曲线方程及切向量

\[ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\phi(t),\\ y=\psi(t),\\ z=\omega(t), \end{array} \right. \quad\alpha\leq t\leq \beta, \quad\vec{T}=(\phi', \psi', \omega'). \end{equation} \]

  • 曲线的点和参数\(t\)一一对应有， 此即参数方程.
  • 含有三个未知量， 两个方程组成的方程组的解表示一条曲线.
  • 表示曲线的方式有多种, 但不管表达形式怎么变化, 曲线本身不会改变.
  • 曲线最重要的是每点处的切向量.
  • 曲线的切向量\(\vec{T}=(\phi', \psi', \omega')\) 由导数给出.

1 曲线方程

曲线的参数方程 \[ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\phi(t)\\ y=\psi(t)\\ z=\omega(t) \end{array} \right. , \quad\alpha\leq t\leq \beta. \end{equation} \]

  • 切向量由导数给出 \[\vec{T}=(\phi', \psi', \omega').\]

方程组 \[ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{array} \right. \end{equation} \] 决定了一条曲线.

  • 含有三个未知量, 两个方程的方程组==曲线!

2 切向量与法平面

  • \[\vec{T}=(\phi', \psi', \omega').\]

  • 由点法式写出法平面方程.

3 微分三角形与弧微分

假设曲线\(\Gamma\)的参数方程 \[\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t) . \end{array} \right. \end{equation} \] 则 \[ (\varphi', \psi'),\quad (d x, dy)=(\varphi', \psi')d t, \quad (\cos\alpha, \cos\beta) \] 都是切向量. 设单位切向量 \[\begin{align} \vec{t}&=(\frac{\varphi'}{\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}}, \frac{\psi'} {\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}})\\ &=(\cos\alpha, \cos\beta),\\ (d x,& dy)=(\varphi', \psi')d t. \end{align}\] 则有 \[ (d x, dy)=\vec{t}\,d s=(\cos\alpha, \cos\beta)d s=(\cos\alpha d s, \cos\beta d s). \]

  • 这是以直代曲, 弧长用切线长代替.
  • 把弧微分向量化, 写成向量, 既有大小, 又加上方向.
  • 单位切向量有两个, 要选择和曲线运动方向一致的那个.
  • \(d s\)是弧微分(斜边), \((d x, dy)\)则是弧微分那个向量(斜边).

\[d s=\sqrt{d^2 x+d^2 y},\ d \vec s=(d x, d y).\]