反常积分

作者

周忠国&孟祥芹 河海大学数学学院

\[\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)dx\]

  • 掌握定义及敛散性的判断和简单计算.

反常积分分为两类：
\(\quad\) 1. 积分区间是无穷区间, 也称为广义积分;
\(\quad\) 2. 被积函数是无界函数, 也称为瑕积分.

1 无穷区间上的反常积分

\[\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx.\]

设函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上连续，取 \(b > a\)，如果极限 \(\displaystyle\lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx\)存在，则称此极限为区间\([a, +\infty)\)上的反常积分, 记作\[\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx.\] 也称广义积分\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\) 收敛；否则称广义积分\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\) 发散.

下限为负无穷的反常积分 \[ \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx.\]

双向无穷限反常积分 \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{+\infty} f(x) dx, \] \(c\)为任意实数，需要两个广义积分均收敛.

例 计算\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx.\)

根据定义，先计算定积分： \[ \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{t} = -\frac{1}{t} + 1. \]

再取极限： \[ \lim_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{t} + 1 \right) = 1. \]

因此\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1\)，该反常积分收敛.

例 判断\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx\)的敛散性.

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \ln t = +\infty. \]

极限不存在，因此该反常积分发散.

例 计算\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx.\)

取中间点\(c=0\)，拆分积分： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx. \]

分别计算： \[ \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx \\ = &\lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx\\ = &\lim_{t \to -\infty} (\arctan 0 - \arctan t) = \frac{\pi}{2}. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1+x^2} dx \\ = &\lim_{t \to +\infty} (\arctan t - \arctan 0) = \frac{\pi}{2}.\end{aligned}\]

因此 \[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi. \]

反常积分就是将其转化为定积分的极限计算.

广义积分 \[\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx=\left\{\begin{array}{ll}收敛,& p>1 时, \\ 发散,& p\leq 1 时. \end{array} \right.\]

\(\because \displaystyle\int_u^0xe^{-x^2}\mathrm dx=-\dfrac{1}{2}\int_u^0e^{-x^2}\mathrm d(-x^2)=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}|_u^0=-\dfrac{1}{2}(1-e^{-u^2}).\)

\(\therefore\) 原式 \(\displaystyle =\lim_{n\to -\infty}-\dfrac{1}{2}(1-e^{-u^2})=-\dfrac{1}{2}\)，收敛.

例 求 \(f(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}(2-t)e^{-t}\mathrm dt\) 在 \([0,+\infty)\) 的最大值和最小值.

\(f'(x)=(2-x^2)e^{-x^2}\cdot 2x=0\)，驻点 \(x=\sqrt{2}\)，\((0,\sqrt{2})\) 单调上升，\((\sqrt{2},+\infty)\) 单调下降，所以 \(x=\sqrt{2}\) 为极大值点.

\(f(\sqrt{2})=\int_0^2(2-t)e^{-t}\mathrm dt=-(2-t)e^{-t}|_0^2-\int_0^2e^{-t}\mathrm dt=1+e^{-2}.\)

又 \(f(0)=0.\) 所以 \[ \begin{align*} \lim_{x\to +\infty}f(x)&=\int_0^{+\infty}(2-t)e^{-t}\mathrm dt\\ &=\lim_{u\to +\infty}\int_0^u(2-t)e^{-t}\mathrm dt\\ &=\lim_{u\to +\infty}[(u-2)e^{-u}+e^{-u}+1]=1. \end{align*} \]

\(\therefore\) 最小值 \(f(0)=0\)，最大值 \(f(\sqrt{2})=1+e^{-2}.\)

例 判断\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{2x}{1+x^2}\mathrm dx\)的敛散性.

\[ \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{2x}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-\infty}^0\dfrac{2x}{1+x^2}\mathrm dx+\int_0^{+\infty}\dfrac{2x}{1+x^2}\mathrm dx. \end{align*} \] \[ \begin{align*} \int_0^{+\infty}\dfrac{2x}{1+x^2}\mathrm dx&=\lim_{u\to +\infty}\int_0^u\dfrac{1}{1+x^2}\mathrm d(1+x^2)\\ &=\lim_{u\to +\infty}|\ln(1+x^2)||_0^u=+\infty，发散 \end{align*} \]

\(\therefore\) 原积分发散.

