极限

\[\lim a_n=A;\, \lim f(x)=b\]

  • 目标: 求极限.
  • 方法: 洛必达, 等价无穷小代换; 夹逼准则, 单调有界准则, 化为定积分等.
  • 策略: 按类型用固定方法计算.
    1. 求极限首先考虑用洛必达法则
    2. 随时用运算法则和等价无穷小代换等简化计算
    3. 注意要满足条件, 才能使用各种法则, 不要乱用

1 极限的定义

\[\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=A.\]

  • \(\forall \varepsilon>0, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \, \ {\color{red}先提误差要求}\)
  • \(\exists N>0,\) 对任意的\(n>N\) 都有\(\quad\ \ \, {\color{red} 需要在某些条件下}\)
  • \(|a_n-A|< \varepsilon. \qquad\qquad\qquad\qquad{\color{red}验证都满足误差要求}\)
  • 极限存在就是说随便给一个误差\(\varepsilon>0\), 从某一项\(N\)开始往后的所有项的误差\(|a_n-A|\)都比\(\varepsilon\)小.

2 极限的性质

  • 请叙述一下?

设 \(\lim f(x) = A\)，\(\lim g(x) = B\)（\(A,B\) 为有限常数）则

  1. 加减：\[\lim\left[f(x)\pm g(x)\right] = \lim f(x)\pm \lim g(x) = A+B.\]
  2. 乘法：\[\lim\left[f(x)\cdot g(x)\right] = \lim f(x)\cdot\lim g(x) = A\cdot B.\]
  3. 除法：\[\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}.\]
  • 前提：\(B\neq 0\).

注意

  • 注意条件, 两个极限都存在时, 才可以用四则运算.
  • 由此可以把一个复杂极限拆成两个.
  • 收敛+发散=发散.

3 求极限

  • 一种是能用洛必达法则解决的题目(绝大多数).
  • 另一种是固定步骤解决的题目, 如单调有界准则, 夹逼准则, 化为定积分等.
  •   求极限的第一选择是：洛必达法则+等价无穷小代换. 不能使用的时候再想其它方法.
  • 固定套路: 单调有界准则, 夹逼准则, 用定积分等按 固定步骤 计算.
  • 用泰勒公式也有效.
  • 连续函数的极限直接代入. 初等函数在定义域内都连续. \[如f(x)连续, 则 \lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0). \]

步骤

  • 第一步：把题目分类. 是用洛必达法则还是固定方法.
  • 第二步: 按类别选择固定步骤解决.
  • 注意在整个过程中能化简就化简.

4 极限不存在

  • 一般选取两个子数列, 或左右极限不相等.

5 常见极限

\[\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1, a>0.\] \[\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1.\] \[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1.\] \[\lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e.\]