高等数学简介

\[微积分不仅是数学工具, 更是理解自然界和宇宙运动规律的核心语言.\]

  • 微积分用微分,积分,导数等研究函数的各种性质.
  • 主要想法是近似:以直代曲, 逐步逼近.

1 微积分研究函数的变化性质

  • 函数描述了现实世界的各种变化规律.

2 微积分的研究工具

  • 研究函数如何变化?

  • 局部如何变化? 整体如何变化?

3 微积分的研究方法

  • 把复杂的函数用简单的函数近似, 逼近.
  • 如果误差较大, 继续近似.

4 如何研究一元函数?

让函数变化

  • 如 \(y=f(x)\), 让自变量增加\(\Delta x,\) 看看 \[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] 如何变化.

  • 实际上, 我们大部分的时间都在研究, 估计 \(\Delta y\).

不断近似, 逼近\(\Delta y\)

  • \(\Delta y\)一般很复杂, 我们先简单地近似, 如误差太大, 再想法减少误差, 逐步达到要求.

4.1 第一步, 连续

\[ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0. \]

  • 得到定性的结果, \(\Delta y\)是一个无穷小.

  • 到底多小, 没有数量的估计.

4.2 第二步, 可导

\[ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)=\frac{d y}{d x}. \]

  • 定量估计: \[ {\Delta y}\approx f'(x)\Delta x=d y. \]

  • 准确描述一: \[ {\Delta y}= f'(x)\Delta x+o(\Delta x) . \]

  • 准确描述二: \[ {\Delta y}= f'(\xi)\Delta x . \]

4.3 第三步, 泰勒公式

  • 如果对误差还不满意, 再逼近一点, 可以进一步用高阶导数描述近似值, 误差更小, 就得到泰勒公式了.

  • 注意 实际问题中, 准确得到\(\Delta y\) 一般没有必要, 也不可行, 我们只需得到一个满足误差要求的近似值就行.

4.4 几何解释

  • 以直代曲. 曲线用切线近似.

  • 微分三角形