高等数学漫游

\[微积分不仅是数学工具, 更是理解自然界和宇宙运动规律的核心语言.\]

  • 微积分用导数, 微分,积分等工具研究函数的各种性质.
  • 主要想法是近似: 以直代曲, 逐步逼近.

1 微积分研究函数的变化性质

  • 函数描述了现实世界的各种变化规律. 如\(F=ma\).
  • 如温度, 水流随时间的变化, 如经济规模随时间的增减等等.
  • 规律就是函数的变化性质.
  • 让函数变起来. 如\(y=x^2\)是单调递增还是单调递减?可以取 \(x_1,x_2\), 看看\(f(x_1)-f(x_2)\)是大于0还是小于0就行.
  • 如\(y=x^2\)的最小值在哪里? 注意到\(x<0\)时\(f(x)\)单调递减, 而\(x>0\)时\(f(x)\)单调递增. 所以\(x=0\)时是极小值, 也是最小值.
  • 上面的例子比较简单, 即使函数非常复杂, 解决这类问题的想法还是一样的: 判断单调性. 只不过不容易一眼看出来, 要用导数等工具了.
  • 第一步, 函数这一节首先告诉我们怎么把函数表示出来?
  • 第二步, 函数太多了, 太复杂了, 我们先要研究一些基础的, 简单的函数, 即基本初等函数, 包括幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数以及反三角函数.
  • 复杂一点的就是初等函数-是用基本初等函数的组合, 构造的. 因此, 这些函数是基础, 它们的性质, 图像要牢记在心.
  • 随着研究的深入, 问题会更复杂, 会不断学习一些新的函数, 这些函数会用新的方法表示. 比如隐函数, 积分上限函数, 幂级数, 傅里叶级数等. 甚至用微分方程表示的函数.
  • 不管函数表示方法如何变化, 我们的研究目的: 函数如何变化? 研究工具: 微积分. 这些都没有变.

2 微积分的研究工具与方法

  • 研究函数如何变化?
  • 在一个点\(x=x_0\)的局部如何变化? 在整个区间\([a,b]\)上整体如何变化?
  • 把复杂的函数用简单的函数近似, 逼近.
  • 如果误差较大, 继续近似.

3 如何研究一元函数?

让函数变化

  • 如 \(y=f(x)\), 让自变量增加\(\Delta x\)(自变量的变化量), 看看这个函数值的变化量\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] 如何变化.
  • 实际上, 我们大部分的时间都在研究, 估计函数值的变化量\(\Delta y\)随着自变量的变化量\(\Delta x\)如何变化.

不断近似, 逼近\(\Delta y\)

  • \(\Delta y\)一般很复杂, 我们先简单地近似, 如误差太大, 再想法减少误差, 逐步达到要求.

举个例子, 求\(y=x^2+2x+3\)的最小值.

\[\begin{aligned} \Delta y&=(x+\Delta x)^2+2(x+\Delta x)+3-(x^2+2x+3)\\ &=\Delta x(2x+2+\Delta x). \end{aligned}\]

答案很明显: 函数值\(f(x_0)\)最小: \(f(x)\geq f(x_0)\).

  • 换个说法, 就是\[\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\geq 0.\]
  • 所以问题就变成估计什么时候 \[\begin{aligned} \Delta y&=\Delta x(2x+2+\Delta x)\geq 0. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \Delta y&=(\Delta x)^2\geq 0. \end{aligned}\]

所以\(f(-1)=2\)是最小值.

此时 \[\begin{aligned} \Delta y&=\Delta x(4+\Delta x). \end{aligned}\]

  • 如果取\(\Delta x>0\), 则\(\Delta y>0\).
  • 如果取\(-4<\Delta x<0\), 则\(\Delta y<0\).
  • 所以在\(x=1\)的周围函数值有比\(f(1)\)大,也有小的. 因此不是最小值.

