函数

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[y=f(x)\]

  • 函数就是映射, 由对应法则和定义域决定.
  • 对应法则可以用各种各样的方式告诉我们.
  • 不管函数怎样表示, 我们关注的都是它如何变化? 有什么性质? 各种方式表示的函数的导数或微分怎么求?
  • 研究函数的工具方法都相同: 导数, 微分, 积分.

1 函数是什么?

  • 定义域.
  • 对应法则.
  • 是一个映射.

2 函数有哪些表达方式?

  • 目的都是为了更好的描述函数或不得已而为之.
  • 不管哪种表达方式, 最基本的问题是搞清楚研究对象: 谁是自变量? 谁是因变量
  • 如果是很奇怪的表达方式, 先要确定是不是一个函数.
  • 直接写出表达式.
  • 例如, 一元函数 \(y=x^2,\) 二元函数 \(z=xy-\ln(x+y)\).
  • 没有统一的表达式—-没办法统一. \[ y=\left\{\begin{array}{ll} 1,& x\mbox{是有理数}, \\ 0,& x\mbox{是无理数}. \end{array} \right. \]
  • 只知道变量之间有关系, 但不容易写出直接的解析关系或根本就写不出来. 如 \[ \sin (x e^y)=xy+2. \]
  • 给一个\(x\), 由方程解出一个\(y\), 所以是函数.
  • 要明白确定了几个函数, 谁是自变量, 因变量? \[ \left\{\begin{array}{ll} x+y+z=2, \\ 3x+y-4z=2. \end{array} \right. \]
  • 3个未知数, 2个方程, 可以解出两个未知数.
  • 所以有一个是自变量, 另外两个可以解出来. 如\(\left\{\begin{array}{ll} y=f(x), \\ z=g(x).\end{array} \right.\)

  • 参数方程\(\left\{\begin{array}{ll} x=a\cos t , \\ y=b\sin t.\end{array} \right.\)

    • 有了参数\(t\)就可以把看起来不相关的变量\(x,y\)联系起来了.
    • 注意有时\(x,y\)的直接联系可能很复杂.
    • 参数方程会使函数表示得较为简单.
    • 实际上是一种特殊的用方程组确定的函数.
  • 一个等式中的两个字母都有可能是自变量. 比如 \[x+y+1=0.\]
  • 可以得到\(y=1-x\),
  • 也能得到\(x=1-y.\)
  • \(y=f(u), u=\phi(x).\) 最终有\(y=f(\phi(x)).\)
  • 出现了中间变量\(u\), 如图: \[ y\xrightarrow[]{f(u)}u \xrightarrow[]{\phi(x)}x \]
  • 复合函数本质是用两个已知函数来构造一个新的函数.

3 研究策略

  • 先研究清楚熟悉, 常用的.
  • 先研究清楚简单的.
  • 化繁为简.
  • 基本初等函数就是最为简单, 常用的函数. 然后再根据需要逐步扩展.

4 初等函数

  • 基本初等函数, 包括幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数以及反三角函数. 要熟练掌握它们的性质, 图像.
  • 初等函数是用基本初等函数组合, 构造的.
  • 这些函数是基础, 也是主要研究对象. 它们的性质, 图像要牢记在心.

4.1 幂函数

\[ y=x^\alpha,\ \alpha\in R.\]

  • 不同幂函数在[0,1]区间上的大小如何?
  • 大于1的数越乘越大, 小于1的数越乘越小.
  • 幂函数的定义域有何不同?

4.2 指数函数

\[ y=a^x,\ a\in R, a>0.\]

  • 底不同, 图像不同.

4.3 对数函数

\[ y=\log_a x,\ a\in R, a>0.\]

  • 底不同, 图像不同.

4.4 三角函数

  • 三角函数是周期函数.
  • 三角函数与圆有关.
  • \(\sin x\)是奇函数, \(\cos x\)是偶函数.

4.4.1 正弦函数和余弦函数

\[\sin x,\quad\cos x\]

  • 如图, 单位圆上的点\(P\), \(OP\)与\(x\)轴的夹角是\(\theta\),
  • \(OP\)在\(x\)轴上的投影等于\(\cos\theta\), 在\(y\)轴上的投影等于\(\sin\theta\).
  • 夹角\(\theta\)的单位是弧度, 取值范围为任意实数.

  • 根据勾股定理\(\sin^2 x+\cos^2 x=1.\)
  • 根据直角三角形两个锐角互余, 得到 \[\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x,\ \cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin x.\]
  • 关于余弦函数的公式可以变为正弦函数记忆.
  • 由定义, 夹角转一圈后, 点就重复了, 一圈为\(2\pi\).
  • 在圆上的点\(P\)从\(x\)轴\((0,1)\)出发逆时针运动的过程中, \(\sin x\), 即在\(y\)轴上的投影, 从0增加到1, 再从1减少到-1, 最后从-1又增加到0.

