微积分基本公式

\[\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\]

  • 微积分基本定理揭示了微分运算与定积分运算的互逆关系.
  • 简化了定积分的计算.
  • 积分上限函数的导数等于被积函数.

1 用定义计算定积分为什么难?

\[ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i. \]

  • 定积分是和式的极限, 这些和一般不能写成一个表达式.
  • 因此极限不容易求.
  • 一般反过来, 把这样的极限化为定积分来求.

2 如何换个角度容易地计算定积分?

以\(S=\displaystyle\int_1^2 x^2dx\)为例, 说明转换过程.

  • 假设\(x\in [1,2]\), 令\(S(x)=\displaystyle\int_1^x t^2dt\) 表示\([a,x]\)之间的面积.

  • 把求\(S\)的问题转化为求面积函数\(S(x)\)的问题.

  • 而且\(S=S(2)\)是函数值.

  • 定积分是一个数反而没有办法处理.

  • 变成面积函数\(S(x)\), 就可以用导数等工具处理.

  • 研究一个函数的方法就看他如何随着自变量的变化而变化, 即: 变化率, 导数.

  • 计算导数 \[\begin{aligned} &\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta x}\\ =&\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{S((x+\Delta x)-S(x)}{\Delta x}\\ =&\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\int_1^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_1^{x}f(t)dt}{\Delta x}\\ =&\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt}{\Delta x}\\ =&\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ f(\xi)\Delta x}{\Delta x}= f(x). \end{aligned}\]

  • 即 \[S'(x)=(x^2)'=2x.\]

  • \(S(x)=\frac{1}{3}x^3+C\),

  • 再由\(S(1)=0\)得 \[S(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}.\]

  • 最后 \[\int_1^2 x^2dx=S(2)=\frac{7}{3}x^3.\]

  • 把定积分变成一个原函数在积分上下限的函数值的差.

  • 问题转化为计算原函数.

  • 积分的问题变成微分(导数)的问题.

3 积分上限函数

  • 其导数等于被积函数

  • 积分上限函数是被积函数的一个原函数.

  • 设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则 \[F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt, \quad x \in [a, b]\] 在 \([a, b]\) 上可导，且其导数为： \[F'(x) = \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt = f(x), \quad \forall x \in [a, b].\]

复合形式

若 \(u(x)\) 在 \([m, n]\) 上可导，且 \(u(x) \in [a, b]\)，\(f(t)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则： \[\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)}f(t)dt = f(u(x)) \cdot u'(x).\]

若上下限均为关于 \(x\) 的可导函数 \(u(x)\)、\(v(x)\)，则： \[\frac{d}{dx}\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x).\]

4 牛顿-莱布尼茨公式

设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的任意一个原函数（即 \(F'(x) = f(x)\)），则： \[\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a).\] 通常简记为： \[\int_{a}^{b}f(x)dx = F(x)\bigg|_{a}^{b}.\]

5 例题

  • 积分上限函数就是一个函数, 其导数易求.

求 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}t^2 dt\).

  • 解: \[\frac{d}{dx}\int_{\sin x}^{\cos x}t^2 dt = (\cos x)^2 \cdot (\cos x)' - (\sin x)^2 \cdot (\sin x)'.\] \[ = -\cos x \sin x (\cos x + \sin x).\]

求 \(\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{1}^{ x} (x-t)e^t dt\).

  • 通过变量代换, 分解等方法把被积函数中的\(x\)消去.
  • 注意: 因为积分变量是\(t\), 被积函数中的\(x\)是常数, 可以提到积分号的外面.

\[\int_{1}^{ x} (x-t)e^t dt=x\int_{1}^{ x} e^t dt-\int_{1}^{ x} te^t dt.\]

计算 \(\displaystyle\lim\limits_{x \to 0}\frac{\int_{0}^{x^2}\cos t^2 dt}{x^2}.\)

  1. 验证极限类型：当 \(x \to 0\) 时，\(x^2 \to 0\)，故 \(\int_{0}^{x^2}\cos t^2 dt \to 0\)，为 \(\frac{0}{0}\) 型.
  2. 应用洛必达法则