多元函数的连续
\[\lim_{ \Delta x\rightarrow 0 \atop \Delta y\rightarrow 0}\Delta z=0,\quad \lim_{ x\rightarrow x_0 \atop y\rightarrow y_0} f(x,y)=f(x_0,y_0)\]
- 连续的定义
- 有界闭区域上连续函数的性质(最大值最小值,介值)
- 多元初等函数在定义区域内都是连续的.
1 连续的定义
连续的相关概念
初等函数在其定义域内连续.
判断一点处是否连续用定义证明.
两种形式, 哪个方便用哪个. \[ \lim_{ \Delta x\rightarrow 0 \atop \Delta y\rightarrow 0}\Delta z=0,\quad \lim_{ x\rightarrow x_0 \atop y\rightarrow y_0} f(x,y)=f(x_0,y_0). \]
连续时, 用代入法求极限.
2 连续函数的性质
有界闭区域上连续函数的性质
有界闭区域上的连续函数有最大值和最小值
有界闭区域上的连续函数有介值性
3 问与答
函数如果连续说明了什么?
把定义中的极限形式改写成无穷小形式: \[\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=o(\rho), \rho=\sqrt{x^2+y^2}.\]
说明函数的变化量\(\Delta z\)是一个无穷小, 得到一个定性的结果. 但到底多小, 没有具体的数量方面的估计.