积分的对称性

\[\iint_\limits D f(x,y)dxdy\]

  • 先判断积分区域是否对称
  • 再看对称点处的两个微元是否相等或相反
  • 确定积分为0或是一半积分区域的2倍

1 如何判断积分区域有对称性?

讨论区域\(\displaystyle \Omega: x^2+y^2\leq z\leq 4-x^2-y^2\) 的对称性.

画出图形.

假设点\((x,y,z)\in\Omega,\) 即满足\[x^2+y^2\leq z\leq 4-x^2-y^2.\] 则关于坐标面\(xoz\)的对称点是\((x, -y,z),\) 代入也满足 \[x^2+(-y)^2\leq z\leq 4-x^2-(-y)^2.\] 由此对称点\((x,-y,z)\in\Omega,\) 所以区域\(\Omega\) 关于坐标面\(xoz\)对称.

用坐标变换: \[x\rightarrow x, \quad y\rightarrow -y, \quad z\rightarrow z.\]

则 \[\Omega: x^2+y^2\leq z\leq 4-x^2-y^2\longrightarrow \Omega': x^2+(-y)^2\leq z\leq 4-x^2-(-y)^2=\Omega.\]

所以区域\(\Omega\) 在此坐标变换后还是\(\Omega\), 所以关于坐标面\(xoz\)的对称.

2 积分区域的对称性

  • 本质是微元有对称性, 积分等于微元的和, 由局部对称得到整体对称
  • 积分区域是对称的, 可以分成一一对应的两块
  • 两块上对应的微元或相等, 或相反

研究\(\displaystyle\int_{{-a}}^{a} f(x) d x\) 的对称性.

  • \[\int_{{-a}}^{a} f(x) d x=\int_{{-a}}^{0} f(x) d x+\int_{{0}}^{a} f(x) d x.\]

换元\(x=-t,\) \[ \int_{{-a}}^{0} f(x) d x=-\int_{{t}}^{0} f(-t) d t=\int_{{0}}^{a} f(-x) d x. \]

  • 如\(f(x)=-f(-x)\), 则\[\displaystyle\int_{{-a}}^{a} f(x) d x=0.\]
  • 如\(f(x)=f(-x)\), 则\[\displaystyle\int_{{-a}}^{a} f(x) d x=2\int_{{0}}^{a} f(x) d x.\]

研究\(\displaystyle\iint\limits_{D} f(x,y) d xd y,\quad D: x^2+y^2\leq 1\) 的对称性.

  • 取\[D_1: x^2+y^2\leq 1, y\leq 0, \quad D_2: x^2+y^2\leq 1, y\geq 0, \quad D_3: u^2+v^2\leq 1, v\leq 0,\] \[\iint\limits_{D} f(x,y) d xd y=\iint\limits_{D_1} f(x,y) d xd y+\iint\limits_{D_2} f(x,y) d xd y.\] 先换元\(x=u, y=v\) \[\iint\limits_{D_1} f(x,y) d xd y=\iint\limits_{D_3} f(u,v) d ud v.\] 再换元\(u=x, v=-y\) \[\iint\limits_{D_3} f(u,v) d ud v=\iint\limits_{D_2} f(x,-y) d xd y.\] 则\[\iint\limits_{D} f(x,y) d xd y=\iint\limits_{D_2}[ f(x,y)+f(x,-y)] d xd y.\]

  • 积分区域分为上下两块\(D_1, D_2\)

  • 上下两块分别选取代表\(d \sigma\),

  • 上面的代表中的点为\((x, y)\) 则下面的代表中的点为\((x, -y)\)

  • 计算微元. 上面: \(f(x,y)d \sigma\) 下面: \(f(x,-y)d \sigma\)

  • 比较上下相等还是相反.

3 轮换对称性

证明\(\displaystyle\iiint\limits_{\Omega} x^2 d xd yd z=\iiint\limits_{\Omega} y^2 d xdyd z=\iiint\limits_{\Omega} z^2 d xd yd z,\quad \Omega: x^2+y^2+z^2\leq 1\).

第一步: 验证积分区域\(\Omega\)轮换对称.

即, 在轮换 \[x\rightarrow y, \quad y\rightarrow z, \quad z\rightarrow x.\] 下\(\Omega\)保持不变.

第二步: 则积分轮换后相等.

\[\displaystyle\iiint\limits_{\Omega} x^2 d xd yd z=\iiint\limits_{\Omega} y^2 d xd yd z=\iiint\limits_{\Omega} z^2 d xd yd z. \]

  • 积分区域在变量轮换后不变
  • 被积函数中的变量相应的轮换代入, 则积分不变

证明\(\displaystyle\int_{\Gamma} x^2 d s=\int_{\Gamma} y^2 d s,\quad \Gamma: x^2+y^2+z^2= 1, x+y+z=1\) 的交线.

考虑轮换 \[x\rightarrow y,\quad y\rightarrow z,\quad z\rightarrow x.\]

证明\(\displaystyle\int_{\Gamma}x^2 ds=\int_{\Gamma}y^2 ds\neq\int_{\Gamma}z^2 d s,\quad\Gamma: x^2+y^2+z^2= 1, y=x\)的交线.

轮换后: \[x\rightarrow y,\quad y\rightarrow z,\quad z\rightarrow x.\]

曲线\(\Gamma: x^2+y^2+z^2= 1, y=x\) 变成\(\Gamma': x^2+y^2+z^2= 1, z=y\). 两者不同了.

\({\Gamma}\)的参数方程\(x=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\theta, y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta,z=\cos\theta.\) 化为定积分计算得 \[\displaystyle\int_{\Gamma} x^2 d s\neq\int_{\Gamma} z^2 ds.\]

研究\(\displaystyle\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) d xd yd z,\quad \Omega: x^2+y^2+z^2\leq 1\) 的对称性.

研究\(\displaystyle\int_{\Gamma} f(x,y) d s,\quad \Gamma: x^2+y^2= 1.\) 的对称性.