换元法
\[\begin{aligned}&\int f(x)dx=F(x)+C\\ &\Rightarrow \int f(\varphi(t))d\varphi(t)=F(\varphi(t))+C. \end{aligned}\]
- 换元法是求不定积分的一种方法.
- 通过变量代换化简被积函数.
- 何时用?怎么用?
计算不定积分比较困难, 针对特殊的一些函数, 用换元法能够方便地求出来.
1 什么时候用换元法?
去根号
- 如果含有根号, 不容易计算. 如 \[\begin{aligned}&\int \sqrt{x^2-1}\ dx. \end{aligned}\]
被积函数是复杂的复合函数
- 没有办法拆分, 化简. 如 \[\begin{aligned}&\int x^2 e^{x^3}dx \end{aligned}\] 指数函数\(e^{x^3}\)的指数不能拆分, 只能当成一个整体处理.
2 第一类换元法（凑微分法）
如果 \(\displaystyle\int f({\color{blue}x})d{\color{blue}x} = F({\color{blue}x}) + C,\) 则\(\displaystyle\int f[{\color{blue}{\varphi(x)}}] d{\color{blue}{\varphi(x)}}= F[{\color{blue}{\varphi(x)}}] + C.\)
定理 设函数 \(f(x)\) 具有原函数 \(F(x)\)，且\(u = \varphi(x)\) 是可导函数，则有换元公式： \[\begin{aligned} &\int f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)dx \\ =&\int f[\varphi(x)] \cdot d\varphi(x)\\ =& F[\varphi(x)] + C. \end{aligned}\]
- 关键是将\(\varphi'(x)dx\) 凑成 \(d\varphi(x)\). 即把被积函数的一部分拿到\(d\)后面.
如果 \[\begin{aligned} &\int f({\color{red}x})d{\color{red}x} = F({\color{red}x}) + C, \end{aligned}\] 则 \[\begin{aligned} \int f[{\color{red}{\varphi(x)}}] \cdot d{\color{red}{\varphi(x)}}= F[{\color{red}{\varphi(x)}}] + C. \end{aligned}\]
比如\(\displaystyle\int e^{x} dx=e^x,\) 则\(\displaystyle\int e^{x^2+1} d(x^2+1)=e^{x^2+1}.\)
- 被积函数是复杂的复合函数, 没有办法拆分, 化简. 如 \[\begin{aligned}&\int x^2 e^{x^3}dx \end{aligned}\] 指数函数\(e^{x^3}\)的指数不能拆分, 只能当成一个整体处理.
- 凑出恰当的微分.
例 求 \(\displaystyle\int 2x \cos(x^2) dx.\)
\(\cos(x^2)\) 不能再拆分了, 所以\(x^2\) 要作为整体看待.
- \[ \int 2x \cos(x^2) dx = \int \cos x^2 \, dx^2 = \sin(x^2) + C. \]
例 求 \(\displaystyle\int e^{2x+1} dx.\)
\(e^{2x+1}\) 的指数\(2x+1\)可以作为一个整体看待.
- \[ \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}\int e^{2x+1} d(2x+1) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + C. \]
例 求 \(\displaystyle\int \tan x \, dx.\)
不知道\(\tan x\)的原函数.
- \[\begin{aligned} &\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \\ = &-\int \frac{1}{\cos x} d\cos x\\ =& -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C. \end{aligned}\]
例 求 \(\displaystyle\int \csc x \, dx.\)
- \[\begin{aligned} &\int \csc x dx= \int \frac{1}{\sin x} dx \\ = &\int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} d\cos x\\ = &\int \frac{1}{2\sin^2 \frac{x}{2}\,\cot \frac{x}{2}} d x\\ = &\int {\csc^2 \frac{x}{2}} \frac{1}{\cot \frac{x}{2}}d \frac{x}{2}\\ = &-\int \frac{1}{\cot \frac{x}{2}}d \cot \frac{x}{2}\\ =& -\ln|\cot \frac{x}{2}| + C =- \ln|\csc x-\cot x| + C. \end{aligned}\]
3 第二类换元法（变量代换法）
令 \(x=\varphi(t)\)，且 \(\varphi(t)\) 单调可导、\(\varphi'(t)\neq 0\)，则 \[ \int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt. \]
设函数 \(x = \psi(t)\) 是单调、可导的函数，且 \(\psi'(t) \neq 0\)， 则有换元公式： \[ \int f(x)dx = \int f[\psi(t)] \cdot \psi'(t)dt. \]
- 一般要求换元后的不定积分能够求出来.
- 还要回代, \(t = \psi^{-1}(x).\)
去根号
- 当被积函数含复杂根式（如 \(\sqrt{a^2-x^2}\)、\(\sqrt{x^2-a^2}\)、\(\sqrt{x^2+a^2}\) 等）时，通过令 \(x = \psi(t)\) 消去根式，将关于\(x\) 的积分转化为关于 \(t\) 的简单积分，求解后再通过反函数回代为 \(x\).
