微分中值定理
\[ f(x)=f(a)+f'(\xi)(x-a) \]
- 目标: 用定理解决问题.
- 重点: 定理条件是什么, 结论是什么.
- 难点: 什么时候用什么定理, 怎么用.
1 几个定理
定理 函数\(y=f(x)\)点\(x_0\)的某个邻域内可导, 则\(f(x_0)\) 取得极值的必要条件是\(f'(x_0)=0.\)
是必要条件.
点在区间的内部.
给出了极值点可能出现的地方: 导数为零的地方, 或导数不存在的点.
导数为0的点称为驻点. 因为此点周围, 函数值几乎不变. 函数图形(切线)近似的看是一条水平线.
定理 如果函数\(y=f(x)\)满足:
\(f(x)\)在\([a, b]\)上连续.
\(f(x)\)在\((a, b)\)内可导.
\(f(a)=f(b).\)
则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[f'(\xi)=0.\]
三个条件.
结论是存在某个中间值\(\xi\)处的导数为零.
罗尔定理中导数为0的点\(\xi\)其实是内部的最值点, 这也是证明方法.
- 证明涉及到某个导数的等式有解.
固定步骤
构造函数.
验证条件.
应用结论.
困难之处在要想到用罗尔定理(参看上一条), 怎么构造合适的函数.
要证明的式子是某个函数的导数, 用积分方法帮助求出原函数.
猜测原函数是什么样的? 如过是两项和, 则原函数可能是乘积.
乘上一个指数函数等.
定理 如果函数\(y=f(x)\)满足:
\(f(x)\)在\([a, b]\)上连续.
\(f(x)\)在\((a, b)\)内可导.
则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]
其他形式: \[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).\] 或\[f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a).\] 或\[\Delta y=f'(\xi)\Delta x.\]
不要被不同表达式迷惑了, 就是换换符号.
几何意义: 内部存在一点处的切线和连结两个端点的割线平行.
非常重要, 描述了函数的变化量(增量)\(\Delta y\)是\(\Delta x\)的倍数, 此倍数是某点处的导数值. 也称为有限增量公式.
- 证明涉及到某个导数的等式有解.
固定步骤
构造函数.
验证条件.
应用结论.
困难之处在要想到用定理(参看上一条), 怎么构造合适的函数.
要证明的式子是某个函数的导数, 用积分方法帮助求出原函数.
猜测原函数是什么样的? 如过是两项和, 则原函数可能是乘积.
乘上一个指数函数等.
定理 如果函数\(x=f(t), y=g(t)\)满足:
\(f(t), g(t)\)在\([a, b]\)上连续.
\(f(t), g(t)\)在\((a, b)\)内可导.
\(g'(t)\neq 0.\)
则存在\(\xi\in (a, b)\)使得 \[\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-g(a)}{b-a}.\]
- 对参数方程用拉格朗日中值定理即是柯西中值定理.
证明涉及到某个导数的等式有解.
且出现两个不同类型函数的导数.
固定步骤
构造函数的参数方程.
验证条件.
应用结论.
困难之处在要想到用定理(参看上一条), 怎么构造合适的函数.
要证明的式子是某个函数的导数, 进行分离, 组合.
想办法写成导数的商的形式.
2 洛必达法则
- 求极限第一选择.
只要极限是分数或比值的样子, 且是不定型! \(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\)
如果\(\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=k,\) 则 \[\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]
因为涉及到求导, 当然导数越好求效果越好, 所以随时随地进行等价无穷小代换(乘积因子)!
注意积分上限函数的求导公式.
使用前要验证条件(比值+不定型). 不满足使用的条件就创造条件:
不是比值. 化成能用的–就是化为比值形式的不定型.
数列的极限, 不能求导. 先按函数求极限, 再用海涅定理化成数列的结论.
用了洛必达法则还没求出来说明洛必达法则不是万能的, 这就需要其它的方法显身手了.
3 题目
设\(f(x)\)在\([a, b]\)上连续, 在\((a, b)\)内可导, 且满足条件
\[\begin{align} &f(a)f(b)>0,\\ &f(a)f(\frac{a+b}{2})<0, \end{align} \] 证明: 对每个实数\(k\), 在\((a, b)\)内存在\(\xi,\)使得下式成立 \[f'(\xi)-kf(\xi)=0.\]
涉及到导数和函数的等式
涉及到存在中间值\(\xi\)
条件是端点处的函数值
要证明的等式没有涉及端点处的函数值
仅涉及\(\xi\)的函数值与导数值
用罗尔定理
假设构造的函数是\(F(x)\)
要满足\[f'(\xi)-kf(\xi)=F'(\xi).\]
\(F(x)\)的导数\(F'(x)\)是两项的和, 所以\(F(x)\)是\(f(x)\)和某个函数的乘积
猜测是乘某个指数函数.
由于系数是\(-k\), 这个系数只能是指数函数求导出现的, 所以得到
\[ F(x)=e^{-kx}f(x).\]
- 函数构造成功
仅需找到两个点\(c,d\) 满足函数值相等 \[ F(c)=F(d). \]
由题目条件, \[\begin{align} &f(a)f(b)>0,\\ &f(a)f(\frac{a+b}{2})<0, \end{align} \] 知道两个端点都和中点处的函数值异号.
由零点定理, 得到两个不同的零点, 满足罗尔定理的条件.
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上满足\(f''(x)>0,\) 证明对于\([a,b]\)中任意不同的\(x_1, x_2\), 都有 \[ \frac{1}{2}|f(x_1)+f(x_2)|>|f(\frac{x_1+x_2}{2})|. \]
条件是二阶导数
结论是证明函数值的关系
用导数和函数的关系 - 泰勒公式.
- 根据条件, 二阶导数用来描述误差, 展开到一阶
形如
\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2. \]
用公式 \[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2. \] 下面要确定\(x=? x_0=?\)
题目中出现的点\(x_1, x_2, \frac{x_1+x_2}{2}\)是备选答案.
再由对称性, 以及展开式中的\(f'(x_0)\)要消去. 分别取\(x=x_1, x_2\) 在\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\)处展开.
\[ \begin{align} f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)+\frac{f''(\xi_1)}{2}(x_1-x_0)^2,\\ f(x_2)=f(x_0)+f'(x_0)(x_2-x_0)+\frac{f''(\xi_2)}{2}(x_2-x_0)^2. \end{align}\]
- 两式相加, 消去\(f'(x_0)\)即证.
- 体会选择点, 确定展开到几阶的思考过程.
设\(f(x)\)在\([0, +\infty)\)上可导, 且\(f'(x)\)在\([0, +\infty)\)内连续, 若\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}[2f(x)+f'(x)]=0,\) 证明\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0.\)
条件和结论涉及到函数与导数的关系, 用中值定理.
\(2f(x)+f'(x)\)像某个乘积的导数.
考虑构造\(F(x)=e^{2x}f(x).\)
\(F'(x)=e^{2x}f(x).\)
怎么消去\(e^{2x}\)?
考虑分母除以这个指数函数, 用柯西中值定理或洛必达法则.
证明: 设\(F(x)=f(x)^2e^{G(x)}\geq 0,\) 则 \[\begin{align} &\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)\\ =& \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^{2x}f(x)}{e^{2x}}\\ =& \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^{2x}(2f(x)+f'(x))}{2e^{2x}}\\ =& \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{2f(x)+f'(x)}{2}\\ =&0. \end{align} \]
巧妙构造函数, 用洛必达法则.
获得思路的关键是从条件出发, 思考怎么使用条件, 出现的指数函数怎么消去.