例(重要) 证明 \(\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}\mathrm dx(a\gt 0)\) 在 \(p\gt 1\) 时收敛，在 \(p\le 1\) 时收敛.

\[ \begin{align*} \int_a^u\dfrac{1}{x^p}\mathrm dx=\begin{cases} \dfrac{1}{1-p}(u^{1-p}-a^{1-p}), \quad &p\ne 1.\\ \ln u-\ln a, \quad &p=1. \end{cases} \end{align*} \]

从而 \[ \begin{align*} \lim_{u\to +\infty}\int_a^u\dfrac{1}{x^p}\mathrm dx=\begin{cases} \dfrac{a^{1-p}}{p-1},\quad &p\gt 1.\\ +\infty,\quad &p\le 1. \end{cases} \end{align*} \]

1.1 广义积分敛散性判别

定理 若\(f(x)\) 在 \([a,u]\) 上可积，\(\displaystyle \int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm dx\) 收敛, 则 $ _a^{+}f(x)dx$ 收敛，且 \[\displaystyle |\int_a^{+\infty} f(x)\mathrm dx|\le \int_a^{+\infty} |f(x)|\mathrm dx.\]

设\(f(x), g(x) \geq 0\)，且在\([a, +\infty)\)上可积，若\(0 \leq f(x) \leq g(x)\)：

  • 若\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)收敛，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；
  • 若\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)发散，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)发散.

若\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L\)（\(L\)为非负实数或\(+\infty\)）：

  • 若\(0 < L < +\infty\)，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)与\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)同敛散；
  • 若\(L=0\)且\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)收敛，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；
  • 若\(L=+\infty\)且\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)发散，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)发散.

例 证明 \(\displaystyle \int_a^{+\infty}\dfrac{1}{x}\mathrm dx\) 发散, \(\displaystyle \int_1^{+\infty}\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{1+x^2}\) 发散, \(\displaystyle \int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\mathrm dx\) 收敛.

2 无界函数的反常积分

若函数\(f(x)\)在\((a, b]\) 上连续且 \(\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)=\infty,\)   取\(\varepsilon>0,\) 若\(\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx\) 存在,  则称此极限为\(f(x)\)在\((a, b]\)上的瑕积分, 记为 \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx. \] 点\(a\)称为瑕点. 也称瑕积分\(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx\)收敛, 否则称其为发散.

若瑕点为\(x=b\)，则定义： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx. \]

若 \(x=c\quad(c\in(a,b))\) 为瑕点，且在 \([a,c)\cup (c,b]\) 上连续，则 \[ \int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{u\to c^-}\int_a^uf(x)\mathrm dx+\lim_{u\to c^+}\int_b^uf(x)\mathrm dx. \]

3 反常积分的收敛性判断

和广义积分类似, 有比较判别法.

例 计算\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx,\) \(x=0\)为瑕点.

根据瑕积分定义： \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/2} dx. \]

计算定积分： \[ \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/2} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{\varepsilon}^{1} = 2 - 2\sqrt{\varepsilon}. \]

取极限： \[ \lim_{\varepsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\varepsilon}) = 2 \]

因此\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\)，该瑕积分收敛.

例 判断 \(\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{(x-a)^p}\mathrm dx\)的敛散性.

\[ \int_a^b\dfrac{1}{(x-a)^p}\mathrm dx=\lim_{u\to a^+}\int_a^u\dfrac{1}{(x-a)^p}\mathrm dx. \]

\(x=a\) 为瑕点. \[ \begin{align*} \int_u^b\dfrac{1}{(x-a)^p}\mathrm dx=\begin{cases} \ln|x-a||_u^b, \quad &p=1,\\ \dfrac{1}{-p+1}(x-a)^{-p+1}|_u^b, \quad &p\ne 1.\\ \end{cases} \end{align*} \]

\(\therefore p\lt 1\)收敛，\(p\ge 1\)发散.