定积分的应用

\[M=\int_a^b dM,\ dM=f(x)dx\]

  • 目标: 把要求的对象写成定积分.
  • 方法: 微元法.
  • 重点: 面积与旋转体的体积.

1 微元法

微元法（元素法）是将连续分布的整体量分解为无穷多个“微小元素”，通过定积分对微元求和以求解整体量的方法，是定积分应用的核心思想。

设所求的整体量\(U\)满足以下条件：

  1. \(U\)与一个变量\(x\)的变化区间\([a,b]\)相关；
  2. \(U\)具有可加性：即把\([a,b]\)分成若干子区间，\(U\)等于各子区间上对应的局部量\(\Delta U_i\)之和；
  3. 对于任意子区间\([x,x+dx]\)，对应的局部量\(\Delta U\)可近似表示为\(dU = f(x)dx\)（称\(dU\)为\(U\)的微元），且\(\Delta U - dU\)是\(dx\)的高阶无穷小（即\(\lim\limits_{dx \to 0} \frac{\Delta U - dU}{dx} = 0\)）。

则整体量\(U\)可表示为定积分： \[U = \int_{a}^{b} f(x) dx.\]

微元法的关键是“找微元、建积分”，具体步骤如下：

  • 步骤1：确定积分变量与积分区间

根据问题背景，选择合适的积分变量（如\(x\)或\(y\)），确定其变化范围\([a,b]\)（积分区间）。

  • 步骤2：取微元区间，构造微元\(dU\)

在区间\([a,b]\)上任取一微小子区间\([x, x+dx]\)，分析该子区间上对应的局部量\(\Delta U\)，将其近似表示为\(dx\)的线性函数（忽略高阶无穷小），即： \[\Delta U \approx dU = f(x) dx,\] \(f(x)\)为区间\([x,x+dx]\)上的“平均变化率”或“密度”类函数

  • 步骤3：建立定积分并计算 将微元在积分区间\([a,b]\)上积分，得到整体量： \[ U = \int_{a}^{b} f(x) dx. \]
  • 最后计算定积分即可得到结果。

2 应用实例

问题：求由曲线\(y = x^2\)与直线\(y = 2x\)围成的平面图形的面积。

  1. 确定积分区间： 联立方程\(\begin{cases}y = x^2 \\ y = 2x\end{cases}\)，解得交点为\((0,0)\)和\((2,4)\)，取\(x\)为积分变量，区间为\([0,2]\)。

  2. 构造面积微元\(dA\)： 在\([x, x+dx]\)上，图形的“高”为上曲线减下曲线：\(2x - x^2\)，因此面积微元： \[ dA = (2x - x^2) dx. \]

  3. 建立定积分并计算： \[ A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = \left. \left(x^2 - \frac{1}{3}x^3\right) \right|_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}. \]

结论：所求平面图形的面积为\(\frac{4}{3}\)。

问题：求由曲线\(y = \sqrt{x}\)、直线\(x=4\)和\(x\)轴围成的图形绕\(x\)轴旋转一周的体积。

  1. 确定积分区间： 积分变量取\(x\)，范围为\([0,4]\)。

  2. 构造体积微元\(dV\)： 绕\(x\)轴旋转的“薄片”体积微元为圆柱体体积：底面积\(\pi y^2\)，厚度\(dx\)，因此： \[ dV = \pi (\sqrt{x})^2 dx = \pi x dx. \]

  3. 建立定积分并计算： \[ V = \int_{0}^{4} \pi x dx = \pi \cdot \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_{0}^{4} = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi. \]

结论：旋转体体积为\(8\pi\)。

问题：求抛物线\(y = \frac{1}{2}x^2\)上从\(x=0\)到\(x=2\)的弧长。

  1. 弧长公式推导（微元法）： 弧长微元（微分）\(ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + (y')^2} dx.\)（核心微元）。

  2. 求导并确定积分区间： \(y' = x\)，积分区间\([0,2]\)。

  3. 构造弧长微元并计算： \(ds = \sqrt{1 + x^2} dx,\) 弧长\(L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + x^2} dx.\)

    利用积分公式 \[\int \sqrt{1+x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C,\] 计算得： \[ L = \left. \left( \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{1+x^2}) \right) \right|_{0}^{2} \] \[ = \frac{2}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) - 0 = \sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}). \]

结论：所求弧长为\(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5})\)。

问题：将一个弹簧从原长拉长\(0.1\)米，已知弹簧的劲度系数\(k=100N/m\)（胡克定律：\(F=kx\)，\(x\)为伸长量），求拉力做的功。

  1. 确定积分变量与区间： 取伸长量\(x\)为积分变量，范围\([0, 0.1]\)（单位：米）。

  2. 构造功的微元\(dW\)： 在伸长量\(x\)处，拉力\(F(x)=kx=100x\)，拉长微小长度\(dx\)时，做功微元： \[dW = F(x)dx = 100x dx.\]

  3. 建立定积分并计算： \[\begin{aligned} W &= \int_{0}^{0.1} 100x dx = 100 \cdot \left. \frac{1}{2}x^2 \right|_{0}^{0.1} \\ &= 50 \times (0.1)^2 = 0.5 （焦耳）. \end{aligned}\]

结论：拉力做的功为\(0.5\)焦耳。