- 用三角代换.
- 固定步骤 要换全换. 参考下面的例题.
3.1 三角代换
对于含根式的积分, 通过三角代换去掉根号.
- 含 \(\sqrt{a^2 - x^2}\)，令 \(x = a\sin t\)；
- 含 \(\sqrt{a^2 + x^2}\)，令 \(x = a\tan t\)；
- 含 \(\sqrt{x^2 - a^2}\)，令 \(x = a\sec t\).
例 求 \(\displaystyle\int \sqrt{a^2 - x^2} dx\)（\(a > 0\).）
去根号, 用三角代换
步骤
- 令 \(x = a\sin t, t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，
- 则 \(dx = a\cos t dt.\)
- 要换全换. 全部代入后得 \[\begin{aligned} &\int {\color{red}{\sqrt{a^2 - x^2}}}\, {\color{blue}{dx}} \\ &= \int {\color{red}{\sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t}}}\, {\color{blue}{a\cos t dt}} \\ &= a^2 \int \cos^2 t dt. \end{aligned}\]
- 计算 \[\begin{aligned} &a^2 \int \cos^2 t dt = a^2 \int \frac{1 + \cos 2t}{2} dt \\ =& \frac{a^2}{2} \left( \int 1 dt + \int \cos 2t dt \right)\\ =&\frac{a^2}{2}t + \frac{a^2}{2}\sin t \cos t + C. \end{aligned}\]
- 回代变量. 由 \(x = a\sin t\)，得 \(\sin t = \frac{x}{a}\)，\(t = \arcsin\frac{x}{a}\)； 又 \(\cos t = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}\)（因 \(t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，\(\cos t \geq 0\)），代入得： \[ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + \frac{1}{2}x\sqrt{a^2 - x^2} + C. \]
- 说明: 要选取区间以保证单调可导且 \(\psi'(t) = a\cos t \neq 0\).
例 求 \(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx, a > 0.\)
当\(x>0\)时,
- 令 \(x = a\sec t\)（\(t \in (0, \frac{\pi}{2})\)，则： \[ \sqrt{x^2 - a^2} = a\tan t, \quad dx = a\sec t \tan t dt. \]
- 代入： \[\begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \int \frac{1}{a\tan t} \cdot a\sec t \tan t dt \\ = &\int \sec t dt= \ln|\sec t + \tan t| + C_1\\ =&\ln\left|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}\right| + C_1 \\ = &\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C. \end{aligned}\]
当\(x<0\)时, 得到也是上面的结果.
所以 \[\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx=\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C.\]
例 求\(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}\quad(a>0).\)
解: 令 \[ x=a\tan t,\quad t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). \]
则 \[ dx=a\sec^2t\,dt,\quad \sqrt{x^2+a^2}=a\sec t. \]
所以 \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} =\int \sec t\,dt =\ln|\sec t+\tan t|+C. \]
回代得 \[ \sec t=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a},\quad \tan t=\frac{x}{a}. \]
因此 \[ { \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} =\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C. } \]
3.2 直接代换
含有\(\sqrt{ax+b}\)直接用变量代换\(t=\sqrt{ax+b}.\)
例 求\(\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sqrt{2x+1}}.\)
解 令 \[ t=\sqrt{2x+1}, \]
则 \[ x=\frac{t^2-1}{2},\quad dx=t\,dt. \]
所以 \[ \int \frac{dx}{1+\sqrt{2x+1}} =\int \frac{t}{1+t}\,dt =\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt \]
\[ =t-\ln(1+t)+C. \]
回代 \(t=\sqrt{2x+1}\)，得 \[ { \int \frac{dx}{1+\sqrt{2x+1}} =\sqrt{2x+1}-\ln\left(1+\sqrt{2x+1}\right)+C. } \]
3.3 倒代换
例 求 \(\displaystyle\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} dx\).
令 \(x = \frac{1}{t}, t >0\)，则： \[ \sqrt{x^2 + 1} = \frac{\sqrt{1 + t^2}}{t}，\quad dx = -\frac{1}{t^2} dt. \]
全部代入： \[ \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} dx = \int \frac{1}{\left(\frac{1}{t^2}\right) \cdot \frac{\sqrt{1 + t^2}}{t}} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt \] 化简后： \[ -\int \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} dt \]
凑微分 \[ -\int \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} dt = -\frac{1}{2} \int \frac{d\sqrt{1 + t^2} }{\sqrt{1 + t^2}} = -\sqrt{1 + t^2} + C. \]
代回
\[ -\sqrt{1 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} + C = -\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + C. \]
\(t<0\) 类似得出.
可以用连等直接做. 此处为了说明过程, 分为较多步骤.
4 三角函数的回代
已知\(x=\sin t,\) 其它三角函数如何用\(x\)表示?
步骤:
画出一个三角形: 角度是\(t\), 对边是\(x\), 斜边是1.
另一个直角边是\(\sqrt{1-x^2}\)
由此得到其它三角函数的表示法.
