无穷小与无穷大

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[\lim a_n=0;\, \lim f(x)=0\]

  • 极限为0的量称为无穷小.
  • 两个无穷小的和, 差, 积仍是无穷小.
  • 无穷小与有界量的积仍是无穷小.
  • 无穷小的倒数即为无穷大.
  • 无穷大是无界的, 无界的量不一定是无穷大.

1 无穷小

\[\lim a_n=0;\, \lim f(x)=0.\]

1.1 无穷小的定义

定义 若 \(\lim f(x) = 0\)，则称 \(f(x)\) 为无穷小量(简称无穷小).

  • 极限为0的量称为无穷小. 不管这个量是一元函数还是多元函数, 还是数列, 只要极限是0, 就是无穷小.
  • 各种变化量\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)一般也是无穷小.
  • 无穷小是变量(要多小有多小)，不是很小的数.
  • 注意：数 \(0\) 是无穷小；但如 \(10^{-100}\) 不是无穷小(固定的数).

例 \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10}{n }=0.\)

例 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sin x=0.\)

想一想 \(x\)是不是无穷小?

1.2 无穷小的运算法则

  • 命题 两个无穷小的和, 差, 积仍是无穷小.
  • 命题 无穷小与有界量的积仍是无穷小.
  • 写成数学符号

想一想 无限多个无穷小的乘积还是无穷小吗?

1.3 极限与无穷小的关系

  • 命题 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}(f(x)-A)=0.\) 也等价于\(f(x) = A + \alpha(x)\)，其中 \(\alpha(x)\) 是无穷小.

  • 不管一元函数还是多元函数, 极限的问题, 归结为无穷小, 用无穷小来说更为清晰.

  • 研究函数变化时, 变化量一般都是无穷小.
  • 逼近函数时, 一般误差越来越小, 误差是无穷小.
  • 不同无穷小进行比较.
  • 误差一般表示为无穷小, 如果要求的误差不同, 很自然要比较它们的大小, 即比较无穷小.

2 无穷大

\[\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty\]

定义 \(\forall M > 0, \exists \delta > 0\)，当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) | >M,\) 则称 \(f(x)\) 为\(x\to x_0\)时的无穷大量(简称无穷大).

  • 记作\(\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty\).
  • 同理有其它极限过程的无穷大. 也有正无穷大, 负无穷大.

例 证明\(\displaystyle\frac{1}{2-x}\)是\(x\to 2\)时的无穷大. \(\displaystyle\frac{2+3x}{x}\)是\(x\to 0\)时的无穷大.

  • 命题 无穷大与有界量的和仍是无穷大.
  • 命题 有限个无穷大的乘积仍是无穷大.

想一想 两个无穷大的和还是无穷大吗?

2.1 无穷小与无穷大的关系

定理 在自变量的同一变化过程中, \(f(x)\)是无穷大的充要条件是\(\frac{1}{f(x)}\)是无穷小.

2.2 无穷大与无界

  • 无穷大一定无界, 无界的量不一定是无穷大.

思考 \(\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x} \ (x\to 0)\) 是不是无穷大?

3 极限的运算法则

  • 极限运算法则包括四则运算和复合函数的运算法则.
  • 运算法则主要用来求极限. 把复杂的极限化为已知的简单极限.
  • 注意使用条件是什么?

3.1 四则运算法则

定理 设 \(\lim f(x) = A\)，\(\lim g(x) = B\)，则

  1. \(\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B.\)
  2. \(\lim [f(x)\cdot g(x)] = A \cdot B.\)
  3. \(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)（\(B \ne 0.\)）

  • 推论 \(\lim [C \cdot f(x)] = C \cdot A\).

  • 推论 \(\lim [f(x)]^n = A^n\)（\(n\) 为正整数）

  • 注意条件, 两个极限都存在时, 才可以用四则运算.
  • 由此可以把一个复杂极限拆成两个.
  • 收敛+发散=发散.
  • 数列也有类似的运算法则.
  • 解决问题的思想: 化繁为简.
  • 用什么法则?
  • 有什么问题?
    • 分母为零.
  • 分母的极限为0, 怎么办?

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}.\)

解 \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{2}{-1} = -2.\)

3.2 有理函数的极限

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}.\)

  • 变形, 变成能用的再用?
  • 怎么变?
  • 同除最高次幂.

