数列的极限

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a \ (n \to \infty)\]

  • 极限存在是说当\(n\)趋向无穷大时, \(x_n\)越来越趋向一个确定的数\(a\).
  • 用定义证明比较麻烦, 可用来锻炼逻辑思维能力.
  • 极限存在可简记为要多小有多小.

1 数列的定义与性质

\[ \{x_n\}: \quad x_1, x_2, \dots, x_n, \dots, \]

有次序的一列数 \[ x_1, x_2, \dots, x_n, \dots, \]

称为数列 , 简记为 \(\{x_n\}\),\(x_n\) 称为一般项, 或第 \(n\) 项.

如：

  • \(1, \quad \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3}, \quad \dots, \quad \frac{1}{n}, \quad \dots\) \(\quad \color{blue}{\left\{ \frac{1}{n} \right\}}\)
  • \(\frac{1}{2}, \quad \frac{2}{3}, \quad \frac{3}{4}, \quad \dots, \quad \frac{n}{n+1}, \quad \dots\) \(\quad \color{blue}{\left\{ \frac{n}{n+1} \right\}}\)
  • \(1, \quad -1, \quad 1, \quad \dots, \quad (-1)^{n+1}, \quad \dots\) \(\quad \color{blue}{\left\{ (-1)^{n+1} \right\}}\)

数列的本质 数列可看作是自变量为 \(n\) 的函数 \[x_n = f(n), \quad n \in \mathbb{N}^+.\]

想一想 观察下列数列有何特点?

  • \(1, \quad \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3}, \quad \dots, \quad \frac{1}{n}, \quad \dots\) \(\quad \color{blue}{\left\{ \frac{1}{n} \right\}}\)
  • \(\frac{1}{2}, \quad \frac{2}{3}, \quad \frac{3}{4}, \quad \dots, \quad \frac{n}{n+1}, \quad \dots\) \(\quad \color{blue}{\left\{ \frac{n}{n+1} \right\}}\)
  • \(1, \quad -1, \quad 1, \quad \dots, \quad (-1)^{n+1}, \quad \dots\) \(\quad \color{blue}{\left\{ (-1)^{n+1} \right\}}\)
  • \(1, \quad 2, \quad 3, \quad \dots, \quad n, \quad \dots\) \(\quad \color{blue}{\left\{ n\right\}}\)

当 \(n\) 无限增大 时(即 \(n \to \infty\), 读作\(n\)趋向无穷大),

  • 前两个\(x_n\) 越来越接近于一个确定的数值, 0和1.
  • 第三个在两个确定的数之间摆动, 不接近”一个”确定的数.
  • 第四个根本不接近任何确定的数.

\[x_n = f(n), \quad n \in \mathbb{N}^+\]

当 \(n\)趋向无穷大时(即 \(n \to \infty\)),

  • 对应的 \(x_n\) 能否无限接近于某个确定的数值?
  • 这个确定的数值等于多少?
  • 如果存在这样的数值, 我们称数列有极限.

2 “\(\frac{1}{n}\)无限接近0”的数学刻画

  • 一句话, 要多小有多小.
  • 远近即距离大小! 距离小就近.
  • 比如\(|a-b|<0.001\), \(|a-c|>0.01,\) 则\(b\)比\(c\)更靠近\(a.\) 数轴更直观.
  • 距离\(|\frac{1}{n}-0|\)很小 = \(\frac{1}{n}\)接近0.
  • 当\(n > 10^2\) 时, 则 \(\left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \frac{1}{10^2}\).
  • 当\(n > 10^3\) 时, 则 \(\left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \frac{1}{10^3}\).
  • 任给一个小的正数\(\varepsilon\)(距离), 总可以找到一个\(N\), 从第\(N\)项开始, 后面的每一项都有\(\left| \frac{1}{n} - 0 \right| < \varepsilon.\)

3 数列极限的定义

\[\lim_{n \to \infty} x_n = a.\]

定义 如果数列 \(\{x_n\}\) 与常数 \(a\) 有下列关系：

对任意给定的正数 \(\varepsilon\), 总存在正整数 \(N\), 使得对于 \(n > N\) 的一切 \(x_n\), 不等式 \[|x_n - a| < \varepsilon\] 都成立. 则称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限, 或称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\), 记作 \[\lim_{n \to \infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a \ (n \to \infty).\]

  • 如果数列没有极限, 就说数列是发散的, 数列不收敛.

