方向导数与梯度

\[ \frac{\partial z}{\partial l}, \nabla f=grad\, f(x,y)=(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}) \]

  • 方向导数等于梯度和单位方向向量的内积, 等于梯度在方向\(\vec{l}\)上的投影.
  • 梯度看成一个方向向量时, 沿梯度方向, 函数增加的最快.
  • 梯度是函数增加最快的方向.

1 方向导数是什么?

  • 方向导数\(\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\)的方向是在函数\(z=f(x,y)\) 的定义域(\(xoy\)平面内)内的一个向量 \(\vec{l}=(\cos\theta, \sin\theta)\).

  • 描述自变量沿这个方向\(\vec{l}\)变化时, 函数的变化率.

2 方向导数的计算

用公式计算 \[ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial \vec{l}}=\frac{\partial z}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial z}{\partial y}\sin\theta=(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y})\cdot (\cos\theta, \sin\theta). \end{aligned} \]

用定义计算

3 梯度

\[ \begin{aligned} grad f(x,y)=\nabla z= (\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}). \end{aligned} \]

  • 方向导数等于梯度和单位方向向量的内积, 等于梯度在方向\(\vec{l}\)上的投影.
  • 梯度看成一个方向向量时, 沿梯度方向, 函数增加的最快.
  • 梯度是函数增加最快的方向.