反常积分
\[\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)dx\]
- 目标: 掌握定义及敛散性的判断和简单计算.
- 重点: 定义与判断敛散性.
1 什么是反常积分?
- 反常积分分为两类：积分区间是无穷区间(广义积分), 或者被积函数是无界函数（瑕积分）。
2 无穷区间上的反常积分
设函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上可积，对任意\(t > a\)，定义： \[\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) dx .\]
若该极限存在且有限，则称反常积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；否则称其发散。
同理，可定义：
- 下限为负无穷的反常积分： \[ \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{b} f(x) dx.\]
- 双向无穷限反常积分： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{+\infty} f(x) dx, \] \(c\)为任意实数，需两个积分均收敛.
3 无界函数的反常积分
若函数\(f(x)\)在点\(x=a\)的任一邻域内无界（\(a\)为瑕点），且在\((a, b]\)上可积，定义： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx. \]
若极限存在且有限，则称瑕积分\(\int_{a}^{b} f(x) dx\)收敛；否则发散。
若瑕点为\(x=b\)，则定义： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx. \]
4 反常积分的收敛性判断
设\(f(x), g(x) \geq 0\)，且在\([a, +\infty)\)上可积，若\(0 \leq f(x) \leq g(x)\)：
- 若\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)收敛，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；
- 若\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)发散，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)发散。
若\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L\)（\(L\)为非负实数或\(+\infty\)）：
- 若\(0 < L < +\infty\)，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)与\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)同敛散；
- 若\(L=0\)且\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)收敛，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；
- 若\(L=+\infty\)且\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)发散，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)发散。
5 例
计算\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx.\)
解：根据定义，先计算定积分： \[ \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{t} = -\frac{1}{t} + 1. \]
再取极限： \[ \lim_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{t} + 1 \right) = 1. \]
因此\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1\)，该反常积分收敛。
计算\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx,\) \(x=0\)为瑕点.
解： 根据瑕积分定义： \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/2} dx. \]
计算定积分： \[ \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/2} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{\varepsilon}^{1} = 2 - 2\sqrt{\varepsilon}. \]
取极限： \[ \lim_{\varepsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\varepsilon}) = 2 \]
因此\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\)，该瑕积分收敛。
判断\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx\)的敛散性.
解： \[\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \ln t = +\infty. \]
极限不存在，因此该反常积分发散。
计算\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx.\)
解： 取中间点\(c=0\)，拆分积分： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx. \]
分别计算： \[ \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx \\ = &\lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx\\ = &\lim_{t \to -\infty} (\arctan 0 - \arctan t) = \frac{\pi}{2}. \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} &\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1+x^2} dx \\ = &\lim_{t \to +\infty} (\arctan t - \arctan 0) = \frac{\pi}{2}\end{aligned}\]
因此： \[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi. \]
6 总结
- 反常积分的核心是将其转化为定积分的极限计算.