无穷小与无穷大
\[\lim a_n=0;\, \lim f(x)=0\]
- 目标: 比较无穷小; 保留低阶, 忽略高阶无穷小.
- 策略: 直接相比.
- 方法: 等价无穷小代换; 求极限
- 重点: 概念与等价无穷小代换
1 基本概念
提示无穷小是什么?
- 极限为0的量称为无穷小.
- 不管这个量是一元函数还是多元函数, 还是数列, 只要极限是0, 就是无穷小.
- 各种变化量\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)一般也是无穷小.
注记无穷小的运算法则
- 两个无穷小和, 差, 积仍是无穷小.
- 无穷小与有界量的积仍是无穷小.
提示极限与无穷小
\[ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}(f(x)-A)=0. \]
- 不管一元函数还是多元函数, 极限的问题, 归结为无穷小, 用无穷小来说更为清晰.
注记连续,导数与无穷小
\[ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0;\quad \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=a. \]
- 连续函数等价于说\(\Delta y\)是无穷小.
- 可导等价于说两个无穷小的比值\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)有极限.
2 为什么要研究无穷小?
注记原因
- 研究函数变化时, 变化量一般都是无穷小.
- 逼近函数时, 一般误差越来越小, 误差是无穷小.
3 无穷小的比较
- 误差一般表示为无穷小, 如果要求的误差不同, 很自然要比较它们的大小, 即比较无穷小.
提示等价无穷小
如果 \[ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1. \] 则称为两个是等价无穷小. 记作 \[ {\alpha(x)}\sim {\beta(x)}. \]
- 比如\(\alpha(x)=5x+x^3,\beta(x)=5x-x^2,\ (x\rightarrow 0).\)
- \(\alpha(x),\beta(x)\)的主要部分都是\(5x\),相同.
- 而次要部分是\(x^3,\) \(x^2\), 它们和主要部分相比可以忽略.
注记高阶, 同阶无穷小与小o记号
- 如果\[ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha}{\beta}=C\neq 0, \]
- 则称\({\alpha(x)}\)和\({\beta(x)}\)是同阶无穷小. \[ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{\alpha}{\beta}=0 \Leftrightarrow {\alpha}=o({\beta}). \]
- 则称\({\alpha(x)}\)是\({\beta(x)}\)的高阶无穷小.
- 小o的运算公式 \[\begin{align} &x\rightarrow 0\ 时,\\ &o(x^2)o(x^3)=o(x^{5}), \\ &x^2o(x^3)=o(x^{5}), \\ &o(x^2)+o(x^3)= o(x^2), \\ &o(5x^2)= o(x^2). \end{align}\]
- 无穷小之间进行比较大小, 进行运算. 就好像很多误差要比较一下, 最后总的误差是多少?
提示等价无穷小 (经常用到, 牢记!)
\(x\rightarrow 0\) 时 \[ \sin x\sim \tan x\sim \arctan x \sim x,\quad 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2. \] \[ e^x-1\sim x,\quad \ln (1+x)\sim x, \quad (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x. \]
- 这些结论可以用洛必达法则证明.
- 能用就用, 可以化简.
- 和洛必达法则联合使用效率高.
- 其中的\(x\)换成其它无穷小也成立. 例如 \[ a^x-1=e^{x\ln a}-1\sim x\ln a. \] \[ (1+\sin x)^\alpha-1\sim \alpha \sin x. \]
4 无穷大
\[\lim\, a_n=\infty.\]
- 无穷大的倒数就是无穷小.
提示一些无穷大的比较
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n^\alpha }= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^k}{2^\alpha }= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n! }=0, \quad\alpha, k>0. \]
注记无穷大与无界
请举例说明
- 无界不一定是无穷大.
- 无穷大一定是无界.