研究函数最关键的是抓住函数值的变化量\(\Delta y\), 搞清\(\Delta y.\)

3.1 第一步, 连续

要能搞清\(\Delta y\), 则\(\Delta y\)要有规律, 有特点才行. 比如说, 当\(\Delta x\)很小时, \(\Delta y\)也要很小. 否则\(\Delta y\)变化非常剧烈, 就没有办法搞清\(\Delta y\)了.

这就是函数要连续的要求: \[ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0. \]

  • 得到定性的结果, \(\Delta y\)是一个无穷小.
  • 到底多小, 是正是负, 不知道. 没有数量的估计.
  • 我们能够研究的函数都要具有某些特殊性. 比如连续, 闭区间上的连续函数有最大值, 最小值. 参考 连续 这一节内容.

当然, 为了准确定义什么是连续, 需要极限这个概念, 参考极限这一节. 比如 \[ \lim_{ x\rightarrow 0}\cos x=1. \] 极限说起来就是当自变量不断趋向(靠近)\(0\)时, 函数值\(\cos x\)越来越趋向(等于)\(1\). 即函数值有一个确定的值. 看个反例帮助理解 \[ \lim_{ x\rightarrow 0}\frac{|x|}{x}不存在. \]

  • 当从左边趋向\(0\)时, 函数值是\(-1\),
  • 从右边趋向\(0\)时, 函数值是\(1\),

不是趋向一个确定的数. 所以称为极限不存在.

  • 极限这一节中, 主要的问题就是判断极限存在不存在, 如果存在等于多少. 给出一些求极限的方法.
  • 无穷小与无穷大这一节先研究极限为\(0\)的函数–无穷小. 这是特殊的情况, 也是重要的情形. 因为我们看到最重要的目标\(\Delta y\)就是一个无穷小.
  • 单调有界与夹逼准则这一节给出判断极限存在的两种方法. 学习时要搞清
    1. 什么时候用这种方法? 非常特殊的情形.
    2. 怎么用这种方法? 非常固定的步骤.

因此每种方法要仔细搞清楚一个例子, 看看能不能回答这两个问题.

  • 能力训练: 用定义证明极限这一节专门训练抽象思维, 逻辑推理即组织语言的能力. 大家可以试试看如何把一个证明写得又准确又简洁. 看看自己会犯什么错误.

3.2 第二步, 可导

函数仅仅连续, 从图像上看, 函数是一条连续不断的曲线, 得不到什么精细的结果, 到底怎么变化的, 增加?还是减少? 不清楚.

  • 为了进一步研究函数, 还需增加工具: 导数 \[ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)=\frac{d y}{d x}. \]

导数简单说就是变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)的极限, 大概可以理解成变化率.

  • 则\({\Delta y}\sim 3 {\Delta x}\). 局部看, 函数就是一个线性函数, 自变量增加多少, 函数值就增加自变量的3倍.
  • 图像有点像一条直线.
  • 函数是单调递增的.

所以知道了变化率, 函数的大概性质就很清楚了.

搞清\(\Delta y\)的关键是搞清变化率\(\frac{\Delta y}{\Delta x}.\)

有了导数可以搞清\(\Delta y\):

  • 定量估计: \[ {\Delta y}\approx f'(x)\Delta x=d y. \]
  • 准确描述一: \[ {\Delta y}= f'(x)\Delta x+o(\Delta x) . \]
  • 准确描述二: \[ {\Delta y}= f'(\xi)\Delta x . \]

导数与微分这一节介绍了导数的定义, 主要问题两个: 一是如何用导数, 二是如何求导数. 求导数用各种运算规则把复杂函数的求导问题变为简单函数的求导.

注意\({\Delta y}\approx f'(x)\Delta x\), 这个近似值称为微分 \[ dy= f'(x)\Delta x. \]

如果误差太大, 可以更精细, 求变化率的变化率: 高阶导数.

导数和微分作为工具体现在

  • 微分\(dy=f'(x)\Delta x\)是\(\Delta y\)的近似值: \({\Delta y}\approx d y,\) 误差还比较小.
  • \(\Delta y\)约等于\(\Delta x\)的一个倍数, 这个倍数就是导数.
  • 导数越大, 说明变化率越大, 说明函数值增加的越快.
  • 导数为0说明函数值几乎不变.
  • 曲线用切线近似.

