曲面积分

\[\iint\limits_\Sigma f(x,y,z)d S, \iint\limits_{\Sigma}Pd yd z+Q d zd x+R d xd y\]

  • 记住一个例子: 第一型曲面积分是曲面的质量, 第二型曲面积分是流量.
  • 计算曲面积分的方法是化为二重积分, 掌握具体的计算步骤.
  • 熟悉曲面及其切平面, 最好有粗略图可以帮助计算投影区域.

说明: 本部分内容要先熟悉曲面方程及切平面

1 第一型曲面积分是什么

假设曲面\(\Sigma\), 其面密度是\(\rho(x,y,z)\), 则质量\(M\)可以这样得到.

2 第一型曲面积分的计算

  • 化为二重积分.
  • 二重积分的积分区域: 由积分曲面投影得到.
  • 二重积分的积分表达式: 全部代入.

假设曲面\(\Sigma\)由方程\(z=z(x,y)\)给出. 第一型曲面积分\(\iint\limits_\Sigma\rho(x,y,z)d S\)化为二重积分的步骤如下.

  • 投影时要求没有重叠点, 否则把曲面分片投影.
  • 被积函数中的\(z\)用曲面的方程代入.
  • 面积微元的系数\(\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\)要乘上.

计算\(\displaystyle\iint\limits_{{\Sigma}} {{(x^2+y^2+1)}}{d S}\), 其中\(\Sigma\)为抛物面\(z=2-(x^2+y^2)\)在\(xoy\)面上方的部分.

  • 复杂题目复杂的原因在于把许多知识点糅合在一起了, 如积分不好计算, 曲面是旋转面等等.
  • 解决复杂问题的方法就是把复杂问题分解成一个个知识点, 然后逐个击破.
  • 题目不会做或做不对的原因并不是整个不会, 而是其中的某一步不会. 找到原因弄清楚自己的问题在哪? 是化为二重积分的步骤不会? 图形画不出来? 投影不会? 面积微元不会计算? 还是二重积分的计算不会? 然后针对性的解决.

3 第二型曲面积分是什么

  • 第二型曲面积分的一个例子是流向曲面某一侧的流量.
  • 按”一投二代三定号”的步骤化为二重积分计算.
  • 选定曲面的某一侧等价于选定法向量的方向.
  • 用向量法表示第二型曲面积分比较简洁.
  • 熟练应用Gauss公式简化计算.
  • 选择曲面的上侧等价于选择曲面的法向量的方向指向上.
  • 选封闭球面的外侧就等价于每点处的法向量选择指向球的外面.

假设密度为1的不可压缩流体的稳定流速场为 \[ {\vec v}(x,y,z)=P(x,y,z){\vec i}+Q(x,y,z){\vec j}+R(x,y,z){\vec k}=(P,Q,R), \] \(\Sigma\)是流速场中的一片有向光滑曲面, 求单位时间内流向\(\Sigma\)选定的一侧的流量\(\Phi=?\)

  • 稳定流速场是说流体在每个点有一个流速(有方向), 不随时间变化.

  • 流量=数量+方向.

  • 所以要选定曲面的侧.

如图, 选定了平面\(A\)的右侧, 则此时单位法向量\({\vec n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)就选取指向右侧的, 所以单位时间的流量就是斜柱体的体积:

流向右侧的流量=斜柱体的体积=底面积\(\times\)高,

即 \[ \Phi=A \times |{\vec v}|\cos\theta. \] 上式也可以用内积表示. \[ \Phi=A {\vec v}\cdot {\vec n}. \]

  • 曲面的侧和法向量的方向一致以后, 流量的表达式就固定了. 用单位法向量的内积表示比较简洁.

假设曲面上某个微元\(d S,\) 既代表微元小块也代表其面积. 这时认为\(d S\) 就是切平面的一部分.

选定了曲面的一侧, 也即确定了单位法向量\(\vec n\). 由上式得到流量微元(向量形式) \[ d \Phi=d S\, {\vec v}\cdot {\vec n}={\vec v}\cdot {\vec n}\,d S. \] 代入流速和单位法向量, 得到分量形式的表达式 \[ \begin{aligned} d \Phi&={\vec v}\cdot {\vec n}\,d S\\ &=(P(x,y,z){\vec i}+Q(x,y,z){\vec j}+R(x,y,z){\vec k})\cdot(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)d S \\ &=(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)d S. \end{aligned} \]

把微元加起来就是第二类曲面积分.

\[ \Phi=\iint\limits_{\color{red}\Sigma} d \Phi =\iint\limits_{\Sigma}{\vec v}\cdot {\vec n}\,d S =\iint\limits_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)d S. \]

从这个定义可以看出来, 因为涉及到每点处的单位法向量选哪个的问题, 所以曲面\({\Sigma}\)要预先选定一侧. 如果换另一侧, 则流量会变号.

在表达式中设 \[ d{\vec S} ={\vec n}\,d S=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)d S=(d yd z, d zd x, d xd y). \] 则后面的三个向量的分量分别是\(d{\vec S}\)在三个坐标平面上的有向(有符号)投影. 至于符号取正还是取负, 就看这个单位法向量和坐标轴正向的夹角是否大于90度.

因此第二型曲面积分可以写成 \[ \Phi =\iint\limits_{\Sigma} Pd yd z+Q d zd x+R d xd y. \]

4 第二型曲面积分的计算

  • 化为二重积分.
  • 二重积分的积分区域: 由积分曲面投影得到.
  • 二重积分的积分表达式: 全部代入.
  • 根据曲面的法向量与坐标轴正向夹角大小确定符号.

假设曲面\(\Sigma\)由方程\(z=z(x,y)\)给出. 第二型曲面积分\(\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)dxdy S\)化为二重积分的步骤如下.

计算\(\displaystyle\iint\limits_{{\Sigma}} xz d xd y + xy d yd z + yz d zd x\), 其中\(\Sigma\)为平面\(x+y+z=1\)在第一卦限的上侧.