换元法

\[\begin{aligned}&\int f(x)dx=F(x)+C\\ &\Rightarrow \int f(\varphi(t))d\varphi(t)=F(\varphi(t))+C. \end{aligned}\]

  • 目标: 求出原函数.
  • 策略: 通过变量代换化简被积函数.
  • 重点: 何时用?怎么用?

1 什么时候用换元法?

  • 去根号. 如果含有根号, 不容易计算. 如 \[\begin{aligned}&\int \sqrt{x^2-1}\ dx. \end{aligned}\]

  • 被积函数是复杂的复合函数, 没有办法拆分, 化简. 如 \[\begin{aligned}&\int x^2 e^{x^3}dx \end{aligned}\] 指数函数\(e^{x^3}\)的指数不能拆分, 只能当成一个整体处理.

2 第一类换元法（凑微分法）

设函数 \(f(x)\) 具有原函数 \(F(x)\)，且\(u = \varphi(x)\) 是可导函数，则有换元公式： \[\begin{aligned} &\int f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)dx \\ =&\int f[\varphi(x)] \cdot d\varphi(x)\\ =& F[\varphi(x)] + C. \end{aligned}\]

  • 关键是将\(\varphi'(x)dx\) 凑成 \(d\varphi(x)\).
  • 被积函数是复杂的复合函数, 没有办法拆分, 化简. 如 \[\begin{aligned}&\int x^2 e^{x^3}dx \end{aligned}\] 指数函数\(e^{x^3}\)的指数不能拆分, 只能当成一个整体处理.
  • 凑出恰当的微分.

求 \(\displaystyle\int 2x \cos(x^2) dx\)

  • 为什么用换元法?

\(\cos(x^2)\) 不能再拆分了, 所以\(x^2\) 要作为整体看待.

  • \[ \int 2x \cos(x^2) dx = \int \cos x^2 \, dx^2 = \sin(x^2) + C. \]

求 \(\displaystyle\int e^{2x+1} dx.\)

  • 为什么用换元法?

\(e^{2x+1}\) 的指数\(2x+1\)可以作为一个整体看待.

  • \[ \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}\int e^{2x+1} d(2x+1) = \frac{1}{2}e^{2x+1} + C. \]

求 \(\displaystyle\int \tan x \, dx\)

  • \[\begin{aligned} &\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \\ = &-\int \frac{1}{\cos x} d\cos x\\ =& -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C. \end{aligned}\]

3 第二类换元法（变量代换法）

设函数 \(x = \psi(t)\) 是单调、可导的函数，且 \(\psi'(t) \neq 0\)，若 \(f[\psi(t)] \cdot \psi'(t)\) 具有原函数 \(G(t)\)（即 \(\int f[\psi(t)] \cdot \psi'(t)dt = G(t) + C\)），则有换元公式： \[ \int f(x)dx = \left. \int f[\psi(t)] \cdot \psi'(t)dt \right|_{t=\psi^{-1}(x)} = G[\psi^{-1}(x)] + C \] 其中 \(t = \psi^{-1}(x)\) 是 \(x = \psi(t)\) 的反函数。

  • 去根号.

当被积函数含复杂根式（如 \(\sqrt{a^2-x^2}\)、\(\sqrt{x^2-a^2}\)、\(\sqrt{x^2+a^2}\) 等）时，通过令 \(x = \psi(t)\) 消去根式，将关于\(x\) 的积分转化为关于 \(t\) 的简单积分，求解后再通过反函数回代为 \(x\).

  • 用三角代换.
  • 要换全换. 参考下面的例题.

求 \(\displaystyle\int \sqrt{a^2 - x^2} dx\)（\(a > 0\).）

  • 去根号, 用三角代换.

步骤

  1. 令 \(x = a\sin t, t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，

  2. 则： \[ dx = a\cos t dt. \]

  3. 要换全换. 全部代入后： \[ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int a\cos t \cdot a\cos t dt = a^2 \int \cos^2 t dt. \]

  4. 计算 \[\begin{aligned} &a^2 \int \cos^2 t dt = a^2 \int \frac{1 + \cos 2t}{2} dt \\ =& \frac{a^2}{2} \left( \int 1 dt + \int \cos 2t dt \right)\\ =&\frac{a^2}{2} \left( t + \frac{1}{2}\sin 2t \right) + C \\ =&\frac{a^2}{2}t + \frac{a^2}{2}\sin t \cos t + C. \end{aligned}\]

  5. 回代变量.

由 \(x = a\sin t\)，得 \(\sin t = \frac{x}{a}\)，\(t = \arcsin\frac{x}{a}\)； 又 \(\cos t = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}\)（因 \(t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，\(\cos t \geq 0\)），代入得： \[ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + \frac{1}{2}x\sqrt{a^2 - x^2} + C. \]

  • 说明: 要选取区间以保证单调可导且 \(\psi'(t) = a\cos t \neq 0\).

求 \(\displaystyle\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} dx\).

  • 分母次数较高, 使用倒代换.

  • 令 \(x = \frac{1}{t}, t >0\)，则： \[ \sqrt{x^2 + 1} = \frac{\sqrt{1 + t^2}}{t}，\quad dx = -\frac{1}{t^2} dt. \]

  • 全部代入： \[ \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} dx = \int \frac{1}{\left(\frac{1}{t^2}\right) \cdot \frac{\sqrt{1 + t^2}}{t}} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt \] 化简后： \[ -\int \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} dt \]

  • 凑微分 \[ -\int \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} dt = -\frac{1}{2} \int \frac{d\sqrt{1 + t^2} }{\sqrt{1 + t^2}} = -\sqrt{1 + t^2} + C. \]

  • 代回

\[ -\sqrt{1 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} + C = -\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} + C. \]

  • \(t<0\) 类似得出.

  • 可以用连等直接做. 此处为了说明过程, 分为较多步骤.

求 \(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx\)（\(a > 0\)，三角代换）

  • 令 \(x = a\sec t\)（\(t \in (0, \frac{\pi}{2})\)，则： \[ \sqrt{x^2 - a^2} = a\tan t, \quad dx = a\sec t \tan t dt. \]

  • 代入： \[\begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \int \frac{1}{a\tan t} \cdot a\sec t \tan t dt \\ = &\int \sec t dt= \ln|\sec t + \tan t| + C\\ =&\ln\left|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}\right| + C \\ = &\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| - \ln a + C. \end{aligned}\]

  • 最后一个常数\(C\)和前面的不同. 应把前面的写成\(C_1.\)

4 三角函数的回代

已知\(x=\sin t,\) 其它三角函数如何用\(x\)表示?

步骤:

  • 画出一个三角形: 角度是\(t\), 对边是\(x\), 斜边是1.

  • 另一个直角边是\(\sqrt{1-x^2}\)

  • 由此得到其它三角函数的表示法.