换元法与分部积分法

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[\begin{aligned}\int_a^b f(x)dx &=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))d\varphi(t) , \\ \quad\int_a^b udv &=uv\bigg|_a^b-\int_a^b vdu\end{aligned}\]

  • 求定积分的方法.
  • 关键是搞清楚何时用?怎么用?

1 换元法

1.1 何时用换元法?

  • 去根号. 如果含有根号, 不容易计算. 如 \[\begin{aligned}&\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx. \end{aligned}\]
  • 被积函数是复杂的复合函数, 没有办法拆分, 化简. 如 \[\begin{aligned}&\int_0^1 x^2 e^{x^3}dx \end{aligned}\] 指数函数\(e^{x^3}\)的指数不能拆分, 只能当成一个整体处理.

1.2 怎么用换元法?

设\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，\(x=\varphi(t)\)满足：

  1. \(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)；
  2. \(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)单调可导；
  3. \(\varphi'(t)\)在\([\alpha,\beta]\)连续；

则：\[\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\cdot\varphi'(t)dt.\]

  • 关键是选择合适的函数.
  • 要换全换. 参考下面的例题.

例(三角代换) 求 \(\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx\;(a>0).\)

  1. 令\(x=a\sin t\)，则 \[dx=a\cos tdt.\]
  2. 列表确定上下限
\(x=a\sin t\) \(0\) \(a\)
\(t\) \(0\) \(\frac{\pi}{2}\)
  1. 要换全换(积分区间, 被积函数, 积分变量\(dx\)) \[\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx=a^2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t dt=\frac{\pi a^2}{4}.\]
  • 说明: 积分上下限要对应, 没有大小关系.

1.3 常用公式

设函数\(f(x)\)在对称区间\([-a, a]\)上连续，则

  1. 若\(f(x)\)为偶函数，则 \[\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx.\]
  2. 若\(f(x)\)为奇函数，则 \[\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0.\]

拆分积分区间 + 换元法（令\(x = -t\)）.

  • 首先，根据定积分的区间可加性，将积分拆分为两段： \[ \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx. \tag{1} \]
  • 对积分\(\int_{-a}^{0} f(x) dx\)做换元：令\(x = -t\)，则： \[ \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-t) (-dt) = \int_{0}^{a} f(-t) .dt \]
  • 由奇偶性即得.

设函数\(f(x)\)是以\(T\)为周期的连续函数（即\(f(x + T) =f(x)\), 对任意\(x\)成立），证明：

  1. \(\displaystyle\int_{a}^{a+T} f(x) dx = \int_{0}^{T} f(x) dx \tag{1}\)
  2. \(\displaystyle\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = \int_{0}^{nT} f(x) dx = n\int_{0}^{T} f(x) dx \tag{2}\)（其中\(n\)为正整数）

并利用上述性质计算定积分： \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 - \sin2x} dx\)

将积分拆分为三段： \[\int_{a}^{a+T} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{T} f(x) dx + \int_{T}^{a+T} f(x) dx.\]

对第三个积分\(\int_{T}^{a+T} f(x) dx\)换元：

令\(x = t + T\)，则：

  • 微分变换：\(dx = dt\)；
  • 积分限变换：\(x=T \to t=0\)，\(x=a+T \to t=a\)；
  • 周期性代入：\(f(x) = f(t+T) = f(t)\)。

代入后得： \[\int_{T}^{a+T} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(x) dx\]

结合\[\int_{a}^{0} f(x) dx = -\int_{0}^{a} f(x) dx,\] 化简得： \[\int_{a}^{a+T} f(x) dx = -\int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{T} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{T} f(x) dx\]

等式(1)得证。

\[\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{a+kT}^{a+(k+1)T} f(x) dx.\]

对每个子积分换元结合等式(1)得： \[\int_{a+kT}^{a+(k+1)T} f(x) dx = \int_{a}^{a+T} f(u) du = \int_{0}^{T} f(x) dx\]

因此： \[\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \cdot \int_{0}^{T} f(x) dx.\]

令\(a=0\)，则\[\int_{0}^{nT} f(x) dx = n\int_{0}^{T} f(x) dx,\]等式(2)得证。

2 分部积分法

\[\begin{aligned} &\int_a^b udv=uv\bigg|_a^b-\int_a^b vdu. \end{aligned}\]

  • 目标: 计算定积分.
  • 策略: 交换\(u,v\)化简积分.
  • 重点: 何时用?怎么用?
  • 被积函数求导后简单. 如 \[\begin{aligned} &\ln x, \arctan x, \arcsin x. \end{aligned}\]
  • 经过一次或两次分部积分后, 又得到要求的不定积分, 出现循环. 通过解方程得到不定积分. 如 \[\begin{aligned} &\int_a^b e^x \sin {x}dx. \end{aligned}\]
  • 分部积分得到递推公式
  • 关键是找到合适的\(v\).

例 \(f''(x)\) 在 \([0,1]\) 连续，\(f(0)=1,f(2)=3,f'(2)=5\)，求 \(\displaystyle \int_0^1xf''(2x)\mathrm dx.\)

\[ \begin{align*} 原式&=\dfrac{1}{2}\int_0^1x \mathrm df'(2x)\\ &=\dfrac{1}{2}[xf'(2x)|_0^1-\int_0^1f'(2x)\mathrm dx]\\ &=\dfrac{1}{2}[1\times f'(2)-0-\dfrac{1}{2}\int_0^1 \mathrm df(2x)]\\ &=\dfrac{1}{2}[f'(2)-\dfrac{1}{2}[f(2)-f(0)]]=2. \end{align*} \]

例 求 \(I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx \mathrm dx\).

\(I_0=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}1 \mathrm dx=\dfrac{\pi}{2}.\)

\(I_1=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x \mathrm dx=-\cos x|_0^{\frac{\pi}{2}}=1\).

\[ \begin{align*} I_n&=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x \mathrm d\cos x\\ &=-\sin ^{n-1}x \cos x|_0^{\frac{\pi}{2}}+(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos^2x \sin^{n-2}x \mathrm dx\\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2x)\sin^{(n-2)}x \mathrm dx\\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{(n-2)}x \mathrm dx-(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin ^nx \mathrm dx\\ &=(n-1)I_{n-2}-I_n. \end{align*} \]

\(I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}.\)

\(I_{2m}=\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot \dfrac{\pi}{2}.\)

\(I_{2m+1}=\dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!}.\)

\[\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2},& n\mbox{是正偶数}, \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1,& n\mbox{是大于1的奇数}. \end{array} \right.\]