4.4.2 正切函数和余切函数

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.\]

  • 图形上看, \(\tan \theta\)等于在直线\(x=1\)上的投影.

  • 在一个定义区间内, 在\(x=1\)上的投影随角度增加而增加.

4.4.3 正割函数和余割函数

\[\sec x=\frac{1}{\cos x}, \ \csc x=\frac{1}{\sin x}.\]

  • 函数值为1的点不动, 小于1的变为大于1的, 递增变递减, 越来越靠近0变成越来越大.

4.5 三角函数公式

  • 只需记住其中几个公式, 需要时再推导出其它公式.
  • 基本公式可能记得比较模糊, 可以代入特殊值验证.

\[\begin{aligned} \sin^2 x+\cos^2 x&=1. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} 1+\tan^2 x&=\sec^2,\\ 1+\cot^2 x&=\csc^2. \end{aligned}\]

  • 只需知道有此种公式, 需要时按此推导.

\[\begin{aligned} \sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \cos(x\pm y)&=\sin x\sin y\pm \cos x\cos y,\\ \tan(x\pm y)&=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp \tan x\tan y}. \end{aligned}\]

  • 只需知道有此种公式, 需要时按此推导.
  • 第一个可由\(\cos x=\sin(\frac{\pi}{2}-x)\)推出来.
  • 第二个可以用前面的相除推出来.

\[\begin{aligned} \sin 2x&=2\sin x\cos x,\\ \cos 2x&=2\cos^2 x-1\\ &=1-2\sin^2 x\\ &=\cos^2 x-\sin^2 x. \end{aligned}\]

  • 是加法公式的特殊情形.
  • 经常使用, 记住最好.

\[\begin{aligned} \sin^2 \frac{x}{2}&=\frac{1-\cos x}{2},\\ \cos^2 \frac{x}{2}&=\frac{1+\cos x}{2}. \end{aligned}\]

  • 注意, 如果开根号, 要根据\(x\)的范围取正还是负.
  • 可由倍角公式推导.

\[\begin{aligned} \cos x\cos y&=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)]. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \cos x\sin y&=\frac{1}{2}[\sin (x+y)-\sin (x-y)],\\ \sin x\sin y&=-\frac{1}{2}[\cos (x+y)-\cos (x-y)],\\ \sin x\cos y&=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)]. \end{aligned}\]

  • 由\(\cos x=\sin(\frac{\pi}{2}-x)\)推出来.
  • 只需记住一个容易记的, 另外的用公式推导出来, 尝试一下.
  • 记一个的时候, 先记住大概样子, 再代入特殊值得到准确形式.

\[\begin{aligned} \cos x+\cos y&=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \cos x-\cos y&=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2},\\ \sin x +\sin y&=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2},\\ \sin x -\sin y&=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}. \end{aligned}\]

记忆方法

  • 由\(\cos x=\sin(\frac{\pi}{2}-x)\)推出来.
  • 只需记住一个, 另外的用公式推导出来, 尝试一下.
  • 记一个的时候, 先记住大概样子, 再代入特殊值得到准确形式.

4.6 反三角函数

  • 定义域, 值域分别是什么?

5 定义域

  • 实数集与数轴上的点一一对应.
  • 画图理解定义域.

\[ \begin{aligned} 自然数集&\quad \mathbb N=\{0,1,2,3,\cdots\},\\ 整数集&\quad \mathbb Z,\\ 有理数集&\quad \mathbb Q,\\ 实数集&\quad \mathbb R=\{所有小数\},\\ 复数集&\quad \mathbb C=\{a+b\,i\mid a,b\in\mathbb R\}. \end{aligned} \]

  • 函数的定义域一般是实数域的子集.
  • 常用定义域是区间和邻域.
  • 实数域\[R=(-\infty, +\infty).\]

5.1 区间

  • 区间即数轴上连续线段组成的子集, 根据端点名称不同.
  • 设\(a,b\in R,\) 则有 \[\begin{aligned} 开区间& &(a,b)=\{a<x<b\},\\ 闭区间& &[a,b]=\{a\leq x\leq b\},\\ 半开半闭区间& &(a,b], [a,b). \end{aligned}\]
  • 无限区间 \[\begin{aligned} (-\infty, +\infty)&=\{-\infty<x<+\infty\},\\ (a, +\infty)&=\{a<x<+\infty\},\\ (-\infty, b)&=\{-\infty<x<b\}. \end{aligned}\]

在数轴上画出相应的区间

5.2 邻域

  • 邻域 \({U}(x_0, \delta) = \{ x \mid |x - x_0| < \delta \}.\)
  • 去心邻域 \(\mathring{U}(x_0, \delta) = \{ x \mid 0 < |x - x_0| < \delta \}.\)

邻域是离点\(x_0\)比较近的点的集合.

