反常积分

\[\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x)dx\]

  • 目标: 掌握定义及敛散性的判断和简单计算.
  • 重点: 定义与判断敛散性.

1 什么是反常积分?

  • 反常积分分为两类：积分区间是无穷区间(广义积分), 或者被积函数是无界函数（瑕积分）。

2 无穷区间上的反常积分

设函数\(f(x)\)在区间\([a, +\infty)\)上可积，对任意\(t > a\)，定义： \[\int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{a}^{t} f(x) dx .\]

若该极限存在且有限，则称反常积分\(\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；否则称其发散。

同理，可定义：

  • 下限为负无穷的反常积分： \[ \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{b} f(x) dx\]

  • 双向无穷限反常积分： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{+\infty} f(x) dx, \] \(c\)为任意实数，需两个积分均收敛.

3 无界函数的反常积分

若函数\(f(x)\)在点\(x=a\)的任一邻域内无界（\(a\)为瑕点），且在\((a, b]\)上可积，定义： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx. \]

若极限存在且有限，则称瑕积分\(\int_{a}^{b} f(x) dx\)收敛；否则发散。

若瑕点为\(x=b\)，则定义： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx. \]

4 反常积分的收敛性判断

设\(f(x), g(x) \geq 0\)，且在\([a, +\infty)\)上可积，若\(0 \leq f(x) \leq g(x)\)：

  • 若\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)收敛，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；
  • 若\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)发散，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)发散。

若\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L\)（\(L\)为非负实数或\(+\infty\)）：

  • 若\(0 < L < +\infty\)，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)与\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)同敛散；
  • 若\(L=0\)且\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)收敛，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)收敛；
  • 若\(L=+\infty\)且\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) dx\)发散，则\(\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) dx\)发散。

5 例

计算\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx.\)

解：根据定义，先计算定积分： \[ \int_{1}^{t} \frac{1}{x^2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{t} = -\frac{1}{t} + 1. \]

再取极限： \[ \lim_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{t} + 1 \right) = 1. \]

因此\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx = 1\)，该反常积分收敛。

计算\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx,\) \(x=0\)为瑕点.

解： 根据瑕积分定义： \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/2} dx. \]

计算定积分： \[ \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/2} dx = \left. 2\sqrt{x} \right|_{\varepsilon}^{1} = 2 - 2\sqrt{\varepsilon}. \]

取极限： \[ \lim_{\varepsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\varepsilon}) = 2 \]

因此\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\)，该瑕积分收敛。

判断\(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx\)的敛散性.

解： \[\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to +\infty} \ln t = +\infty. \]

极限不存在，因此该反常积分发散。

计算\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx.\)

解： 取中间点\(c=0\)，拆分积分： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx. \]

分别计算： \[ \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx \\ = &\lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx\\ = &\lim_{t \to -\infty} (\arctan 0 - \arctan t) = \frac{\pi}{2}. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1+x^2} dx \\ = &\lim_{t \to +\infty} (\arctan t - \arctan 0) = \frac{\pi}{2}\end{aligned}\]

因此： \[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi. \]

6 总结

  • 反常积分的核心是将其转化为定积分的极限计算.

7 常用结论

  • 广义积分 \[\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx=\left\{\begin{array}{ll}收敛,& p>1 时, \\ 发散,& p\leq 1 时. \end{array} \right.\]

  • 瑕积分 \[\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p}dx=\left\{\begin{array}{ll}收敛,& p<1 时, \\ 发散,& p\geq 1 时. \end{array} \right.\]

  • 数列以求和的形式给出, 且较为复杂, 其它方法做不出来, 就要想到化为定积分.

关键是按步骤写出定积分的表达式.

  1. 写出求和的通项.

  2. 确定积分变量.

  3. 确定被积表达式.

  4. 确定积分上下限.

  5. 确定是否有系数.

  • 注意有时需要先用夹逼放缩, 去掉一些无关的高阶无穷小, 才能写出定积分.

例 求极限 \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+a}+\frac{1}{n+2a}+\cdots+\frac{1}{n+na} \right).\] 写成定积分有两种可能性.

  1. 写出求和的通项. \[\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a{\frac{i}{n}}}.\]

  2. 确定积分变量(含有\(\frac{i}{n}\)的).

\[x_i=\frac{i}{n}.\]

  1. 确定被积函数(把积分变量换成\(x\)). \[\frac{1}{1+ax}\]

  2. 确定积分上下限. 代入\(i=0, n\)得\[a=x_0=0=上限,x_n=1=下限.\]

  3. 确定是否有系数. \[dx=\frac{上限-下限}{n}=\frac{1}{n}.\] 系数为1.

所以得极限等于\(\int_0^1 \frac{1}{1+ax} dx.\)

  1. 写出求和的通项. \[\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a\frac{i}{n}}.\]

  2. 确定积分变量.

\[x_i=a\frac{i}{n}.\]

  1. 确定被积函数. \[\frac{1}{1+x}\]

  2. 确定积分上下限. 代入\(i=0, n\)得\[下限=x_0= 0, 上限=x_n=a.\]

  3. 确定是否有系数. \[dx=\frac{a-0}{n}=\frac{a}{n}.\] 系数为\(\frac{1}{a}\).

  • 所以得极限等于 \[\frac{1}{a}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a\frac{i}{n}}=\frac{1}{a}\int_0^1 \frac{a}{1+ax} dx.\]