分部积分法

\[\begin{aligned} &\int_a^b udv=uv\bigg|_a^b-\int_a^b vdu. \end{aligned}\]

• 目标: 计算定积分.
• 策略: 交换\(u,v\)化简积分.
• 重点: 何时用?怎么用?

---

1 何时用?

以下情形

• 被积函数求导后简单. 如 \[\begin{aligned} &\ln x, \arctan x, \arcsin x. \end{aligned}\]

• 经过一次或两次分部积分后, 又得到要求的不定积分, 出现循环. 通过解方程得到不定积分. 如 \[\begin{aligned} &\int_a^b e^x \sin {x}dx. \end{aligned}\]

• 分部积分得到递推公式

2 怎么用?

• 关键是找到合适的\(v\).

3 常用公式

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx\)

证明: \[\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2},& n\mbox{是正偶数}, \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1,& n\mbox{是大于1的奇数}. \end{array} \right.\]