练习 在数轴上画出各种区间及邻域.

例 求定义域 \[f(x)=\frac{\ln (3-x)}{\sin x}+\sqrt{5+4x-x^2}.\]

  • 定义域的要求是什么?
  • 表达式有意义就行.
  • 试一试?

6 特殊函数

6.1 绝对值函数

  • \(y = |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases}\)

  • 常用来作为导数在零点不存在的例子.

6.2 符号函数

  • \(\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases}1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}\)

  • 表示函数的符号.

6.3 狄利克雷函数

\[ D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \quad (\text{有理数}), \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \quad (\text{无理数}). \end{cases}\]

  • 性质
    • 处处不连续（任意点极限不存在）
    • 无单调性、实际上任意非零有理数都是周期

6.4 取整函数

  • \(y=[x]\), 其中\([x]\)表示不超过 \(x\) 的最大整数.

  • 性质
    • 任给\(x\in R,\)有 \[[x]\leq x< [x]+1\ 或\ x-1< [x]\leq x.\]

7 函数的性质

7.1 函数的单调性

定义 设函数 \(f(x)\) 在区间\(I\) 上有定义，若对任意 \(x_1, x_2 \in I\)，当 \(x_1 < x_2\) 时，均有 \(f(x_1) \leq f(x_2)\)，则称 \(f\) 在 \(I\) 上单调递增；若均有\(f(x_1) \geq f(x_2)\)，则称单调递减.

  • 如果是严格不等号, 则称是严格单调递增.

7.2 函数的奇偶性

  • 偶函数 定义域对称, 且\(f(-x) = f(x)\)，图像关于\(y\) 轴对称,如\(|x|\).
  • 奇函数 定义域对称, 且\(f(-x) = -f(x)\)，图像关于原点对称, 如 \(\operatorname{sgn}(x)\).

练习 判断函数\(y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)的奇偶性?

练习 判断函数\(y=\frac{e^x-1}{e^x+1}\ln\frac{1-x}{1+x}\)的奇偶性?

7.3 函数的周期性

  • 如果存在非零常数 \(T\)，使得对任意 \(x\)，有 \(f(x+T) = f(x)\)，则称 \(T\) 为周期.最小正周期简称为周期.
  • 如正弦函数 \(\sin x\).

问题 \(y=x-[x]\)是不是周期函数? 最小正周期=?

问题 \(y=3\)是不是周期函数? 最小正周期=?

7.4 函数的有界性

定义 若存在正数 \(M\)，使得对任意\(x\)，均有 \(|f(x)| \le M\)，则称\(f\) 有界, 否则称无界.

  • 如\(y = \frac{1}{1+x^2}\) 有界.
  • 有没有界要看定义域.
  • 请叙述一下无界的定义? 否命题如何叙述?
  • 举一个无界的例子?

8 练习

练习 设\[ f(x) = \begin{cases} e^x, & x <1, \\ x, & x \geq 1,\end{cases}\quad g(x) = \begin{cases} x+2, & x <0, \\ x^2-1, & x \geq 0, \end{cases}\] 求\(f(g(x)).\)

练习 设\(f(0)=0\) 且\(x\neq 0\)时\(af(x)+bf(\frac{1}{x})=\frac{c}{x}.\) 其中\(a,b,c,|a|\neq |b|\)为常数. 证明\(f(x)\)是奇函数.

  • 已知是什么?
    • 未知函数的等式.
  • 求什么?
    • 未知函数, 证明是奇函数.
  • 一个方程能否解出未知函数?
    • 不能, 还有\(f(\frac{1}{x}).\)
  • 相当于两个未知函数, 如何解出来?
    • 两个方程?
  • 另外一个方程怎么列出来?
    • 不要出现新未知函数.
  • 把\(\frac{1}{x}\)作为自变量代入
    • \(af(\frac{1}{x})+bf(x)={c}{x}.\)

练习 设\(y=f(x), x\in (-\infty, +\infty)\)的图形关于\(x=a, x=b(a\neq b)\)均对称, 证明\(f(x)\)是周期函数.

  • 已知是什么?
    • 关于直线对称.
  • 把关于直线对称用数学式子表示出来?
    • 对称点\(a-x,a+x\)的函数值相等

\[f(a-x)=f(a+x), \ f(b-x)=f(b+x).\]

  • 怎么得到周期函数?
    • 用一下两个等式.

\[\begin{aligned} f(x)&=f(a+x-a)=f(2a-x)=f(b-(x-2a+b)\\ &=f(b+(x-2a+b)=f(x-2a+2b).\end{aligned}\]