3.3 第三步, 微分中值定理与泰勒公式

用导数具体研究函数的性质, 需要微分中值定理这一节了. 主要是拉格朗日中值定理: \[ {\Delta y}= f'(\xi)\Delta x. \]

说明\({\Delta y}\)是\({\Delta x}\)的某个倍数. 由此可以得到一些结论:

  • 导数的符号决定了函数的单调性.
  • 二阶导数的符号决定了凹凸性.

由此可以求单调区间, 凹凸区间, 极值, 最值等等. 这一切都可以通过导数约等于变化率得到解释和理解.

如果对误差还不满意, 再逼近一点, 可以进一步用高阶导数描述近似值, 误差更小, 就得到泰勒公式了, 参考泰勒公式小节. \[\begin{aligned} f(x)&=P(x)+R(x)\\ &=主要部分({\color{blue}{近似值}})+次要部分({\color{blue}{误差}}). \end{aligned}\]

泰勒公式是微分学的一个顶峰. 它把函数的逼近用到了极致:

  • 泰勒公式是研究函数的一个威力极大的工具.
  • 用简单的多项式函数\(P(x)\)近似复杂函数\(f(x)\), 还可以控制误差\(R(x)\).
  • 根据需要, 可以让\(R(x)\)小于预先给定的误差.

例如 \[\begin{align} e^x=&1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\frac{e^\xi}{ (n+1)!},\ \xi处于0, x之间. \end{align}\]

对于泰勒公式我们要理解其本质: 用简单近似复杂(复杂问题简单化). 主要问题也是两个. 给一个函数, 怎么求出泰勒公式, 求出泰勒公式之后, 怎么使用.

逼近, 近似的方法之所以合理, 关键在于:

  • 在实际问题中, 数字本身就有误差, 准确得到\(\Delta y\) 一般没有必要, 也不可行, 我们只需得到一个满足误差要求的近似值就行.

4 积分

顾名思义, 积分就是把小东西(微分)加起来. 记住一个例子: 曲边梯形求面积.

所以面积 \[ S=\int_a^b f(x)dx. \]

  • 积分主要是两个问题.一个是求, 一个是用.

4.1 求积分

  • 定积分的定义与性质这一节给出了定积分的定义, 线性性质, 积分区域的可加性, 由此可以把复杂积分化为几个简单积分.

  • 微积分基本公式这一节给出了微积分基本公式, \[\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\] 这是计算定积分最为根本的方法. 所谓计算定积分不过就是用各种各样的方式把定积分变成一些可以直接用微积分基本公式(牛顿-莱布尼兹定理)计算的定积分.

  • 换元法, 分部积分法 就是具体的计算方法, 通过例子要搞清楚什么时候用? 怎么用?

反常积分也是小东西加起来, 进行了扩展, 积分区间无限的广义积分和被积函数趋向无穷大的瑕积分. 这两类反常积分本质上是定积分的极限.

最后, 不定积分是一个函数, 是被积函数的一族原函数. 相应的计算方法换元法, 分部积分法类似.

  • 有理函数的积分则说明, 有理函数\[\begin{aligned} &\int \frac{x + 3}{x^2 - 5x + 6} dx \end{aligned}\]

的积分有固定的方法与步骤计算.

4.2 用积分

定积分的应用分为

  • 整体等于部分.
  • 整体是一些小东西加起来.

比如求面积A.

  • 写出小部分的面积微元\(dA=f(x)dx\).
  • 把微元加起来\[A=\int_a^b dA=\int_a^bf(x)dx.\]

面积, 旋转体的体积, 侧面积, 压力, 压强等等.

5 学习建议

  • 理解概念. 把概念, 命题, 定理要搞清楚到底是什么, 什么意思.
  • 掌握步骤. 很多问题有固定的解决步骤, 关键是认清楚是什么问题.
  • 抓住例子. 通过一个简单的例子, 帮助理解概念, 掌握步骤.