原函数与不定积分
\[ \int f(x)dx=F(x)+C \]
- 目标: 用定理解决问题.
- 重点: 定理条件是什么, 结论是什么.
- 难点: 什么时候用什么定理, 怎么用.
1 不定积分的概念
1.1 原函数
\[F'(x)=f(x).\]
定义 设\(f(x)\)在 \(I\) 上有定义, 如果存在函数\(F(x)\) ， 满足\(F'(x)=f(x)\)，则称 \(F(x)\) 为\(f(x)\) 的一个原函数.
- 例如\((x^3)'=3x^2\)，则称 \(x^3\) 是 \(3x^2\) 的一个原函数.
- 原函数\(F(x)\)的图形称为积分曲线.
- 如果\(F(x)\) 是\(f(x)\) 的原函数, 则 \(F(x)+C\) 也是\(f(x)\)的原函数.
- 如果\(F(x), G(x)\) 都是\(f(x)\) 的原函数, 则 \(F(x)-G(x)=C.\) 即两个原函数只相差一个常数.
1.2 不定积分
\[ {\int} {f(x)}\mathrm d{x}=F(x)+{C.} \]
定义 \(f(x)\) 的全体原函数构成的集合，称为不定积分，记作 \[ \underset{积分号}{\int} \underset{被积函数}{f(x)}\mathrm d\underset{积分变量}{x}=F(x)+\underset{积分常数}{C.} \]
- 不定积分是一族函数–所有原函数.
- 例 已知速度\(v=3t,\) 运动方程是什么?
- 例 已知每点\((x,y)\)的切线斜率为\(2x\), 曲线是什么?
知道了变化率(导数), 要去发现规律是什么, 就是求不定积分.
存在性定理 若函数在定义区间连续，则在该定义区间上存在原函数 \(F(x).\)
- 注意, 初等函数的原函数不一定是初等函数.
2 不定积分的性质
定理 积分与微分互逆. \[\begin{aligned} \left[\int f(x)dx\right]'=f(x),\quad d\int f(x)dx=f(x)dx.\\ \int f'(x)dx=f(x)+C,\quad \int df(x)=f(x)+C. \end{aligned}\]
命题 不定积分满足线性性质 \[\begin{aligned} \int kf(x)dx&=k\int f(x)dx,\\ \int [f(x)+g(x)]dx&=\int f(x)dx+\int g(x)dx. \end{aligned}\]
- 可以把一个复杂积分拆成两个简单积分计算.
3 基本积分公式
- \(C\) 为积分常数，\(a\)、\(k\) 为非零常数.
- 部分公式后面再证明.
\[ \int k \, dx = kx + C. \] \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1). \] \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C. \]
\[ \int e^x \, dx = e^x + C, \] \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1). \]
- 基本.
\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C, \] \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C, \] \[ \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| + C, \] \[ \int \cot x \, dx = -\ln|\csc x| + C, \]
\[ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C, \] \[ \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C, \]
- 补充
\[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C, \] \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C, \] \[ \int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C, \] \[ \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C. \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C = -\arccos x + C, \] \[ \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C. \]
\[ \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C, \] \[ \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C, \]
\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C, \] \[ \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C, \] \[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \, dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C, \] \[ \int \sqrt{x^2 \pm a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C. \]
4 例题
例 计算\[ \begin{align*} &\int (a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)\mathrm dx. \end{align*} \]
例 计算\[ \begin{align*} \int \dfrac{1}{(\cos x\sin x)^2}\mathrm dx. \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \int \dfrac{1}{(\cos x\sin x)^2}\mathrm dx&=\int \dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2x\sin^2x}\mathrm dx\\ &=\int (\dfrac{1}{\sin^2x}+\dfrac{1}{\cos^2x})\mathrm dx\\ &=-\cot x+\tan x+C. \end{align*} \]
- 想办法拆成两个.
- 去分母.
- 常数\(C\).
例 计算 \[ \begin{align*} \int \tan^2x\mathrm dx. \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \tan^2x=\sec^2 x-1. \end{align*} \]
例 计算\[ \begin{align*} \int \dfrac{x^4}{1+x^2}\mathrm dx. \end{align*} \]
- 去分母, 平方差公式.
计算\[ \begin{align*} \int \dfrac{x^4}{1+x^2}\mathrm dx&=\int \dfrac{x^4-1+1}{x^2+1}\\ &=\int (x^2-1)\mathrm dx+\int \dfrac{1}{1+x^2}\mathrm dx\\ &=\dfrac{1}{3}x^3-x+\arctan x+C. \end{align*} \]