定积分的定义与性质

\[\int_a^b f(x)dx\]

  • 目标: 求出积分.
  • 策略: 把复杂的积分化简为几个简单的定积分.
  • 方法: 用性质, 换元法, 分部积分法, 其他技巧.
  • 重点: 能根据题目特点, 快速找到恰当的化简方法.

1 定积分的定义

\[ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i. \]

  • 是一个数; 这个数表示面积;
  • 是一个极限; 是一个和式的极限.

2 定积分的性质

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \int_a^b [kf(x)+lg(x)]dx&=k\int_a^b f(x)dx+l\int_a^b g(x)dx. \end{aligned}\]

  • 可以把一个复杂积分拆成两个简单积分计算.

如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续, 则存在\(\xi \in[a,b]\) 使得 \[\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx&=f(\xi)(b-a). \end{aligned}\]

  • 可以估计定积分的大小.

  • 通过估计去掉积分号, 简化问题.

3 用定积分求极限 (步骤固定)

  • 数列以求和的形式给出, 且较为复杂, 其它方法做不出来, 就要想到化为定积分.

关键是按步骤写出定积分的表达式.

  1. 写出求和的通项.

  2. 确定积分变量.

  3. 确定被积表达式.

  4. 确定积分上下限.

  5. 确定是否有系数.

  • 注意有时需要先用夹逼放缩, 去掉一些无关的高阶无穷小, 才能写出定积分.

例 求极限 \[\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+a}+\frac{1}{n+2a}+\cdots+\frac{1}{n+na} \right).\] 写成定积分有两种可能性.

  1. 写出求和的通项. \[\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a{\frac{i}{n}}}.\]

  2. 确定积分变量(含有\(\frac{i}{n}\)的).

\[x_i=\frac{i}{n}.\]

  1. 确定被积函数(把积分变量换成\(x\)). \[\frac{1}{1+ax}\]

  2. 确定积分上下限. 代入\(i=0, n\)得\[a=x_0=0=上限,x_n=1=下限.\]

  3. 确定是否有系数. \[dx=\frac{上限-下限}{n}=\frac{1}{n}.\] 系数为1.

所以得极限等于\(\int_0^1 \frac{1}{1+ax} dx.\)

  1. 写出求和的通项. \[\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a\frac{i}{n}}.\]

  2. 确定积分变量.

\[x_i=a\frac{i}{n}.\]

  1. 确定被积函数. \[\frac{1}{1+x}\]

  2. 确定积分上下限. 代入\(i=0, n\)得\[下限=x_0= 0, 上限=x_n=a.\]

  3. 确定是否有系数. \[dx=\frac{a-0}{n}=\frac{a}{n}.\] 系数为\(\frac{1}{a}\).

  • 所以得极限等于 \[\frac{1}{a}\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a}{n}\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a\frac{i}{n}}=\frac{1}{a}\int_0^1 \frac{a}{1+ax} dx.\]

4 例题

设函数 \(f(x)\) 在\([a, b]\) 连续且满足 \(f(x) > 0\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx > 0\).

  • 连续+大于零, 则说明存在一点的小邻域, 使得此处的函数值都差不多.

  • 推论: 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(x) \ge 0\) 且不恒为0，则 \(\int_{a}^{b}f(x)dx > 0.\)

  • 任取一点 \(x_0 \in (a, b)\)，根据局部保号性，存在闭区间 \([x_0 - \delta, x_0 + \delta] \subset [a, b]\) 且对任意 \(x \in [x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)，都有： \[f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2} = k > 0.\]

  • \[\begin{aligned} &\int_{a}^{b}f(x)dx \\ =& \int_{a}^{x_0 - \delta}f(x)dx + \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}f(x)dx + \int_{x_0 + \delta}^{b}f(x)dx\\ \geq & \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}f(x)dx \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta}\frac{f(x_0)}{2}dx \\ \geq & f(x_0)\delta. \end{aligned}\]