连续函数

\[\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,\quad \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\]

• 连续的定义与间断点的分类
• 闭区间上连续函数的性质
• 零点定理, 介值定理

---

1 内容

注记连续的相关概念

• 定义有两种形式, 哪个方便用哪个. \[ \displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\Delta y=0,\quad \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0). \]
• 初等函数在其定义域内连续.
• 判断一点处是否连续用定义证明.
• 连续时, 用代入法求极限.

注记连续函数的图像什么样?

•   连续不断

注记间断点

• 间断点按其左右极限是否存在分为第一类, 第二类.

• 第一类 \[ \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x), 和 \lim_{x\rightarrow x_0^-}都存在. \]

  1. 可去间断点
  2. 跳跃间断点

• 第二类: 至少一个不存在.

• 画出图形或举一些例子

分类间断点的步骤

1. 先找出可能的间断点: 没有意义的点和端点.
2. 逐一用定义判断, 分类.

警告闭区间上连续函数的性质

• 闭区间上的连续函数有最大值和最小值.
  条件是什么? 结论是什么?
• 闭区间上的连续函数的零点定理与介值定理.
  条件是什么? 结论是什么? 什么时候用? 怎么用?
• 一般证明某个函数有根, 使用时先构造合适的函数.

警告零点定理

• 何时用?
  一般证明某个函数有根.

• 怎么用? 固定步骤!

  1. 构造函数
  2. 验证条件
  3. 得出结论

2 题目

• 完全按照定义计算或证明, 分类间断点.
• 关键是要知道什么时候要用零点定理来解决题目.

注记例  零点定理

设\(f: [a,b]\rightarrow [a,b]\)为连续函数, 证明: 存在\(\xi\in [a,b],\) 使得 \(f(\xi)=\xi.\)

提示思路怎么来?

提示要证什么?

移到一边, \[f(\xi)-\xi=0.\] 即证方程\(f(x)-x=0\)有根.

提示如何证明

1. 构造函数.
2. 验证条件.
3. 应用零点定理.