有理函数的积分

\[\begin{aligned} &\int \frac{x + 3}{x^2 - 5x + 6} dx \end{aligned}\]

• 目标: 求出原函数.
• 策略: 固定步骤.
• 重点: 如何完成每一步.

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1 概念

什么是有理函数?

• 有理函数是指两个多项式的商，形如： \[ R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_0}, \] 其中 \(n,m\) 为非负整数，\(a_n \neq 0\)，\(b_m \neq 0\).
• 当 \(n < m\) 时，称为真分式；
• 当 \(n \geq m\) 时，称为假分式.
• 假分式可以通过多项式除法转化为: 多项式 + 真分式.

2 步骤

第1步: 有理函数化为: 多项式 + 真分式

• 命题 假分式=多项式 + 真分式.

• 方法 用多项式除法.

• 例如 \[ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \]

第2步: 把分母因式分解

• 注意因式分解与根的关系.

• 如果多项式\(f(x)\)有根\(x_1,\) 则\(f(x)\)有因子\(x-x_1.\)

• \(f(x)\)可以分解为一次多项式和2次多项式的乘积. 即其因子形如 \[(x-x_1)^k, (x^2+px+q)^l,\]

• 其中\(\Delta =p^2-4q<0.\)

第3步: 分解为部分方式之和

根据分母的因子, 真分式可以写出部分方式的和.

• 如果因子中有\((x-x_1)^k,\) 则可能出现 \[\frac{A_1}{x-x_1},\cdots, \frac{A_k}{(x-x_1)^k}.\]

• 如果因子中有\((x^2+px+q)^t,\) 则可能出现 \[\frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q},\cdots, \frac{A_tx+B_t}{(x^2+px+q)^t}.\]

第4步: 求部分方式的积分

• 最后共有4种类型的部分分式

\[\begin{aligned} &\frac{1}{x-a},\\ &\frac{1}{(x-a)^k},k>1,\\ &\frac{ax+b}{x^2+px+q},\\ &\frac{ax+b}{(x^2+px+q)^t}, t>1. \end{aligned}\]

3 例题

假分式分解

• 多项式除法. \[ \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1} \]

真分式积分

求 \(\displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 - 5x + 6} dx.\)

• 因式分解分母 \[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). \]

• 待定系数法求部分分式

令 \(\frac{x + 3}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}\)，通分后： \[ x + 3 = A(x - 3) + B(x - 2) \]

• 令 \(x = 2\)，得 \(2 + 3 = A(2 - 3) \implies A = -5\)
• 令 \(x = 3\)，得 \(3 + 3 = B(3 - 2) \implies B = 6\)

因此：\(\displaystyle\frac{x + 3}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{-5}{x - 2} + \frac{6}{x - 3}.\)

• 分项积分.

分母为不可约二次因式

求 \(\displaystyle\int \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 2} dx.\)

• 先将分子拆分为: 分母导数的倍数 + 常数： 分母导数：\((x^2 + 2x + 2)' = 2x + 2\) 令 \(x - 1 = \displaystyle\frac{1}{2}(2x + 2) - 2.\)

• 分项积分 \[\begin{aligned} &\int \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 2} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x + 2) - 2}{x^2 + 2x + 2} dx \\ =& \frac{1}{2}\int \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2} dx - 2\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx \end{aligned}\]

4 简单无理根式

• 直接令根式为\(t\)去根号.

单重根式

求 \(\displaystyle\int \frac{\sqrt{x - 1}}{x} dx\)

• 代换消去根式

• 令 \(t = \sqrt{x - 1}\)（则 \(t \geq 0\)），得 \(x = t^2 + 1\)，\(dx = 2t dt.\)

• 代入 \[\begin{aligned} &\int \frac{\sqrt{x - 1}}{x} dx \\ = &\int \frac{t}{t^2 + 1} \cdot 2t dt = 2\int \frac{t^2}{t^2 + 1}. dt \end{aligned}\]

分式根式

求 \(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} - 1} dx\)

• 代换消去根式

令 \(t = \displaystyle\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}\)（则 \(t > 0\) 且 \(t \neq 1\)），两边平方得： \[\begin{aligned} &t^2 = \frac{x + 1}{x - 1} \implies t^2(x - 1) = x + 1\\ &\implies x = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}. \end{aligned}\]

• 求导得 \(dx = \displaystyle\frac{-4t}{(t^2 - 1)^2} dt\)

• 转化为有理函数积分

\[ \int \frac{1}{t - 1} \cdot \frac{-4t}{(t^2 - 1)^2} dt = -4\int \frac{t}{(t - 1)^3(t + 1)} dt \]

• 部分分式分解： \[ \frac{t}{(t - 1)^3(t + 1)} = \frac{1}{8(t + 1)} - \frac{1}{8(t - 1)} + \frac{1}{4(t - 1)^2} - \frac{1}{2(t - 1)^3}. \]

5 万能代换（三角函数有理式的积分）

• 万能代换通用性强，适用于所有三角函数有理式积分；
• 缺点：部分情况下计算量较大，若能通过三角恒等式化简（如凑微分），优先选择简便方法。

万能代换定理

对于三角函数有理式 \(R(\sin x, \cos x)\)（由 \(\sin x\)、\(\cos x\) 经四则运算构成的函数），令 \(t = \tan\frac{x}{2}\)（称为万能代换），则： \[ \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + t^2} dt \] 代入后，\(\displaystyle\int R(\sin x, \cos x) dx\) 可转化为关于 \(t\) 的有理函数积分，称为万能代换.

例题

求 \(\displaystyle\int \frac{1}{1 + \sin x} dx.\)

• 万能代换转化

令 \(t = \tan\frac{x}{2}\)，则 \(\sin x =\displaystyle \frac{2t}{1 + t^2}\)，\(dx = \displaystyle\frac{2}{1 + t^2} dt\)，代入得： \[ \int \frac{1}{1 + \frac{2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt= \int \frac{2}{(t + 1)^2} dt. \]