极限定义的数学符号简记： \[\forall \varepsilon > 0, \ \exists N, \ \text{当 } n > N \text{ 时, } |x_n - a| < \varepsilon, 则\] \[\lim_{n \to \infty} x_n = a.\]

  1. \(\varepsilon\) 是任意给定的小正数, 用来刻画 \(x_n\) 与 \(a\) 的接近程度. 可以看成距离, 也可以理解为用\(x_n\) 作为 \(a\)的近似值的误差.
  2. \(N\) 依赖于 \(\varepsilon\)的取值, 且 \(N\) 的取值不唯一(比 \(N\) 大的整数也都可以).
  3. \(n > N\) 表示数列中从第 \(N+1\) 项起, 一直到以后所有的项.
  4. 用定义证明极限等于\(a\)时, 需要找到\(N.\)
  5. 简记为要多小有多小. (误差)要多小, (满足条件\(n>N\)时)就有多小.
  • 如果极限存在, 可以把数列\(\{x_n\}\) 看成常数 \(a\) 的近似值.
  • 随便给一个小正数, 从某一项\(N\)开始, 后面的\(x_n\)作为近似值的误差都小于这个小正数.
  • (误差)要多小, (满足条件\(n>N\)时, 误差)就有多小.

4 用定义证明极限的步骤

  • 用定义证明\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=A\) 的关键是找满足定义的 \(N\).
  • 只能非常简单的问题才能用定义证明.
  • 用定义证明的题目可以锻炼我们的逻辑思维及抽象思考等能力.
  • 第一步, 先要任给一个误差\(\varepsilon>0.\)
  • 第二步, 我们要找到一个正整数\(N>0.\)
  • 第三步, 我们要验证或说明满足一开始给的误差要求: 对任意的\(n>N\) 都有 \(|a_n-A|< \varepsilon.\)
  • 要找到正整数\(N>0.\) 一般反过来, 假设误差满足, 解出\(N\)要满足什么条件, 然后解出来.
  • 因为是反过来找的\(N\), 所以就满足误差要求.
  • 当直接解 \(|x_n - a| < \varepsilon\) 比较困难时.
  • 先通过不等式 放大 \(|x_n - a|\), 即 \(|x_n - a| \le g(n)\), 使 \(g(n) < \varepsilon\).
  • 只需解 \(g(n) < \varepsilon\) 找到 \(N\), 由不等式的传递性可知, 该 \(N\) 必满足原定义.

例 证明\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0.\)

  • 要多小
  • 满足条件: \(n\)趋向无穷大时,
  • 有多小
  • \(\forall \varepsilon > 0\)
  • 存在\(N > 0\), 当\(n>N\)时
  • 有\(|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon.\)
  • 目标是找到满足\(|\frac{1}{n}-0|< \varepsilon\)的 \(N\), 解这个不等式得, \(n>\frac{1}{\varepsilon}\)就可以.
  • 注意\(N\)为正整数, 取整\(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\),
  • 书写时要注意语言通顺.

\(\forall \varepsilon>0,\) 要使 \(|\frac{1}{n}-0|< \varepsilon\), 只要 \(n>\frac{1}{\varepsilon}.\)
取 \(N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]\), 当\(n>N\) 时都有\(|\frac{1}{n}-0|< \varepsilon\),
所以 \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0.\)

例 用定义证明 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1\).

  • 目标 \(\left| \frac{n}{n+1} - 1 \right|=\frac{1}{n+1} < \varepsilon\).
  • 不好解, 先放缩.
  • \(\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}\).
  • 要使 \(\left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| < \varepsilon\), 只要 \(\frac{1}{n} < \varepsilon\).
  • 解不等式得 \(n > \frac{1}{\varepsilon}\). 取 \(N = \left[ \frac{1}{\varepsilon} \right]\).
  • 重新书写通顺

  • \(\forall \varepsilon > 0\), \(\left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}.\)

  • 要使 \(\left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| < \varepsilon\), 只要 \(\frac{1}{n} < \varepsilon\).

  • 即 \(n > \frac{1}{\varepsilon}\). 取 \(N = \left[ \frac{1}{\varepsilon} \right]\).

  • 则当 \(n > N\) 时, 有 \(\left| \frac{n}{n+1} - 1 \right| < \varepsilon\) 成立.
    所以\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1\).

