单调有界与夹逼准则

\[单调有界必有极限\]

  • 都是判断极限是否存在的方法, 有固定的套路解决这样的问题,
  • 一般用递推公式给出数列时使用.
  • 证明单调: 前后两项相减, 或相除, 可以用数学归纳法.
  • 证明有界, 可以不等式或数学归纳法.
  • 求极限就是解方程.
  • 没有思路时先计算前几项看看.

1 单调有界必有极限 (固定解法)

  • 如果单调递增有上界, 则数列收敛.
  • 如果单调递减有下界, 则数列收敛.
  • 数列用递推方式给出.\[ a_n=f(a_{n-1}).\]

  1. 证明单调

  2. 证明有界

  3. 计算极限

  • 先在草稿纸上求出极限, 作为界的提示. 由\[\lim a_n=f(\lim a_{n-1})\] 得极限\(a\)满足关系式\[ a=f(a).\]

  • 用数学归纳法, 或函数的最值, 或不等式证明有界.

  • 不知道递增还是递减先求几项看看.

  • 可以用数学归纳法, 函数的导数证明单调.

  • 证明单调一般前后两项相减, 或相除.

  • 在数列的递推公式两边取极限, 注意舍去不可能的根.

  • 即使单调, 有界没有证明出来, 也可以求出极限.

2 夹逼准则 (固定解法)

  1. 数列版：\(n>N\) 时 \(x_n\le y_n\le z_n\)，且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n=A\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=A\)
  2. 函数版：\(x_0\) 去心邻域内 \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)，且 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=A\)，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)
  • 判断极限存在的一种方法.
  • 使用时涉及到3个数列.
  • 把原数列适当的放大和缩小即得另外两个数列.
  • 放大, 缩小的方法就是去掉或增加高阶的无穷小.
  • 数列以求和的形式给出,
  • 或表达式较为复杂, 需要放缩进行化简.

  1. 对数列进行放大和缩小.

  2. 放大和缩小, 就是忽略高阶无穷小. 可以用泰勒公式帮助放缩.

3 题目

求 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\dots+\frac{n}{n^2+n}\right).\)

  • 解：设 \(y_n=\frac{1}{n^2+1}+\dots+\frac{n}{n^2+n}\)，放缩得 \[\frac{1+2+\dots+n}{n^2+n}\le y_n\le\frac{1+2+\dots+n}{n^2+1}.\]

  • 求两边极限： \[\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+n}=\frac{1}{2}, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+1}=\frac{1}{2}.\]

  • 由夹逼准则，\(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\boldsymbol{\frac{1}{2}}.\)

求 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}.\)

  • 解：放缩得 \(3^n\le1+2^n+3^n\le3\cdot3^n\)，所以 \[3\le\sqrt[n]{1+2^n+3^n}\le3\cdot\sqrt[n]{3}.\]

  • \(\lim\limits_{n\to\infty}3=3\)，\(\lim\limits_{n\to\infty}3\cdot\sqrt[n]{3}=3\)，故 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=\boldsymbol{3}.\)

已知 \(x_1=\sqrt{2},x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\)，求 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n.\)

  • 解：
  1. 证单调：作差得 \(x_{n+1}-x_n>0\)，
  2. 证有界：数学归纳法证 \(x_n<2\)，
  3. 求极限：设\(\lim x_n=A\)，则 \(A=\sqrt{2+A}\)，解得\(A=2\)（舍负根）
  • 故 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\boldsymbol{2}\)

已知 \(x_1=1,x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}\)，求 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n.\)

  • 解：
    1. 证单调：奇偶项分别单调，整体收敛；
    2. 证有界：\(1<x_n<2\)，有界；
    3. 求极限：设\(\lim x_n=A\)，则 \(A=1+\frac{1}{A}\)，解得\(A=\boldsymbol{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.\)

设\(x_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n,\) 证明数列\(\{x_n\}\)收敛.

  • 递推数列.

证明:

  1. 单调.

由Lagrange中值定理 \[\begin{align} &\ln (n+1)-\ln n=\frac{1}{\xi}, \xi\in (n, n+1).\\ &\therefore \frac{1}{n+1}<\ln (n+1)-\ln n<\frac{1}{n}. \end{align} \]

\[\begin{align} &x_{n+1}-x_n=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\ln (n+1)-(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)\\ =&\frac{1}{n+1}+\ln n-\ln (n+1)\\ =&\frac{1}{n+1}-\ln (1+\frac{1}{n})<0. \end{align} \] 所以数列\(\{x_n\}\)单调地递减.

  • 说明: 此单调性可以用泰勒公式, 或Lagrange中值定理, 导数等证明.
  1. 有下界.

\[\begin{align} &\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\\ =&\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln \frac{n}{n-1}\cdot\frac{n-1}{n-2}\cdots \frac{2}{1}\\ =&\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln \frac{n}{n-1}-\ln\frac{n-1}{n-2}-\cdots -\ln\frac{2}{1}\\ =&\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}(\frac{1}{k}-\ln \frac{k+1}{k}) >0. \end{align} \]

由单调有界准则数列\(\{x_n\}\)收敛.

设\(a_1=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}), n=1, 2, \cdots.\) 证明: 数列\(\{a_n\}\)收敛, 并求其极限.

  • 递推数列.

证明:

  1. 有界.

由平均值不等式有 \[a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})\geq 1.\]

  1. 单调.

\[\begin{align} &a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})-a_n\\ =&\frac{1-a_{n}^2}{2a_{n}}\leq 0. \end{align} \] 所以数列\(\{a_n\}\)单调地递减.

由单调有界准则数列\(\{x_n\}\)收敛.

  1. 求极限. 设\(\lim_{n\to \infty}a_{n}=a.\) 则有 \[a=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a}). \]

解得\(a=1(-1 舍去).\)