例 计算\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots+ a_1x+a_0}{b_m x^m +b_{m-1} x^{m-1}+ \cdots+ b_1x+b_0}=?\)

需分类讨论

  • 若 \(n = m\)，极限为 \(\frac{a_n}{b_m}\)；
  • 若 \(n < m\)，极限为 \(0\)；
  • 若 \(n > m\)，极限为 \(\infty\)（或不存在）。

3.3 复合函数的极限运算法则

  • 定理 若 \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = u_0\)，且 \(\displaystyle\lim_{u \to u_0} f(u) = A\)，且在 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(g(x) \ne u_0\)，则 \[ \lim_{x \to x_0} f(g(x)) = A. \]

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ x+1}+1}{x-1}.\)

  • 化繁为简
  • 简单怎么做?复杂怎么变简单?

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ x+1}-1}{x}.\)

  • 能不能用四则运算? 为什么?
  • 怎么变形?
  • 分子有理化.

例 已知 \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left( 5x-\sqrt{ ax^2-bx+c}\right) =2.\) 求\(a,b.\)

  • 困难在哪?
  • 有根号. 如何去根号?
  • 分子有理化.

4 无穷小的比较

注意: 本部分内容在学完下一节极限存在的两个准则之后再来学.

4.1 高阶无穷小

定义 如果\(\displaystyle\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha}{\beta}=0,\) 则称\({\alpha(x)}\)是\({\beta(x)}\)的高阶无穷小.

  • 记作\({\alpha}=o({\beta}).\)
  • 比如\(2x^2+5x^3=o({x}), x\rightarrow 0\) 时.
  • 判断是不是高阶无穷小, 两个一除, 看看极限等不等于0.
  • \({\beta(x)}\)也称为\({\alpha(x)}\)的低阶无穷小.

练习 证明\(x\rightarrow 0\) 时小\(o\)的运算公式 \[\begin{align} &o(x^2)o(x^3)=o(x^{5}), \ \ &x^2o(x^3)=o(x^{5}), \\ &o(x^2)+o(x^3)= o(x^2), \ \ &o(5x^2)= o(x^2). \end{align}\]

4.2 同阶无穷小与等价无穷小

定义 如果\(\displaystyle\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha}{\beta}=C\neq 0,\) 则称\({\alpha(x)}\)和\({\beta(x)}\)是同阶无穷小.

特别地, 如果 \(\displaystyle\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1,\) 则称\({\alpha(x)}\)和\({\beta(x)}\)是等价无穷小.

  • 记作\({\alpha(x)}\sim {\beta(x)}.\)
  • 比如\(\alpha(x)=5x+x^3,\beta(x)=5x-x^2,\) 则\({\alpha(x)}\sim {\beta(x)},\ (x\rightarrow 0).\)
  • \(\alpha(x),\beta(x)\)的主要部分都是\(5x\), 次要部分\(x^3,\) \(x^2\)和\(5x\)相比可以忽略.

定理 1 若 \(\alpha \sim \alpha'\)，\(\beta \sim \beta'\)，则 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}\)(在乘除中可替换).
定理 2 若 \(\alpha \sim \beta\)，则 \(\alpha - \beta = o(\alpha)\) 或 \(o(\beta)\).

\(x\rightarrow 0\) 时 \[ \sin x\sim \tan x\sim \arctan x \sim x,\quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2. \] \[ e^x-1\sim x,\quad \ln (1+x)\sim x, \quad (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x. \]

  • 这些结论可以用洛必达法则证明.
  • 能用就用, 可以化简
  • 和洛必达法则联合使用效率高.
  • 其中的\(x\)换成其它无穷小也成立. 例如 \[ a^x-1=e^{x\ln a}-1\sim x\ln a. \] \[ (1+\sin x)^\alpha-1\sim \alpha \sin x. \]

4.3 \(k\)阶无穷小

定义 如果\(\displaystyle\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha}{\beta^k}=C\neq 0,\) 则称\({\alpha(x)}\)为\({\beta(x)}\)的\(k\)阶无穷小.

特别地, 如果 \(\displaystyle\lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{x^k}=C\neq 0,\) 则称\({\alpha}\)是\({x}\)是\(x\)的\(k\)阶无穷小.

注意：并非任意两个无穷小都可比较(例如 \(\alpha = x\)，\(\beta = x \sin \frac{1}{x}\) 比值无极限).

4.4 一些无穷大的比较

\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n^\alpha }= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^k}{2^\alpha }= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n! }=0, \quad\alpha, k>0. \]

5 例题

例 求 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}\).

解 \(\tan x - \sin x = \sin x (1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}\)，故原式 \(= \frac{1}{2}\).