例 用定义证明 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{2n^2 + n + 1} = 0.\)

  • 目标 \(\left| \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{2n^2 + n + 1} - 0 \right| < \varepsilon\).
  • 不好解, 先放缩.
  • \(|\sin x| \le 1\).

  • \(\frac{\left|\sin \frac{n\pi}{2}\right|}{2n^2 + n + 1} \le \frac{1}{2n^2 + n + 1} .\)

  • 仍不好解, 大胆放缩.

  • \(\frac{1}{2n^2 + n + 1} \le \frac{1}{n}.\)

  • \(\forall \varepsilon > 0\), \[\left| \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{2n^2 + n + 1} - 0 \right| \le \frac{1}{2n^2 + n + 1} < \frac{1}{n}.\]

  • 取 \(N = \left[ \frac{1}{{\varepsilon}} \right]\). 当 \(n > N\) 时, 有\(\frac{1}{n} < \varepsilon\), 所以\(\left| \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{2n^2 + n + 1} - 0 \right|< \varepsilon\).

  • 因此 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{2n^2 + n + 1} = 0\).

5 数列极限的几何解释

数列极限 \(x_n \to a \ (n \to \infty)\) 有非常直观的几何意义：

  • 不等式 \(|x_n - a| < \varepsilon\) 等价于 \[a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon.\]

  • 这可以表述为 当 \(n > N\) 时, 所有的点 \(x_n\) 都落在开区间 \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) 内, 而只有有限个点(至多 \(N\) 个)落在这个区间之外.

6 子数列

\[\{x_{n_k}\} \quad \text{即} \quad x_{n_1}, x_{n_2}, \dots, x_{n_k}, \dots\]

定义 在数列 \(\{x_n\}\) 中任意抽取无限多项, 并保持这些项在原数列 \(\{x_n\}\) 中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列的一个子数列(或子列). 记作 \[\{x_{n_k}\} \quad \text{即} \quad x_{n_1}, x_{n_2}, \dots, x_{n_k}, \dots\]

注意

  • 在子数列 \(\{x_{n_k}\}\) 中, 一般项 \(x_{n_k}\) 是第 \(k\) 项.
  • 在原数列 \(\{x_n\}\) 中, \(n_k\) 是第 \(n_k\) 项.
  • 显然有 \(n_k \ge k\) (下标不会变小, 次序保持不变).

定理 若数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\),则它的任一子数列也都收敛于 \(a\).

  • 由 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = a\) 可知,对 \(\forall \varepsilon > 0, \exists N\), 当 \(n > N\) 时, 有 \(|x_n - a| < \varepsilon\).
  • 取 \(K = N\), 则当子数列的项数 \(k > K\) 时, 其在原数列中的下标 \(n_k > n_K = n_N \ge N\).
  • 于是有 \(|x_{n_k} - a| < \varepsilon\) 成立.
  • 所以 \(\displaystyle\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = a\).

推论 当一个数列的两个子数列分别收敛到不同的值时, 该数列一定发散.

  • 例 数列 \(1, 0, 1, 0, \dots, \frac{1+(-1)^{n+1}}{2}, \dots\)
    • 奇数项子数列：\(1, 1, 1, \dots \to \mathbf{1}\)
    • 偶数项子数列：\(0, 0, 0, \dots \to \mathbf{0}\)
    • 结论：因为极限不同,该数列发散.
  • 重要结论(奇偶项定理) 对数列 \(\{x_n\}\), 若 \(\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = a\) 且 \(\displaystyle \lim_{k \to \infty} x_{2k} = a\), 则必有 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a\).

7 收敛数列的性质

命题(极限的唯一性) 若数列极限存在, 则极限值唯一.

定义 设数列 \(\{x_n\}\), 若存在 \(M > 0\), 使对一切 \(x_n\) 都有 \(|x_n| \le M\), 则称 \(\{x_n\}\) 有界；若这样的 \(M\) 不存在, 则称数列 无界.

命题(有界性) 若数列 \(\{x_n\}\) 收敛, 则数列 \(\{x_n\}\) 一定有界.

推论 无界数列必发散.

命题(保号性) 若 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n = a\), 且 \(a > 0\)(或 \(a < 0\)), 则存在 \(N > 0\), 当 \(n > N\) 时, 必有 \[x_n > 0 \quad (\text{或 } x_n < 0).\]

  • 几何意义 如果数列的极限为正数(或负数), 那么从数列的某项开始, 数列的所有项必然也都为正数(或负数). 这意味着极限的符号会在局部保持下去.