连续函数

\[\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,\quad \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\]

  • 连续的定义与间断点的分类
  • 闭区间上连续函数的性质
  • 零点定理, 介值定理

1 内容

  • 初等函数在其定义域内连续.

  • 判断一点处是否连续用定义证明.

  • 两种形式, 哪个方便用哪个. \[ \displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,\quad \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0). \]

  • 连续时, 用代入法求极限.

  • 间断点按其左右极限是否存在分为第一类, 第二类.

  • 第一类 \[ \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x), 和 \lim_{x\rightarrow x_0^-}都存在. \]

    1. 可去间断点
    2. 跳跃间断点

  • 第二类: 至少一个不存在.

分类间断点的步骤

  1. 先找出可能的间断点: 没有意义的点和端点.
  2. 逐一用定义判断, 分类.
  • 闭区间上的连续函数有最大值和最小值

条件是什么? 结论是什么?

  • 闭区间上的连续函数的零点定理与介值定理

条件是什么? 结论是什么? 什么时候用? 怎么用?

  • 一般证明某个函数有根, 使用时先构造合适的函数.
  • 何时用?

一般证明某个函数有根.

  • 怎么用? 固定步骤!
    1. 构造函数
    2. 验证条件
    3. 得出结论

2 题目

  • 完全按照定义计算或证明, 分类间断点.

  • 关键是要知道什么时候要用零点定理来解决题目.

设\(f: [a,b]\rightarrow [a,b]\)为连续函数, 证明: 存在\(\xi\in [a,b],\) 使得 \(f(\xi)=\xi.\)

移到一边, \[f(\xi)-\xi=0.\] 即证方程\(f(x)-x=0\)有根.

  1. 构造函数

  2. 验证条件

  3. 应用零点定理.

无