrm dy+\underset{y\mathrm dx+x\mathrm dy}{\mathrm d(xy)}-0=0\\ &\mathrm dy=-\dfrac{y}{x+e^y}\mathrm dx. \end{aligned} \]

6.6 导数即微商

例 \(\dfrac{\mathrm d(\tan x)}{\mathrm d(\sin x)}=\dfrac{\frac{1}{\cos^2x}\mathrm dx}{\cos x\mathrm dx}=\dfrac{1}{\cos ^3x}.\)

6.7 微分的几何意义

以切线为斜边的三角形称为微分三角形.

  • \(\Delta y=RS\)是曲线变化量(函数值的变化量).
  • \(dy=QS=f'(x)dx\)表示切线变化量(近似值).
  • 以直代曲. 曲线用切线近似
  • 在微分三角形中可以得到切线的夹角, 斜率, 弧微分\(ds\)(斜边)之间的关系.

\[ \begin{align} \frac{dy}{dx}&=\tan \alpha,\\ d^2 s&=d^2 x+d^2 y,\\ d s&=\sqrt{1+y'^2}\ d x,\\ d x&=\cos\alpha d s, y=\cos\beta d s. \end{align}\]

6.8 近似计算

例 求 \(\sin 31^\circ\) 的近似值.

\(y=\sin x, \quad x\in R.\)

由\(f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=\sin x_0+\cos x_0(x-x_0).\)

所以\(\sin 31^\circ \approx \sin 30^\circ+\cos 30^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180}\approx 0.5+\dfrac{1.732}{2}\cdot \dfrac{\pi}{180}.\)

例 求 \((34)^{\frac{1}{5}}\) 的近似值.

由 \(y=x^{\frac{1}{5}},\) \[ \begin{align*} 34^{\frac{1}{5}}&\approx 32^{\frac{1}{5}}+\dfrac{1}{5}\times 32^{-\frac{4}{5}}(34-32)\\ &=2+\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{16}\times 2\\ &=2+\dfrac{1}{40}=2.025. \end{align*} \]

7 题目

设\(f(x)\)在\(x=0\)处可导, 且\(f(0)=f'(0)=2,\) 求 \[\begin{align} &\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(\frac{2}{n})}{f(0)} \right)^n. \end{align}\]

  • 条件是一点处可导, 用一点处导数的定义.
  • 指数形式, 重要极限.
  • 方法是凑出导数的定义的形式

计算:

\[\begin{align} &\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(\frac{2}{n})}{f(0)} \right)^n\\ =&\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{f(\frac{2}{n})-f(0)}{f(0)} \right)^n\\ =&\lim_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{f(\frac{2}{n})-f(0)}{f(0)} \right)^{\frac{f(0)}{f(\frac{2}{n})-f(0)} \cdot \frac{f(\frac{2}{n})-f(0)}{\frac{2}{n}}}\\ =&e^{f'(0)}. \end{align} \]

用指数函数简化以下过程. \[\begin{align} &\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(\frac{2}{n})}{f(0)} \right)^n\\ =&\lim_{n \rightarrow \infty} e^{n\ln\left(1+\frac{f(\frac{2}{n})-f(0)}{f(0)} \right)}\\ =&\lim_{n \rightarrow \infty} e^{n \frac{f(\frac{2}{n})-f(0)}{f(0)} }\\ =&\lim_{n \rightarrow \infty} e^\frac{f(\frac{2}{n})-f(0)}{\frac{2}{n}}\\ =&e^{f'(0)}. \end{align} \]